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1.「2026广东中山期中节选」如图，直线$y=x-3$与$x$轴，$y$轴分别交于点$B$，点$C$，经过$B,C$两点的抛物线$y=-x^2+mx+n$与$x$轴的另一个交点为$A$，顶点为$P$.
(1)求抛物线的解析式及顶点$P$的坐标.
(2)「学科特色 分类讨论思想」在该抛物线的对称轴上是否存在一点$Q$，使以$C,P,Q$为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由.
(1)求抛物线的解析式及顶点$P$的坐标.
(2)「学科特色 分类讨论思想」在该抛物线的对称轴上是否存在一点$Q$，使以$C,P,Q$为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
(1)在$y=x-3$中,当$y=0$时,$x-3=0$,解得$x=3$;当$x=0$时,$y=-3$,$\therefore$ 点$B(3,0)$,点$C(0,-3)$.
将点$B,C$的坐标分别代入$y=-x^2+mx+n$,
得$\begin{cases}n=-3,\\0=-9+3m+n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=4,\\n=-3,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$,
$\therefore P(2,1)$.
(2)存在.理由如下:
由(1)可知抛物线对称轴为直线$x=2$,
设$Q(2,q)$,$\because C(0,-3)$,$P(2,1)$,
$\therefore CQ^2=(0-2)^2+(-3-q)^2=q^2+6q+13$,$PQ^2=(2-2)^2+(1-q)^2=q^2-2q+1$,$CP^2=(0-2)^2+(-3-1)^2=20$.
①当$CP=CQ$时,有$CP^2=CQ^2$,$\therefore q^2+6q+13=20$,
解得$q=-7$或$q=1$(不合题意,舍去),
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(2,-7)$;
②当$CP=PQ$时,有$CP^2=PQ^2$,
$\therefore q^2-2q+1=20$,
解得$q=1+2\sqrt{5}$或$q=1-2\sqrt{5}$,
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(2,1-2\sqrt{5})$或$(2,1+2\sqrt{5})$;
③当$CQ=PQ$时,有$CQ^2=PQ^2$,
$\therefore q^2+6q+13=q^2-2q+1$,解得$q=-\frac{3}{2}$,
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(2,-\frac{3}{2})$.
综上所述,点$Q$的坐标为$(2,1-2\sqrt{5})$或$(2,1+2\sqrt{5})$或$(2,-\frac{3}{2})$或$(2,-7)$.
将点$B,C$的坐标分别代入$y=-x^2+mx+n$,
得$\begin{cases}n=-3,\\0=-9+3m+n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=4,\\n=-3,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$,
$\therefore P(2,1)$.
(2)存在.理由如下:
由(1)可知抛物线对称轴为直线$x=2$,
设$Q(2,q)$,$\because C(0,-3)$,$P(2,1)$,
$\therefore CQ^2=(0-2)^2+(-3-q)^2=q^2+6q+13$,$PQ^2=(2-2)^2+(1-q)^2=q^2-2q+1$,$CP^2=(0-2)^2+(-3-1)^2=20$.
①当$CP=CQ$时,有$CP^2=CQ^2$,$\therefore q^2+6q+13=20$,
解得$q=-7$或$q=1$(不合题意,舍去),
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(2,-7)$;
②当$CP=PQ$时,有$CP^2=PQ^2$,
$\therefore q^2-2q+1=20$,
解得$q=1+2\sqrt{5}$或$q=1-2\sqrt{5}$,
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(2,1-2\sqrt{5})$或$(2,1+2\sqrt{5})$;
③当$CQ=PQ$时,有$CQ^2=PQ^2$,
$\therefore q^2+6q+13=q^2-2q+1$,解得$q=-\frac{3}{2}$,
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(2,-\frac{3}{2})$.
综上所述,点$Q$的坐标为$(2,1-2\sqrt{5})$或$(2,1+2\sqrt{5})$或$(2,-\frac{3}{2})$或$(2,-7)$.
解析
【分析】
(1) 先求出直线$y=x-3$与坐标轴的交点$B$、$C$的坐标：令$y=0$可求$B$点横坐标，令$x=0$可求$C$点纵坐标；再将$B$、$C$两点坐标代入抛物线解析式，得到关于$m$、$n$的方程组，解方程组得到$m$、$n$的值即可确定抛物线解析式，最后通过配方法求出顶点$P$的坐标。
(2) 由抛物线解析式得对称轴为直线$x=2$，因此设$Q$点坐标为$(2,q)$，先利用两点间距离的平方公式分别表示出$CP^2$、$CQ^2$、$PQ^2$，再分三种情况讨论等腰三角形：①$CP=CQ$，②$CP=PQ$，③$CQ=PQ$，分别列方程求解$q$的值，舍去重合的无效解，即可得到所有符合条件的$Q$点坐标。
【解析】
(1)在$y=x-3$中,当$y=0$时,$x-3=0$,解得$x=3$;当$x=0$时,$y=-3$,$\therefore$ 点$B(3,0)$,点$C(0,-3)$.
将点$B,C$的坐标分别代入$y=-x^2+mx+n$,
得$\begin{cases}n=-3,\\0=-9+3m+n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=4,\\n=-3,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$,
$\therefore P(2,1)$.
(2)存在.理由如下:
由(1)可知抛物线对称轴为直线$x=2$,
设$Q(2,q)$,$\because C(0,-3)$,$P(2,1)$,
$\therefore CQ^2=(0-2)^2+(-3-q)^2=q^2+6q+13$,$PQ^2=(2-2)^2+(1-q)^2=q^2-2q+1$,$CP^2=(0-2)^2+(-3-1)^2=20$.
①当$CP=CQ$时,有$CP^2=CQ^2$,$\therefore q^2+6q+13=20$,
解得$q=-7$或$q=1$(不合题意,舍去),
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(2,-7)$;
②当$CP=PQ$时,有$CP^2=PQ^2$,
$\therefore q^2-2q+1=20$,
解得$q=1+2\sqrt{5}$或$q=1-2\sqrt{5}$,
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(2,1-2\sqrt{5})$或$(2,1+2\sqrt{5})$;
③当$CQ=PQ$时,有$CQ^2=PQ^2$,
$\therefore q^2+6q+13=q^2-2q+1$,解得$q=-\frac{3}{2}$,
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(2,-\frac{3}{2})$.
综上所述,点$Q$的坐标为$(2,1-2\sqrt{5})$或$(2,1+2\sqrt{5})$或$(2,-\frac{3}{2})$或$(2,-7)$.
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+4x-3}$，顶点$P$的坐标为$\boldsymbol{(2,1)}$；
(2) 存在，符合条件的点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(2,1-2\sqrt{5})}$、$\boldsymbol{(2,1+2\sqrt{5})}$、$\boldsymbol{(2,-\frac{3}{2})}$、$\boldsymbol{(2,-7)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点坐标，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题是二次函数综合常规题型，第一问侧重基础，掌握待定系数法即可快速求解；第二问是二次函数常考的等腰三角形存在性问题，核心是运用分类讨论思想，分三种情况讨论等腰三角形的腰和底，用距离平方列方程可简化运算，解题时注意排除无效解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 先求出直线$y=x-3$与坐标轴的交点$B$、$C$的坐标：令$y=0$可求$B$点横坐标，令$x=0$可求$C$点纵坐标；再将$B$、$C$两点坐标代入抛物线解析式，得到关于$m$、$n$的方程组，解方程组得到$m$、$n$的值即可确定抛物线解析式，最后通过配方法求出顶点$P$的坐标。
(2) 由抛物线解析式得对称轴为直线$x=2$，因此设$Q$点坐标为$(2,q)$，先利用两点间距离的平方公式分别表示出$CP^2$、$CQ^2$、$PQ^2$，再分三种情况讨论等腰三角形：①$CP=CQ$，②$CP=PQ$，③$CQ=PQ$，分别列方程求解$q$的值，舍去重合的无效解，即可得到所有符合条件的$Q$点坐标。
【解析】
(1)在$y=x-3$中,当$y=0$时,$x-3=0$,解得$x=3$;当$x=0$时,$y=-3$,$\therefore$ 点$B(3,0)$,点$C(0,-3)$.
将点$B,C$的坐标分别代入$y=-x^2+mx+n$,
得$\begin{cases}n=-3,\\0=-9+3m+n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=4,\\n=-3,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$,
$\therefore P(2,1)$.
(2)存在.理由如下:
由(1)可知抛物线对称轴为直线$x=2$,
设$Q(2,q)$,$\because C(0,-3)$,$P(2,1)$,
$\therefore CQ^2=(0-2)^2+(-3-q)^2=q^2+6q+13$,$PQ^2=(2-2)^2+(1-q)^2=q^2-2q+1$,$CP^2=(0-2)^2+(-3-1)^2=20$.
①当$CP=CQ$时,有$CP^2=CQ^2$,$\therefore q^2+6q+13=20$,
解得$q=-7$或$q=1$(不合题意,舍去),
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(2,-7)$;
②当$CP=PQ$时,有$CP^2=PQ^2$,
$\therefore q^2-2q+1=20$,
解得$q=1+2\sqrt{5}$或$q=1-2\sqrt{5}$,
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(2,1-2\sqrt{5})$或$(2,1+2\sqrt{5})$;
③当$CQ=PQ$时,有$CQ^2=PQ^2$,
$\therefore q^2+6q+13=q^2-2q+1$,解得$q=-\frac{3}{2}$,
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(2,-\frac{3}{2})$.
综上所述,点$Q$的坐标为$(2,1-2\sqrt{5})$或$(2,1+2\sqrt{5})$或$(2,-\frac{3}{2})$或$(2,-7)$.
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+4x-3}$，顶点$P$的坐标为$\boldsymbol{(2,1)}$；
(2) 存在，符合条件的点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(2,1-2\sqrt{5})}$、$\boldsymbol{(2,1+2\sqrt{5})}$、$\boldsymbol{(2,-\frac{3}{2})}$、$\boldsymbol{(2,-7)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点坐标，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题是二次函数综合常规题型，第一问侧重基础，掌握待定系数法即可快速求解；第二问是二次函数常考的等腰三角形存在性问题，核心是运用分类讨论思想，分三种情况讨论等腰三角形的腰和底，用距离平方列方程可简化运算，解题时注意排除无效解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
2.「2025青海中考」如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx-3(a≠0)$与x轴交于A,B两点，点B的坐标为(1,0)，点C(2,5)在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式.
(2)①求点A的坐标.
②当$y＜0$时，根据图象直接写出$x$的取值范围：
(3)「学科特色分类讨论思想」连接AC交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使$△ ACP$是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
(1)求抛物线的解析式.
(2)①求点A的坐标.
②当$y＜0$时，根据图象直接写出$x$的取值范围：
-3＜x＜1
.(3)「学科特色分类讨论思想」连接AC交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使$△ ACP$是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
(1)将$B(1,0)$,$C(2,5)$代入$y=ax^2+bx-3(a≠0)$得$\begin{cases}a+b-3=0,\\4a+2b-3=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=2,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=x^2+2x-3$.
(2)①令$y=0$,则$x^2+2x-3=0$,解得$x=-3$或$x=1$,
$\because$ 点$A$在$x$轴负半轴上,$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-3,0)$.
②$-3＜x＜1$.
(3)存在.设点$P(0,p)$,$\because A(-3,0)$,$C(2,5)$,
$\therefore AC^2=(2+3)^2+(5-0)^2=50$,
$AP^2=(0+3)^2+(p-0)^2=9+p^2$,
$CP^2=(0-2)^2+(p-5)^2=p^2-10p+29$,
$\because △ ACP$是以$AC$为直角边的直角三角形,
$\therefore$ 分以下两种情况讨论:
当$AP$为斜边时,有$AP^2=AC^2+CP^2$,
$\therefore 9+p^2=50+p^2-10p+29$,解得$p=7$,$\therefore P(0,7)$,
当$CP$为斜边时,有$CP^2=AC^2+AP^2$,
$\therefore p^2-10p+29=50+9+p^2$,解得$p=-3$,$\therefore P(0,-3)$.
综上所述,点$P$的坐标为$(0,7)$或$(0,-3)$.
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=x^2+2x-3$.
(2)①令$y=0$,则$x^2+2x-3=0$,解得$x=-3$或$x=1$,
$\because$ 点$A$在$x$轴负半轴上,$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-3,0)$.
②$-3＜x＜1$.
(3)存在.设点$P(0,p)$,$\because A(-3,0)$,$C(2,5)$,
$\therefore AC^2=(2+3)^2+(5-0)^2=50$,
$AP^2=(0+3)^2+(p-0)^2=9+p^2$,
$CP^2=(0-2)^2+(p-5)^2=p^2-10p+29$,
$\because △ ACP$是以$AC$为直角边的直角三角形,
$\therefore$ 分以下两种情况讨论:
当$AP$为斜边时,有$AP^2=AC^2+CP^2$,
$\therefore 9+p^2=50+p^2-10p+29$,解得$p=7$,$\therefore P(0,7)$,
当$CP$为斜边时,有$CP^2=AC^2+AP^2$,
$\therefore p^2-10p+29=50+9+p^2$,解得$p=-3$,$\therefore P(0,-3)$.
综上所述,点$P$的坐标为$(0,7)$或$(0,-3)$.
解析
【分析】
(1)求抛物线解析式时，已知抛物线上B、C两点的坐标，直接代入二次函数一般式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
(2)①求点A坐标，点A是抛物线与x轴的交点，令y=0解一元二次方程，结合点A在x轴负半轴的特征即可确定坐标；②y＜0对应抛物线在x轴下方的图象，结合抛物线与x轴的两个交点横坐标，直接写出x的取值范围即可。
(3)要找y轴上使△ACP以AC为直角边的点P，先设P坐标为(0,p)，用勾股定理分别表示出AC²、AP²、CP²，再分两种情况讨论：直角顶点在C点时AP为斜边，直角顶点在A点时CP为斜边，分别列方程求解p的值，即可得到P点坐标。
【解析】
(1)将$B(1,0)$、$C(2,5)$代入$y=ax^2+bx-3(a≠0)$得：
$\begin{cases}a+b-3=0\\4a+2b-3=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=x^2+2x-3$。
(2)①令$y=0$，则$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x=-3$或$x=1$。
$\because$ 点A在x轴负半轴上，$\therefore$ 点A的坐标为$(-3,0)$。
②抛物线开口向上，与x轴交于$A(-3,0)$、$B(1,0)$，当$y＜0$时，图象位于x轴下方，对应x的取值范围是$-3＜x＜1$。
(3)存在，设点$P(0,p)$，已知$A(-3,0)$、$C(2,5)$，由勾股定理得：
$AC^2=(2+3)^2+(5-0)^2=50$，
$AP^2=(0+3)^2+(p-0)^2=9+p^2$，
$CP^2=(0-2)^2+(p-5)^2=p^2-10p+29$。
$\because △ACP$是以AC为直角边的直角三角形，分两种情况讨论：
当AP为斜边时，有$AP^2=AC^2+CP^2$，
代入得$9+p^2=50+p^2-10p+29$，解得$p=7$，即$P(0,7)$；
当CP为斜边时，有$CP^2=AC^2+AP^2$，
代入得$p^2-10p+29=50+9+p^2$，解得$p=-3$，即$P(0,-3)$。
综上，符合条件的点P坐标为$(0,7)$或$(0,-3)$。
【答案】
(1)$y=x^2+2x-3$
(2)①$A(-3,0)$；②$\boldsymbol{-3＜x＜1}$
(3)存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(0,7)}$或$\boldsymbol{(0,-3)}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，勾股定理的应用
【点评】
本题是二次函数综合基础题，覆盖了二次函数的基本运算、图象性质应用，以及直角三角形存在性的分类讨论，既考查基础运算能力，也渗透了分类讨论的数学思想，是二次函数章节的典型考题。
【难度系数】
0.6
(1)求抛物线解析式时，已知抛物线上B、C两点的坐标，直接代入二次函数一般式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
(2)①求点A坐标，点A是抛物线与x轴的交点，令y=0解一元二次方程，结合点A在x轴负半轴的特征即可确定坐标；②y＜0对应抛物线在x轴下方的图象，结合抛物线与x轴的两个交点横坐标，直接写出x的取值范围即可。
(3)要找y轴上使△ACP以AC为直角边的点P，先设P坐标为(0,p)，用勾股定理分别表示出AC²、AP²、CP²，再分两种情况讨论：直角顶点在C点时AP为斜边，直角顶点在A点时CP为斜边，分别列方程求解p的值，即可得到P点坐标。
【解析】
(1)将$B(1,0)$、$C(2,5)$代入$y=ax^2+bx-3(a≠0)$得：
$\begin{cases}a+b-3=0\\4a+2b-3=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=x^2+2x-3$。
(2)①令$y=0$，则$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x=-3$或$x=1$。
$\because$ 点A在x轴负半轴上，$\therefore$ 点A的坐标为$(-3,0)$。
②抛物线开口向上，与x轴交于$A(-3,0)$、$B(1,0)$，当$y＜0$时，图象位于x轴下方，对应x的取值范围是$-3＜x＜1$。
(3)存在，设点$P(0,p)$，已知$A(-3,0)$、$C(2,5)$，由勾股定理得：
$AC^2=(2+3)^2+(5-0)^2=50$，
$AP^2=(0+3)^2+(p-0)^2=9+p^2$，
$CP^2=(0-2)^2+(p-5)^2=p^2-10p+29$。
$\because △ACP$是以AC为直角边的直角三角形，分两种情况讨论：
当AP为斜边时，有$AP^2=AC^2+CP^2$，
代入得$9+p^2=50+p^2-10p+29$，解得$p=7$，即$P(0,7)$；
当CP为斜边时，有$CP^2=AC^2+AP^2$，
代入得$p^2-10p+29=50+9+p^2$，解得$p=-3$，即$P(0,-3)$。
综上，符合条件的点P坐标为$(0,7)$或$(0,-3)$。
【答案】
(1)$y=x^2+2x-3$
(2)①$A(-3,0)$；②$\boldsymbol{-3＜x＜1}$
(3)存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(0,7)}$或$\boldsymbol{(0,-3)}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，勾股定理的应用
【点评】
本题是二次函数综合基础题，覆盖了二次函数的基本运算、图象性质应用，以及直角三角形存在性的分类讨论，既考查基础运算能力，也渗透了分类讨论的数学思想，是二次函数章节的典型考题。
【难度系数】
0.6
