登录
10. ⋮⋮ [2026淮南期末] 如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm. 点P从点A开始沿AB边向B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动. 如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过的时间为t s，△PBQ的面积为S cm².
(1) S与t满足的函数关系式为
(2)当S=8时，t=
(1) S与t满足的函数关系式为
$S=-t^2+6t$
，t的取值范围为$0＜t≤4$
；(2)当S=8时，t=
2 或 4
.答案
10. (1)$S=-t^2+6t;0＜t≤4$ (2)2 或 4 【点拨】(1)由题意得 $BP=(6-t)\mathrm{cm},BQ=2t\ \mathrm{cm},\therefore S=\frac{1}{2}(6-t)· 2t=-t^2+6t(0＜t≤4)$.(2)当 $S=8$ 时,$8=-t^2+6t$,解得 $t_1=2,t_2=4$.$\therefore$ 当 $S=8$ 时,$t=2$ 或 4.
11. 新考法 分类讨论法 已知函数 $y=(a+3)x^{a^2+a-4}+(a+2)x+3$.
(1)当a为何值时，y是x的二次函数？
(2)当a为何值时，y是x的一次函数？
(1)当a为何值时，y是x的二次函数？
(2)当a为何值时，y是x的一次函数？
答案
11. 【解】(1)根据题意,得 $a+3≠0$ 且 $a^2+a-4=2$,所以 $a=2$. 即当 $a$ 为 2 时,$y$ 是 $x$ 的二次函数.
(2)当 $a+3=0$ 且 $a+2≠0$,即 $a=-3$ 时,$y$ 是 $x$ 的一次函数;
当 $a^2+a-4=0$ 且 $a+2≠0$,即 $a=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$ 时,$y$ 是 $x$ 的一次函数; 当 $a^2+a-4=1$ 且 $a+3+a+2≠0$,即 $a=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}$ 时,$y$ 是 $x$ 的一次函数. 综上,当 $a$ 为 $-3$ 或 $\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$ 或 $\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}$ 时,$y$ 是 $x$ 的一次函数.
(2)当 $a+3=0$ 且 $a+2≠0$,即 $a=-3$ 时,$y$ 是 $x$ 的一次函数;
当 $a^2+a-4=0$ 且 $a+2≠0$,即 $a=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$ 时,$y$ 是 $x$ 的一次函数; 当 $a^2+a-4=1$ 且 $a+3+a+2≠0$,即 $a=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}$ 时,$y$ 是 $x$ 的一次函数. 综上,当 $a$ 为 $-3$ 或 $\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$ 或 $\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}$ 时,$y$ 是 $x$ 的一次函数.
12. ★★ /情境题 无线充电器 某公司试销一种成本为30元/件的无线充电器，按规定试销时的销售价不低于成本价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)满足下表中的函数关系.
(1)试求y与x之间的函数表达式；
(2)设该公司试销该种无线充电器每天获得的总毛利润为S(元)，求S与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.(总毛利润=销售总价－成本总价)
(3)该公司要想一天获得的总毛利润为8000元，求销售价.
(1)试求y与x之间的函数表达式；
(2)设该公司试销该种无线充电器每天获得的总毛利润为S(元)，求S与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.(总毛利润=销售总价－成本总价)
(3)该公司要想一天获得的总毛利润为8000元，求销售价.
答案
12. 【解】(1)由表中数值可知,$y$ 与 $x$ 满足一次函数关系,设 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=kx+b(k≠0)$,把 $x=40,y=500;x=50,y=400$ 分别代入,得 $\begin{cases}40k+b=500,\\50k+b=400,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-10,\\b=900.\end{cases}$ $\therefore y=-10x+900$.
经检验,表中其他对应值都满足 $y=-10x+900$,$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=-10x+900(30≤ x≤80)$.
(2)$S=(x-30)· y=(x-30)· (-10x+900)=-10x^2+1\ 200x-27\ 000(30≤ x≤80)$.
(3)根据题意,得 $-10x^2+1\ 200x-27\ 000=8\ 000$,解得 $x_1=50,x_2=70$.
答:销售价为 50 元/件或 70 元/件.
经检验,表中其他对应值都满足 $y=-10x+900$,$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=-10x+900(30≤ x≤80)$.
(2)$S=(x-30)· y=(x-30)· (-10x+900)=-10x^2+1\ 200x-27\ 000(30≤ x≤80)$.
(3)根据题意,得 $-10x^2+1\ 200x-27\ 000=8\ 000$,解得 $x_1=50,x_2=70$.
答:销售价为 50 元/件或 70 元/件.
13. 新考法 猜想验证法 【综合与实践】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，M是x轴上一点，连接AM，作线段AM的垂直平分线$l_1$，过点M作x轴的垂线$l_2$，记$l_1,l_2$的交点为P.
【操作与发现】(1)当点M的坐标为(0,0)时，点P的坐标为
【猜想与证明】(2)在x轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P，把这些点连接起来形成图象L，猜想L为我们学过的
(3)设点P的坐标是$(x,y)$，根据PA与PM的关系，确定$x,y$满足的关系式.
【实践与运用】(4)运用所学知识，要使$△ AMP$为钝角三角形，直接写出$x$的取值范围.
【操作与发现】(1)当点M的坐标为(0,0)时，点P的坐标为
$(0,2)$
；当点M的坐标为(4,0)时，点P的坐标为$(4,4)$
.【猜想与证明】(2)在x轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P，把这些点连接起来形成图象L，猜想L为我们学过的
②
图象.(请填序号:①一次函数;②二次函数)(3)设点P的坐标是$(x,y)$，根据PA与PM的关系，确定$x,y$满足的关系式.
【实践与运用】(4)运用所学知识，要使$△ AMP$为钝角三角形，直接写出$x$的取值范围.
答案
13. 【解】(1)$(0,2);(4,4)$
【点拨】当点 M 的坐标为$(0,0)$时,线段 AM 的垂直平分线为直线 $y=2$,过点 M 垂直于 x 轴的垂线 $l_2$ 即为 y 轴,$\therefore$ 点 P 的坐标为$(0,2)$;当点 M 的坐标为$(4,0)$时,
所示,点 P 的坐标为$(4,4)$.(2)② 【点拨】由对称性可知,当点 M 的坐标为$(-4,0)$时,点 P 的坐标为$(-4,4)$,$\therefore$ 由点 P 的位置变化可猜想 L 为我们学过的二次函数图象.
(3)由勾股定理得,$PA^2=(x-0)^2+(y-4)^2=x^2+(y-4)^2$,$PM^2=y^2$,
$\because PA=PM,\therefore x^2+(y-4)^2=y^2$.
$\therefore y=\frac{1}{8}x^2+2$.
(4)$x$ 的取值范围为 $-4＜x＜4$ 且 $x≠0$. 【点拨】
,当 $x=4$ 时,点 $P(4,4)$,此时 $∠ APM=90°$,四边形 AOMP 是正方形,当 $-4＜x＜4$ 时,可知 $∠ AM'O＞45°$,易知 $∠ P'AM'=∠ P'M'A＜45°$,$\therefore ∠ AP'M'＞90°$,即 $△ AM'P'$ 为钝角三角形,又由(1)可知当点 M 的坐标为$(0,0)$时,点 P 的坐标为$(0,2)$,点 A,M,P 三点共线不能构成三角形,$\therefore x≠0$.综上,要使$△ AMP$为钝角三角形,$x$ 的取值范围为 $-4＜x＜4$ 且 $x≠0$.
