1 [2025佛山南海期末]一元二次方程$x(x-2)=0$的根是（）

A.$x=2$
B.$x=0$
C.$x_1=0,x_2=-2$
D.$x_1=0,x_2=2$

1. D

【分析】
拿到本题首先观察方程形式，方程左边已分解为两个一次因式$x$与$(x-2)$的乘积，右边为0，符合因式分解法解一元二次方程的特征。根据因式分解法的核心逻辑：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，我们可以将二次方程降为两个一元一次方程求解，分别解出两个一次方程的根，就是原一元二次方程的根，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：已知一元二次方程$x(x-2)=0$，根据“若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$”的原理，可得：
$x=0$ 或 $x-2=0$
解一元一次方程$x-2=0$，得$x=2$
因此原方程的根为$x_1=0$，$x_2=2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解方程；一元二次方程的根
【点评】
本题属于基础题型，考查因式分解法解一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握因式分解法的原理，求解时注意不要遗漏其中任意一个根。
【难度系数】
0.9

2 若二次三项式$x^2 + px + q$能分解成$(x + 3)(x - 1)$的形式，则方程$x^2 + px + q = 0$的两个根为（）

A.$x_1 = -3, x_2 = 1$
B.$x_1 = -3, x_2 = -1$
C.$x_1 = 3, x_2 = -1$
D.$x_1 = 3, x_2 = 1$

2. A

【分析】
解题时先回忆因式分解法解一元二次方程的原理：若二次三项式$x^2 + px + q$可以分解为两个一次因式的乘积，那么对应的一元二次方程$x^2 + px + q=0$就可以转化为两个一次因式乘积等于0的形式，再根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，分别令两个一次因式等于0，即可求出方程的两个根。
【解析】
已知二次三项式$x^2 + px + q=(x + 3)(x - 1)$，因此方程$x^2 + px + q=0$可转化为：
$(x + 3)(x - 1)=0$
根据乘法的性质，可得：
$x + 3=0$ 或 $x - 1=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x + 3=0$时，$x_1=-3$；
当$x - 1=0$时，$x_2=1$。
因此方程的两个根为$x_1=-3,x_2=1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程 2.一元二次方程的根
【点评】
本题属于基础题型，核心考查因式分解法解方程的原理，熟练掌握“乘积为0则至少一个因式为0”的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9

3 [2025深圳龙华期末]一元二次方程(x－1)(x－3)＝0的两个实数根为.

3. $x_1=1,x_2=3$

【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题思路是利用“若两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0”的原理，将二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的两个实数根。
【解析】
解：已知$(x - 1)(x - 3) = 0$，根据“若两个代数式的乘积为0，则至少其中一个代数式的值为0”的性质，可得：
$x - 1 = 0$ 或 $x - 3 = 0$
解$x - 1 = 0$，得$x_1 = 1$；
解$x - 3 = 0$，得$x_2 = 3$。
【答案】
$x_1=1,x_2=3$
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，直接给出了因式分解后的乘积形式，只要掌握因式分解法的核心原理即可快速得出结果，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9

4 [2025揭阳普宁期末]小聪在解方程$x^2=3x$时,只得到一个根$x=3$,则被漏掉的一个根是（）

A.$x=-3$
B.$x=0$
C.$x=1$
D.$x=2$

4. B

【分析】
解形如$x^2=ax$的一元二次方程时，不能直接在等式两边同时除以$x$，因为$x$可能为0，直接除以$x$会丢失$x=0$这个根。正确的解题思路是先把所有项移到等式左边，使右边为0，再用因式分解法求解，得到所有根后对比就能找到被漏掉的根。
【解析】
解该方程的步骤如下：
1. 移项：将$3x$移到等号左边，得到$x^2 - 3x = 0$；
2. 因式分解：对左边的多项式提取公因式$x$，可得$x(x - 3) = 0$；
3. 降次求解：根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得$x=0$或$x-3=0$；
4. 解得方程的两个根为$x_1=0$，$x_2=3$。
因此小聪只得到$x=3$，被漏掉的根是$x=0$。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解方程、提公因式因式分解、一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，解题时要注意不能随意在等式两边除以可能取值为0的代数式，否则容易出现漏根的情况，采用因式分解法求解更稳妥准确。
【难度系数】
0.8

5 若代数式$x+2$的值与代数式$x(x+2)$的值相等，则$x$的值为 （）

A.$-2$
B.$1$
C.$-2$或$1$
D.$2$或$-1$

5. C

【分析】
首先根据两个代数式值相等的等量关系列出方程，观察得到方程两边都含有公因式$(x+2)$，适合用因式分解法求解；注意不能直接在方程两边同时除以$(x+2)$，否则会漏掉$x=-2$这个解，正确做法是先移项，再提取公因式将一元二次方程转化为两个一元一次方程，最后求解即可得到$x$的值。
【解析】
根据题意可列方程：
$x + 2 = x(x + 2)$
移项得：$x(x + 2) - (x + 2) = 0$
提取公因式$(x+2)$得：$(x + 2)(x - 1) = 0$
所以$x + 2 = 0$或$x - 1 = 0$
解得：$x_1 = -2$，$x_2 = 1$
即$x$的值为$-2$或$1$。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 列一元二次方程
【点评】
本题是基础应用题，解题的关键是正确根据题意列方程，注意解方程时不要随意除以含未知数的整式，避免出现漏解的问题，熟练掌握提公因式因式分解的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8

6（易错题）方程$2x(x-3)=5(3-x)$的根是

6. $x_1=-\dfrac{5}{2},x_2=3$
易错分析：解方程时,易因方程两边同时除以含有未知数的代数式而导致漏根,应移项后再解方程.

【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题时不能直接在方程两边同时除以$(x-3)$，因为$x-3$可能为0，直接除会漏掉$x=3$这个根。正确思路是先移项，将等式右边的项移到左边，再变形提取公因式$(x-3)$，把原方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
解：原方程为$2x(x-3)=5(3-x)$
移项，得$2x(x-3)-5(3-x)=0$
将$3-x$变形为$-(x-3)$，可得：
$2x(x-3)+5(x-3)=0$
提取公因式$(x-3)$，得：
$(x-3)(2x+5)=0$
则$x-3=0$或$2x+5=0$
分别解这两个一元一次方程：
当$x-3=0$时，$x_1=3$
当$2x+5=0$时，解得$x_2=-\dfrac{5}{2}$
【答案】
$x_1=-\dfrac{5}{2},x_2=3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式法因式分解
【点评】
本题是解方程类易错题，易错点为直接在方程两边同时除以含未知数的整式$(x-3)$，导致漏掉$x=3$这个根。解题时若要除以含未知数的式子，需先确认其不为0，优先选择移项提取公因式的方法求解，可有效避免漏根。
【难度系数】
0.6

7 如图所示为某名同学解方程的步骤,他是在第(填序号)步开始出错的,方程正确的解为.

7. ② $x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=-4$

【分析】
本题考查利用因式分解法解一元二次方程，解题时需注意不能随意在等式两边除以含有未知数的整式，否则容易漏根。首先看解题步骤：第①步对左右两边分别因式分解，变形正确；第②步直接将等式两边同时除以公因式$(x+4)$，忽略了$x+4$可能为0的情况，不符合等式的性质，是错误步骤。正确的解题思路是：先将所有项移到等号左侧，提取公因式$(x+4)$，把方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再分别令两个因式为0求解，即可得到全部的根。
【解析】
首先判断错误步骤：
第②步出错，若直接除以$(x+4)$，默认了$x+4≠0$，遗漏了$x+4=0$的情况，会丢失一个根。
正确求解过程：
原方程为$2x^2+8x=-4-x$
第①步因式分解得：$2x(x+4)=-(x+4)$
移项得：$2x(x+4)+(x+4)=0$
提取公因式$(x+4)$得：$(x+4)(2x+1)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x+4=0$ 或 $2x+1=0$
分别解得：$x_1=-4$，$x_2=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
②；$x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=-4$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的常见易错题，解题时要注意：等式两边不能随意除以含有未知数的整式，否则很容易出现漏根的情况，遇到左右两侧有公共的含未知数因式时，要通过移项提取公因式的方式进行变形求解。
【难度系数】
0.7

8 教材变式题 用因式分解法解下列方程：
(1) $3(x-2)^2 = x(x-2)$；
(2) $(x-1)^2 + 3 = 3x$；
(3) $(x+2)^2 - 10(x+2) + 25 = 0$。

8. (1) $x_1=2,x_2=3$ (2) $x_1=1,x_2=4$ (3) $x_1=x_2=3$

【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程变形为“两个因式乘积为0”的形式，利用“若ab=0，则a=0或b=0”的原理求解，注意不能直接在方程两边同时除以含未知数的整式，否则会丢失根。具体解题思路：(1)观察到方程两侧均有公因式$(x-2)$，先移项再提取公因式即可转化为乘积形式；(2)先将右侧$3x$移到左侧，变形后可提取公因式$(x-1)$；(3)将$(x+2)$看作整体，左侧式子符合完全平方公式的结构，直接用完全平方公式因式分解即可。
【解析】
(1) 移项，得：$3(x-2)^2 - x(x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得：$(x-2)[3(x-2) - x] = 0$
化简括号内的式子，得：$(x-2)(2x - 6) = 0$
$\therefore x-2=0$ 或 $2x-6=0$
解得：$x_1=2, x_2=3$
(2) 整理方程，移项得：$(x-1)^2 - 3x + 3 = 0$
即：$(x-1)^2 - 3(x-1) = 0$
提取公因式$(x-1)$，得：$(x-1)(x-1 - 3) = 0$
化简得：$(x-1)(x-4) = 0$
$\therefore x-1=0$ 或 $x-4=0$
解得：$x_1=1, x_2=4$
(3) 将$(x+2)$看作整体，左侧为完全平方式，因式分解得：
$[(x+2) - 5]^2 = 0$
化简得：$(x-3)^2 = 0$
$\therefore x-3=0$
解得：$x_1=x_2=3$
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=3$ (2) $x_1=1,x_2=4$ (3) $x_1=x_2=3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式法因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础应用，解题关键是根据方程的结构特点选择合适的因式分解方法，解题时注意不要随意约去含未知数的公因式，避免漏根，运用整体思想可简化计算过程。
【难度系数】
0.8

9 解方程 $x(x+5)=x$ 的最适当的方法是()

A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法

9. D

【分析】
解题时首先观察方程的结构特征，判断最简便的解法。拿到方程$x(x+5)=x$，注意不能直接两边除以$x$（会漏根），先将右侧的$x$移到左侧，可发现左侧两项都含有公因式$x$，很容易通过提取公因式完成因式分解，快速得到方程的解，其余解法步骤更繁琐，因此优先选择因式分解法。
【解析】
对原方程逐步整理分析：
1. 移项，将右侧的$x$移到左侧，得：$x(x+5)-x=0$
2. 提取公因式$x$，可得：$x[(x+5)-1]=0$，化简为$x(x+4)=0$，令两个因式分别为0即可快速得到方程的解。
对比其余解法：直接开平方法适用于$(ax+b)^2=c(c≥0)$形式的方程，本题不符合该结构；配方法、公式法虽然也可解本题，但计算步骤更繁琐，因此最适当的方法是因式分解法。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法选择；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的解法选取，解题时要先观察方程的结构特征，优先选择简便的解法，注意不要随意在方程两边除以含未知数的整式，避免漏掉根。
【难度系数】
0.9

10 用合适的方法解方程：
(1) $x^2 - 3x + 1 = 0$；
(2) $x^2 - 1 = 2(x + 1)$；
(3) 一题多解 $(x + 3)^2 = (1 - 2x)^2$。

10. (1) $\because a=1,b=-3,c=1,\therefore \Delta=(-3)^2-4×1×1=5＞0.$
$\therefore x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2×1}.\therefore x_1=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$
(2) 移项,得$(x+1)(x-1)-2(x+1)=0$,分解因式,得$(x-3)(x+1)=0$,
$\therefore x-3=0$或$x+1=0$,解得$x_1=3,x_2=-1$
(3) 解法一:移项,得$(x+3)^2-(1-2x)^2=0$,分解因式,得$(3x+2)(-x+4)=0$,则$3x+2=0$或$-x+4=0$,解得$x_1=-\dfrac{2}{3},x_2=4$
解法二:开平方,得$x+3=\pm(1-2x),\therefore x+3=1-2x$或$x+3=-(1-2x)$,解得$x_1=-\dfrac{2}{3},x_2=4$

【分析】
解一元二次方程需根据方程结构选择简便方法：
(1) 方程为一元二次方程的一般形式，且无法直接因式分解，适合用公式法求解，步骤为先确定a、b、c的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算；
(2) 方程左右两边都含有公因式$(x+1)$，若直接展开计算较繁琐，选择因式分解法更简便，注意不要直接两边除以$(x+1)$，否则会丢失$x=-1$这个根，需先移项再提取公因式分解；
(3) 方程为两个完全平方式相等的形式，有两种简便解法：解法一将右边移到左边，利用平方差公式因式分解求解；解法二直接对等式两边开平方，转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=1$，
计算判别式：$\Delta = (-3)^2 - 4×1×1 = 5＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得$x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2×1}$。
(2) 解方程$x^2 - 1 = 2(x + 1)$：
移项得$(x+1)(x-1)-2(x+1)=0$，
提取公因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
$\therefore x-3=0$或$x+1=0$。
(3) 解方程$(x + 3)^2 = (1 - 2x)^2$：
解法一：移项得$(x+3)^2-(1-2x)^2=0$，
利用平方差公式分解得$(3x+2)(-x+4)=0$，
则$3x+2=0$或$-x+4=0$。
解法二：开平方得$x+3=\pm(1-2x)$，
$\therefore x+3=1-2x$或$x+3=-(1-2x)$。
【答案】
(1) $x_1=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$
(2) $x_1=3,x_2=-1$
(3) $x_1=-\dfrac{2}{3},x_2=4$
【知识点】
公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，开平方法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的解法应用，解题时需结合方程的结构特征灵活选择最优解法，提升解题效率，注意不要随意除以含未知数的整式，避免出现漏根的情况，一题多解的形式有助于加深对不同解法适用场景的理解。
【难度系数】
0.8