8 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象的对称轴为直线$x=-1$，部分图象如图所示，有下列结论：① $abc＞0$；② $b^2 - 4ac ＞ 0$；③ $4a + c ＞ 0$；④ 若$t$为任意实数，则有$a - bt ≤ at^2 + b$；⑤ 当该二次函数的图象经过点$(\dfrac{1}{2},2)$时，方程$ax^2 + bx + c - 2 = 0$的两根为$x_1,x_2(x_1＜x_2)$，则$x_1 + 2x_2 = -2$。其中，正确的是（）

A.①②③
B.②③⑤
C.②③④⑤
D.②③④

8. D

【分析】
首先根据二次函数的图象特征确定开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点的位置，推导得到a、b、c的符号及b=2a的数量关系，再结合二次函数的判别式、最值性质、对称性、函数与一元二次方程的对应关系，逐个判断5个结论的正误，最终选出正确选项。
【解析】
解：由图象及已知条件推导基础关系：
1. 抛物线开口向上，因此$a＞0$；
2. 对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$，化简得$b=2a$，因此$b＞0$；
3. 抛物线与$y$轴交于负半轴，因此$c＜0$。
逐个判断结论：
① 由$a＞0$、$b＞0$、$c＜0$，可得$abc＜0$，故①错误；
② 抛物线与$x$轴有2个交点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$b^2-4ac＞0$，故②正确；
③ 由对称轴$x=-1$可知，$x=1$和$x=-3$的函数值相等，当$x=1$时函数值$y=a+b+c＞0$，代入$b=2a$得$3a+c＞0$，又$a＞0$，因此$4a+c=(3a+c)+a＞0$，故③正确；
④ 抛物线开口向上，顶点在$x=-1$处，因此函数最小值为$x=-1$时的函数值$y=a-b+c$，对任意实数$t$，都有$at^2+bt+c≥ a-b+c$，两边消去$c$后移项可得$a-bt≤ at^2+b$，故④正确；
⑤ 方程$ax^2+bx+c-2=0$的根即函数值$y=2$对应的$x$值，已知一个根为$x=\frac{1}{2}$，由对称性得另一根为$2×(-1)-\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$，因此$x_1+2x_2=-\frac{5}{2}+2×\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}≠-2$，故⑤错误。
综上，正确的结论为②③④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题需要结合二次函数的开口、对称轴、特殊点函数值、对称性等多个知识点推导结论，侧重考查数形结合的分析能力，属于二次函数的常考综合题型。
【难度系数】
0.65

9 教材变式题 已知二次函数 $y=x^2 -x +k -2$ 的图象与一次函数 $y=3x +2$ 的图象有交点，则 $k$ 的取值范围是。

9. $k≤8$ 【解析】联立$\begin{cases} y=3x+2,\\ y=x^2-x+k-2, \end{cases}$ 消去 $y$,得 $3x+2=x^2-x+k-2$,整理,得 $x^2-4x+k-4=0$,$\Delta=4^2-4(k-4)=32-4k$,当 $\Delta≥0$ 时,两个函数的图象有交点,即 $32-4k≥0$,解得 $k≤8$.

【分析】
要解决两个函数图象有交点的问题，首先明确：两个函数图象的交点坐标就是对应联立方程组的公共解，图象有交点等价于联立后的方程组有实数解。我们可以先联立两个函数的解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，再根据一元二次方程有实数根时判别式Δ≥0，列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
联立两个函数的解析式得方程组：
$\begin{cases} y=3x+2\\ y=x^2-x+k-2 \end{cases}$
消去y，可得：$3x+2=x^2-x+k-2$
整理为一元二次方程的标准形式：$x^2-4x+k-4=0$
因为两个函数图象有交点，所以该一元二次方程有实数根，即判别式$\Delta ≥ 0$
计算判别式：$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(k-4) = 16 - 4k + 16 = 32 - 4k$
列不等式：$32 - 4k ≥ 0$
解不等式：$-4k ≥ -32$，两边同时除以-4，不等号方向改变，得$k ≤ 8$
【答案】
$k≤8$
【知识点】
函数与方程的转化，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数与一次函数交点问题的基础题型，核心考查将函数图象交点问题转化为方程根的个数问题的转化思想，解题关键是熟练运用一元二次方程根的判别式建立不等关系求解。
【难度系数】
0.8

10 [2025 黔东南期末]如图，二次函数$y=x^2 -4x+3$的图象与$x$轴交于$A$，$B$两点（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$。
（1）求点$A$，$B$，$C$的坐标；
（2）当$y＞0$时，直接写出$x$的取值范围；
（3）若直线$y=m$与二次函数$y=x^2 -4x+3$有两个公共点，求出$m$的取值范围。

10. (1) 在 $y=x^2-4x+3$ 中,令 $y=0$,得 $x^2-4x+3=0$,解得 $x_1=1,x_2=3. \therefore A(1,0),B(3,0)$. 令 $x=0$,则 $y=3$,$\therefore C(0,3)$
(2) 由二次函数的图象可知,当 $y＞0$ 时,$x＜1$ 或 $x＞3$
(3) 由$\begin{cases} y=m,\\ y=x^2-4x+3, \end{cases}$ 得 $x^2-4x+3=m$,即 $x^2-4x+3-m=0$,$\because$ 直线 $y=m$ 与二次函数 $y=x^2-4x+3$ 有两个公共点,$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4×1×(3-m)=4m+4＞0$,解得 $m＞-1. \therefore$ 当直线 $y=m$ 与二次函数 $y=x^2-4x+3$ 有两个公共点时,$m＞-1$

【分析】
（1）求二次函数与坐标轴交点的思路：与x轴交点的纵坐标为0，因此令y=0，解对应的一元二次方程，得到的解即为交点的横坐标，再结合点A在点B左侧确定A、B坐标；与y轴交点的横坐标为0，因此令x=0，代入函数式计算得y值，即为C点纵坐标，从而得到C点坐标。
（2）求y＞0时x的取值范围，可结合图象分析：y＞0对应抛物线位于x轴上方的部分，结合A、B两点的横坐标即可直接写出对应x的范围。
（3）直线与二次函数有两个公共点，说明联立两个解析式得到的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式Δ＞0，即可列不等式求出m的取值范围。
【解析】
（1）对于二次函数$y=x^2 -4x+3$：
求与x轴的交点：令$y=0$，得$x^2-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(1,0)$，$B(3,0)$。
求与y轴的交点：令$x=0$，代入得$y=0^2-4×0+3=3$，
∴$C(0,3)$。
（2）观察抛物线图象，抛物线开口向上，当图象位于x轴上方时$y＞0$，对应x的取值范围为$x＜1$或$x＞3$。
（3）联立直线与二次函数的解析式$\begin{cases} y=m \\ y=x^2-4x+3 \end{cases}$，消去y得$x^2-4x+3=m$，整理为标准一元二次方程形式：$x^2-4x+(3-m)=0$。
∵直线与二次函数有两个公共点，
∴该方程有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta＞0$。
其中$a=1$，$b=-4$，$c=3-m$，代入得：
$\Delta=(-4)^2-4×1×(3-m)=16-12+4m=4m+4＞0$，
解得$m＞-1$。
【答案】
(1) $A(1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,3)$
(2) $x＜1$或$x＞3$
(3) $m＞-1$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点求解；二次函数与不等式；根的判别式应用
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，将函数图象与方程、不等式结合考查，侧重对二次函数基本性质的理解和应用，结合图象分析能更直观地梳理逻辑，降低解题难度。
【难度系数】
0.8

11 数和形是数学研究客观物体的两个方面.数和形相互联系,可用数来反映空间形式,也可用形来说明数量关系.数形结合就是把两者结合起来考虑问题,充分利用代数、几何各自的优势,数形互化,共同解决问题.请你结合所学的数学知识解决下面的问题.
在平面直角坐标系中,若点的横坐标、纵坐标都为整数,则称这样的点为整点.记函数$y=(4a+2)x^2+(9-6a)x-4a+4$($a$为常数)的图象为图象 T.
(1) 求证:无论$a$取何值,图象 T 与$x$轴总有公共点.
(2) 是否存在整数$a$,使图象 T 与$x$轴的公共点中有整点?若存在,求出所有整数$a$的值;若不存在,请说明理由.

11. (1) 当 $a=-\dfrac{1}{2}$ 时,函数表达式为 $y=12x+6$. 令 $y=0$,得 $12x+6=0$,解得 $x=-\dfrac{1}{2}. \therefore$ 图象 T 与 $x$ 轴有公共点. 当 $a≠-\dfrac{1}{2}$ 时,$y=(4a+2)x^2+(9-6a)x-4a+4$ 为二次函数,$\because \Delta=(9-6a)^2-4(4a+2)(-4a+4)=100a^2-140a+49=(10a-7)^2≥0$,$\therefore$ 图象 T 与 $x$ 轴有公共点. 综上所述,无论 $a$ 取何值,图象 T 与 $x$ 轴总有公共点
(2) 存在 由(1),得当 $a=-\dfrac{1}{2}$ 时,图象 T 与 $x$ 轴的公共点的坐标为 $(-\dfrac{1}{2},0)$,不符合题意. 当 $a≠-\dfrac{1}{2}$ 时,在 $y=(4a+2)x^2+(9-6a)x-4a+4$ 中,令 $y=0$,得 $(4a+2)x^2+(9-6a)x-4a+4=0$,解得 $x_1=-\dfrac{1}{2}$,$x_2=\dfrac{4a-4}{2a+1}. \therefore x_2=\dfrac{4a-4}{2a+1}=2-\dfrac{6}{2a+1}$ 是整数,则 $2a+1=-6$ 或 $2a+1=-3$ 或 $2a+1=-2$ 或 $2a+1=-1$ 或 $2a+1=1$ 或 $2a+1=2$ 或 $2a+1=3$ 或 $2a+1=6$,解得 $a=-\dfrac{7}{2}$ 或 $a=-2$ 或 $a=-\dfrac{3}{2}$ 或 $a=-1$ 或 $a=0$ 或 $a=\dfrac{1}{2}$ 或 $a=1$ 或 $a=\dfrac{5}{2}$. 又$\because a$ 是整数,$\therefore a=-2$ 或 $a=-1$ 或 $a=0$ 或 $a=1$

【分析】
(1) 要证明图象T与x轴总有公共点，需结合函数类型分类讨论：函数的二次项系数含参数a，当二次项系数为0时，函数为一次函数，直接求解其与x轴的交点即可验证；当二次项系数不为0时，函数为二次函数，只需证明对应一元二次方程的判别式Δ≥0，即可说明图象与x轴有公共点。
(2) 要判断是否存在整数a使得交点为整点，即y=0时x为整数。先求出方程的两个根，其中一个根为$-\frac{1}{2}$不是整数，只需保证另一个根为整数即可。将另一个根的表达式分离常数，根据分式为整数的条件，筛选出符合要求的整数a即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当$4a+2=0$，即$a=-\dfrac{1}{2}$时，函数化简为$y=12x+6$，属于一次函数。令$y=0$，得$12x+6=0$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$，此时图象T与x轴有公共点$(-\dfrac{1}{2},0)$。
② 当$4a+2≠0$，即$a≠-\dfrac{1}{2}$时，函数为二次函数，令$y=0$，得一元二次方程$(4a+2)x^2+(9-6a)x-4a+4=0$，其判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(9-6a)^2-4(4a+2)(-4a+4)\\&=100a^2-140a+49\\&=(10a-7)^2≥0\end{aligned}$
因此该一元二次方程总有实数根，图象T与x轴有公共点。
综上，无论a取何值，图象T与x轴总有公共点。
(2) 存在整数a满足条件，理由如下：
由(1)得，当$a=-\dfrac{1}{2}$时，图象与x轴交点为$(-\dfrac{1}{2},0)$，横坐标不是整数，不符合要求。
当$a≠-\dfrac{1}{2}$时，解方程$(4a+2)x^2+(9-6a)x-4a+4=0$，得$x_1=-\dfrac{1}{2}$，$x_2=\dfrac{4a-4}{2a+1}$。
将$x_2$分离常数得：$x_2=\dfrac{4a-4}{2a+1}=2-\dfrac{6}{2a+1}$。
要使$x_2$为整数，则$\dfrac{6}{2a+1}$为整数，即$2a+1$是6的约数，$2a+1$的可能取值为$\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$，分别解得$a=-\dfrac{7}{2}、-2、-\dfrac{3}{2}、-1、0、\dfrac{1}{2}、1、\dfrac{5}{2}$。
∵a为整数，
∴符合条件的a为$-2,-1,0,1$。
【答案】
(1) 无论a取何值，图象T与x轴总有公共点，证明见解析；
(2) 存在，所有整数a的值为$\boldsymbol{-2,-1,0,1}$。
【知识点】
1. 函数与x轴交点判定
2. 一元二次方程根的判别式
3. 分式整数解求解
【点评】
本题考查分类讨论与转化的数学思想，解题时需注意先对二次项系数分类，避免漏记一次函数的情况；第二问用分离常数法处理分式型整数解问题，是代数类整数解问题的常用技巧，实用性较强，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6