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四、计算与推导题
15.（2025·淮南寿县月考）在如图所示的电路中，电源电压保持不变，$R_1=6\ \Omega$，$R_2=4\ \Omega$，若只闭合$S_2$时，电流表示数为0.6 A，求：
（1）电源电压。
（2）闭合$S_1$和$S_3$，断开$S_2$时，电流表的示数。
（3）闭合$S_1$和$S_2$，断开$S_3$时，电路的总电功率。
15.（2025·淮南寿县月考）在如图所示的电路中，电源电压保持不变，$R_1=6\ \Omega$，$R_2=4\ \Omega$，若只闭合$S_2$时，电流表示数为0.6 A，求：
（1）电源电压。
（2）闭合$S_1$和$S_3$，断开$S_2$时，电流表的示数。
（3）闭合$S_1$和$S_2$，断开$S_3$时，电路的总电功率。
答案
(1)6 V (2)2.5 A (3)6 W 解析:(1)若只闭合$\mathrm{S}_2$时,电阻$R_1$与$R_2$串联,电流表测量电路中的电流且示数为0.6 A,电源电压为$U=I(R_1+R_2)=0.6\ \mathrm{A} × (6\ \Omega+4\ \Omega)=6\ \mathrm{V}$。
(2)闭合$\mathrm{S}_1$和$\mathrm{S}_3$,断开$\mathrm{S}_2$时,电阻$R_1$与$R_2$并联,电流表测量干路电流,电流表的示数为$I'=\frac{U}{R_1}+\frac{U}{R_2}=\frac{6\ \mathrm{V}}{6\ \Omega}+\frac{6\ \mathrm{V}}{4\ \Omega}=2.5\ \mathrm{A}$。
(3)闭合$\mathrm{S}_1$和$\mathrm{S}_2$,断开$\mathrm{S}_3$时,电阻$R_2$被短路,电路为$R_1$与电流表串联的简单电路,电路的总电功率为$P=\frac{U^2}{R_1}=\frac{(6\ \mathrm{V})^2}{6\ \Omega}=6\ \mathrm{W}$。
(2)闭合$\mathrm{S}_1$和$\mathrm{S}_3$,断开$\mathrm{S}_2$时,电阻$R_1$与$R_2$并联,电流表测量干路电流,电流表的示数为$I'=\frac{U}{R_1}+\frac{U}{R_2}=\frac{6\ \mathrm{V}}{6\ \Omega}+\frac{6\ \mathrm{V}}{4\ \Omega}=2.5\ \mathrm{A}$。
(3)闭合$\mathrm{S}_1$和$\mathrm{S}_2$,断开$\mathrm{S}_3$时,电阻$R_2$被短路,电路为$R_1$与电流表串联的简单电路,电路的总电功率为$P=\frac{U^2}{R_1}=\frac{(6\ \mathrm{V})^2}{6\ \Omega}=6\ \mathrm{W}$。
解析
【分析】
解决本题的关键是先判断不同开关状态下的电路连接方式，再结合串并联电路规律、欧姆定律和电功率公式计算：
1. 只闭合S₂时，R₁与R₂串联，电流表测串联电流，先算总电阻，再用$U=IR_{总}$求电源电压；
2. 闭合S₁和S₃、断开S₂时，R₁与R₂并联，电流表测干路电流，分别计算两支路电流后相加得干路电流；
3. 闭合S₁和S₂、断开S₃时，R₂被短路，电路为R₁的简单电路，用$P=\frac{U^2}{R}$算总电功率。
【解析】
（1）只闭合$\mathrm{S}_2$时，$R_1$与$R_2$串联，电流表测电路电流，串联总电阻：
$R_{串}=R_1+R_2=6\ \Omega+4\ \Omega=10\ \Omega$
根据欧姆定律，电源电压：
$U=I R_{串}=0.6\ \mathrm{A} × 10\ \Omega=6\ \mathrm{V}$
（2）闭合$\mathrm{S}_1$和$\mathrm{S}_3$，断开$\mathrm{S}_2$时，$R_1$与$R_2$并联，电流表测干路电流，并联电路各支路电压等于电源电压，两支路电流：
$I_1=\frac{U}{R_1}=\frac{6\ \mathrm{V}}{6\ \Omega}=1\ \mathrm{A}$，$I_2=\frac{U}{R_2}=\frac{6\ \mathrm{V}}{4\ \Omega}=1.5\ \mathrm{A}$
干路电流：
$I'=I_1+I_2=1\ \mathrm{A}+1.5\ \mathrm{A}=2.5\ \mathrm{A}$
（3）闭合$\mathrm{S}_1$和$\mathrm{S}_2$，断开$\mathrm{S}_3$时，$R_2$被短路，电路为$R_1$的简单电路，总电功率：
$P=\frac{U^2}{R_1}=\frac{(6\ \mathrm{V})^2}{6\ \Omega}=6\ \mathrm{W}$
【答案】
(1)6 V；(2)2.5 A；(3)6 W
【知识点】
串联电路规律、并联电路规律、电功率计算
【点评】
本题考查电路分析与电学公式应用，需准确判断开关对应的电路结构，是电学基础题型，侧重考查学生对串并联规律和公式的掌握。
【难度系数】
0.5
解决本题的关键是先判断不同开关状态下的电路连接方式，再结合串并联电路规律、欧姆定律和电功率公式计算：
1. 只闭合S₂时，R₁与R₂串联，电流表测串联电流，先算总电阻，再用$U=IR_{总}$求电源电压；
2. 闭合S₁和S₃、断开S₂时，R₁与R₂并联，电流表测干路电流，分别计算两支路电流后相加得干路电流；
3. 闭合S₁和S₂、断开S₃时，R₂被短路，电路为R₁的简单电路，用$P=\frac{U^2}{R}$算总电功率。
【解析】
（1）只闭合$\mathrm{S}_2$时，$R_1$与$R_2$串联，电流表测电路电流，串联总电阻：
$R_{串}=R_1+R_2=6\ \Omega+4\ \Omega=10\ \Omega$
根据欧姆定律，电源电压：
$U=I R_{串}=0.6\ \mathrm{A} × 10\ \Omega=6\ \mathrm{V}$
（2）闭合$\mathrm{S}_1$和$\mathrm{S}_3$，断开$\mathrm{S}_2$时，$R_1$与$R_2$并联，电流表测干路电流，并联电路各支路电压等于电源电压，两支路电流：
$I_1=\frac{U}{R_1}=\frac{6\ \mathrm{V}}{6\ \Omega}=1\ \mathrm{A}$，$I_2=\frac{U}{R_2}=\frac{6\ \mathrm{V}}{4\ \Omega}=1.5\ \mathrm{A}$
干路电流：
$I'=I_1+I_2=1\ \mathrm{A}+1.5\ \mathrm{A}=2.5\ \mathrm{A}$
（3）闭合$\mathrm{S}_1$和$\mathrm{S}_2$，断开$\mathrm{S}_3$时，$R_2$被短路，电路为$R_1$的简单电路，总电功率：
$P=\frac{U^2}{R_1}=\frac{(6\ \mathrm{V})^2}{6\ \Omega}=6\ \mathrm{W}$
【答案】
(1)6 V；(2)2.5 A；(3)6 W
【知识点】
串联电路规律、并联电路规律、电功率计算
【点评】
本题考查电路分析与电学公式应用，需准确判断开关对应的电路结构，是电学基础题型，侧重考查学生对串并联规律和公式的掌握。
【难度系数】
0.5
16. 核心素养 科学思维 如图甲所示是小明家的自动电热水壶,它具有自动加水、加热、保温等功能。当壶内水位达到规定容量时,水的质量为1.5 kg。小明关闭了家中的其他用电器,按一下电热水壶的加热按钮,温控开关闭合,6 min后壶内的水从20 ℃加热到沸腾(在1个标准大气压下),电能表的转盘转了600转。温控开关断开,电热水壶自动转入保温状态,其电路图如图丙所示。[$g$取10 N/kg, $c_{水}=4.2×10^{3} J/(kg·℃)$]
请你结合图乙中电能表提供的有关参数信息解决以下问题:(忽略温度对电阻的影响)
(1)电热水壶加热时的加热效率是多少?
(2)电热水壶加热时的加热电功率及$R_{1}$的阻值是多少?
(3)若电热水壶的保温功率是44 W,电热丝$R_{2}$的阻值是多少?
请你结合图乙中电能表提供的有关参数信息解决以下问题:(忽略温度对电阻的影响)
(1)电热水壶加热时的加热效率是多少?
(2)电热水壶加热时的加热电功率及$R_{1}$的阻值是多少?
(3)若电热水壶的保温功率是44 W,电热丝$R_{2}$的阻值是多少?
答案
(1)70% (2)2 000 W 24.2 Ω (3)1 075.8 Ω
解析:(1)在1个标准大气压下,水沸腾时的温度$t=100\ °Celsius$,水吸收的热量:$Q_{\mathrm{吸}}=c_{\mathrm{水}}m_{\mathrm{水}}(t-t_0)=4.2 × 10^3\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg·}°Celsius) × 1.5\ \mathrm{kg} × (100\ °Celsius-20\ °Celsius)=5.04 × 10^5\ \mathrm{J}$,电热水壶工作6 min消耗的电能:$W=\frac{600}{3\ 000}\ \mathrm{kW·h}=0.2\ \mathrm{kW·h}=7.2 × 10^5\ \mathrm{J}$,电热水壶加热时的加热效率:$\eta=\frac{Q_{\mathrm{吸}}}{W} × 100\%=\frac{5.04 × 10^5\ \mathrm{J}}{7.2 × 10^5\ \mathrm{J}} × 100\%=70\%$。
(2)当温控开关闭合时,只有电阻$R_1$接入电路,此时电热水壶处于加热状态,电路中的加热功率:$P_{\mathrm{加热}}=\frac{W}{t}=\frac{7.2 × 10^5\ \mathrm{J}}{6 × 60\ \mathrm{s}}=2\ 000\ \mathrm{W}$。由$P=UI=\frac{U^2}{R}$可得,$R_1$的阻值:$R_1=\frac{U^2}{P_{\mathrm{加热}}}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{2\ 000\ \mathrm{W}}=24.2\ \Omega$。
(3)当温控开关断开时,电阻$R_1$和$R_2$串联,电热水壶处于保温状态,$P_{\mathrm{保温}}=44\ \mathrm{W}$,由$P=UI=\frac{U^2}{R}$可得,此时电路的总电阻:$R=\frac{U^2}{P_{\mathrm{保温}}}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{44\ \mathrm{W}}=1\ 100\ \Omega$,因串联电路中总电阻等于各分电阻之和,所以电热丝$R_2$的阻值:$R_2=R-R_1=1\ 100\ \Omega-24.2\ \Omega=1\ 075.8\ \Omega$。
解析:(1)在1个标准大气压下,水沸腾时的温度$t=100\ °Celsius$,水吸收的热量:$Q_{\mathrm{吸}}=c_{\mathrm{水}}m_{\mathrm{水}}(t-t_0)=4.2 × 10^3\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg·}°Celsius) × 1.5\ \mathrm{kg} × (100\ °Celsius-20\ °Celsius)=5.04 × 10^5\ \mathrm{J}$,电热水壶工作6 min消耗的电能:$W=\frac{600}{3\ 000}\ \mathrm{kW·h}=0.2\ \mathrm{kW·h}=7.2 × 10^5\ \mathrm{J}$,电热水壶加热时的加热效率:$\eta=\frac{Q_{\mathrm{吸}}}{W} × 100\%=\frac{5.04 × 10^5\ \mathrm{J}}{7.2 × 10^5\ \mathrm{J}} × 100\%=70\%$。
(2)当温控开关闭合时,只有电阻$R_1$接入电路,此时电热水壶处于加热状态,电路中的加热功率:$P_{\mathrm{加热}}=\frac{W}{t}=\frac{7.2 × 10^5\ \mathrm{J}}{6 × 60\ \mathrm{s}}=2\ 000\ \mathrm{W}$。由$P=UI=\frac{U^2}{R}$可得,$R_1$的阻值:$R_1=\frac{U^2}{P_{\mathrm{加热}}}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{2\ 000\ \mathrm{W}}=24.2\ \Omega$。
(3)当温控开关断开时,电阻$R_1$和$R_2$串联,电热水壶处于保温状态,$P_{\mathrm{保温}}=44\ \mathrm{W}$,由$P=UI=\frac{U^2}{R}$可得,此时电路的总电阻:$R=\frac{U^2}{P_{\mathrm{保温}}}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{44\ \mathrm{W}}=1\ 100\ \Omega$,因串联电路中总电阻等于各分电阻之和,所以电热丝$R_2$的阻值:$R_2=R-R_1=1\ 100\ \Omega-24.2\ \Omega=1\ 075.8\ \Omega$。
解析
【分析】
要解决这三个问题，需分步骤分析：
1. 求加热效率：先利用水的比热容、质量、初温和末温（标准大气压下沸点为100℃）计算水吸收的热量；再根据电能表转盘转数算出电热水壶消耗的电能，最后用效率公式计算加热效率。
2. 求加热功率和R₁：加热时温控开关闭合，仅R₁接入电路，用消耗的电能除以加热时间得加热功率，再由电功率公式变形求出R₁的阻值。
3. 求R₂：保温时温控开关断开，R₁与R₂串联，先由保温功率算出总电阻，再用总电阻减去R₁的阻值得到R₂的阻值。
【解析】
(1) 1个标准大气压下，水的沸点为100℃，水吸收的热量：
$Q_{\mathrm{吸}}=c_{\mathrm{水}}m_{\mathrm{水}}(t-t_0)=4.2×10^3\ \mathrm{J/(kg·℃)}×1.5\ \mathrm{kg}×(100℃-20℃)=5.04×10^5\ \mathrm{J}$
电能表转盘转600转，电热水壶消耗的电能：
$W=\frac{600}{3000}\ \mathrm{kW·h}=0.2\ \mathrm{kW·h}=0.2×3.6×10^6\ \mathrm{J}=7.2×10^5\ \mathrm{J}$
加热效率：
$\eta=\frac{Q_{\mathrm{吸}}}{W}×100\%=\frac{5.04×10^5\ \mathrm{J}}{7.2×10^5\ \mathrm{J}}×100\%=70\%$
(2) 加热时，温控开关闭合，只有$R_1$接入电路，加热时间$t=6\ \mathrm{min}=360\ \mathrm{s}$，加热功率：
$P_{\mathrm{加热}}=\frac{W}{t}=\frac{7.2×10^5\ \mathrm{J}}{360\ \mathrm{s}}=2000\ \mathrm{W}$
由$P=\frac{U^2}{R}$得，$R_1$的阻值：
$R_1=\frac{U^2}{P_{\mathrm{加热}}}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{2000\ \mathrm{W}}=24.2\ \Omega$
(3) 保温时，温控开关断开，$R_1$与$R_2$串联，保温功率$P_{\mathrm{保温}}=44\ \mathrm{W}$，电路总电阻：
$R_{\mathrm{总}}=\frac{U^2}{P_{\mathrm{保温}}}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{44\ \mathrm{W}}=1100\ \Omega$
串联电路总电阻等于各电阻之和，故$R_2$的阻值：
$R_2=R_{\mathrm{总}}-R_1=1100\ \Omega-24.2\ \Omega=1075.8\ \Omega$
【答案】
(1)70% (2)2000 W，24.2 Ω (3)1075.8 Ω
【知识点】
电功计算、电功率计算、电热效率
【点评】
本题结合电能表参数、水的吸热规律和电路结构分析，考查电学综合计算，需明确加热、保温状态的电路连接方式，熟练运用相关公式，是电学应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
要解决这三个问题，需分步骤分析：
1. 求加热效率：先利用水的比热容、质量、初温和末温（标准大气压下沸点为100℃）计算水吸收的热量；再根据电能表转盘转数算出电热水壶消耗的电能，最后用效率公式计算加热效率。
2. 求加热功率和R₁：加热时温控开关闭合，仅R₁接入电路，用消耗的电能除以加热时间得加热功率，再由电功率公式变形求出R₁的阻值。
3. 求R₂：保温时温控开关断开，R₁与R₂串联，先由保温功率算出总电阻，再用总电阻减去R₁的阻值得到R₂的阻值。
【解析】
(1) 1个标准大气压下，水的沸点为100℃，水吸收的热量：
$Q_{\mathrm{吸}}=c_{\mathrm{水}}m_{\mathrm{水}}(t-t_0)=4.2×10^3\ \mathrm{J/(kg·℃)}×1.5\ \mathrm{kg}×(100℃-20℃)=5.04×10^5\ \mathrm{J}$
电能表转盘转600转，电热水壶消耗的电能：
$W=\frac{600}{3000}\ \mathrm{kW·h}=0.2\ \mathrm{kW·h}=0.2×3.6×10^6\ \mathrm{J}=7.2×10^5\ \mathrm{J}$
加热效率：
$\eta=\frac{Q_{\mathrm{吸}}}{W}×100\%=\frac{5.04×10^5\ \mathrm{J}}{7.2×10^5\ \mathrm{J}}×100\%=70\%$
(2) 加热时，温控开关闭合，只有$R_1$接入电路，加热时间$t=6\ \mathrm{min}=360\ \mathrm{s}$，加热功率：
$P_{\mathrm{加热}}=\frac{W}{t}=\frac{7.2×10^5\ \mathrm{J}}{360\ \mathrm{s}}=2000\ \mathrm{W}$
由$P=\frac{U^2}{R}$得，$R_1$的阻值：
$R_1=\frac{U^2}{P_{\mathrm{加热}}}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{2000\ \mathrm{W}}=24.2\ \Omega$
(3) 保温时，温控开关断开，$R_1$与$R_2$串联，保温功率$P_{\mathrm{保温}}=44\ \mathrm{W}$，电路总电阻：
$R_{\mathrm{总}}=\frac{U^2}{P_{\mathrm{保温}}}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{44\ \mathrm{W}}=1100\ \Omega$
串联电路总电阻等于各电阻之和，故$R_2$的阻值：
$R_2=R_{\mathrm{总}}-R_1=1100\ \Omega-24.2\ \Omega=1075.8\ \Omega$
【答案】
(1)70% (2)2000 W，24.2 Ω (3)1075.8 Ω
【知识点】
电功计算、电功率计算、电热效率
【点评】
本题结合电能表参数、水的吸热规律和电路结构分析，考查电学综合计算，需明确加热、保温状态的电路连接方式，熟练运用相关公式，是电学应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
