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一、设计玉璧——融合数学与美学
1. 设计要求(结合数学知识与传统美学)
(1) 造型:以圆为核心，设计一个具有传统韵味或现代创意的玉璧造型，包含外圆和内孔(同心圆)，可添加简单的装饰纹样(如花纹、吉祥图案)，体现“圆”的对称性。
(2) 数学:明确标注玉璧的外圆半径、内孔半径，计算出玉璧的外圆周长、内孔周长、环形面积，确保尺寸合理、比例协调(可参考古代玉璧的比例，也可自主设计)。
(3) 创意:结合玉璧“吉祥、圆满”的文化寓意，融入自身创意，做到美观、实用、有内涵。
2. 动手设计
(1) 运用圆规、直尺，在彩纸或方格纸上画出玉璧的轮廓(同心圆)，设计装饰纹样，确保造型对称、美观。
(2) 测量并记录外圆半径、内孔半径，运用圆的周长、面积公式，准确计算出相关数据，标注在设计图上。
(3) 小组讨论:针对设计中的问题(如尺寸比例不合理、纹样与圆的对称性不符)，结合数学知识和美学要求进行调整，确保设计既符合数学规律，又具有美感。
3. 总结反思
引导学生反思本次实践活动:通过探究玉璧，你对圆的知识有了哪些新的理解? 在设计玉璧的过程中，你遇到了哪些数学问题? 是如何解决的? 你体会到了数学与文化、艺术之间的什么关系?结合自身实践，撰写简短的实践反思。
1. 设计要求(结合数学知识与传统美学)
(1) 造型:以圆为核心，设计一个具有传统韵味或现代创意的玉璧造型，包含外圆和内孔(同心圆)，可添加简单的装饰纹样(如花纹、吉祥图案)，体现“圆”的对称性。
(2) 数学:明确标注玉璧的外圆半径、内孔半径，计算出玉璧的外圆周长、内孔周长、环形面积，确保尺寸合理、比例协调(可参考古代玉璧的比例，也可自主设计)。
(3) 创意:结合玉璧“吉祥、圆满”的文化寓意，融入自身创意，做到美观、实用、有内涵。
2. 动手设计
(1) 运用圆规、直尺，在彩纸或方格纸上画出玉璧的轮廓(同心圆)，设计装饰纹样，确保造型对称、美观。
(2) 测量并记录外圆半径、内孔半径，运用圆的周长、面积公式，准确计算出相关数据，标注在设计图上。
(3) 小组讨论:针对设计中的问题(如尺寸比例不合理、纹样与圆的对称性不符)，结合数学知识和美学要求进行调整，确保设计既符合数学规律，又具有美感。
3. 总结反思
引导学生反思本次实践活动:通过探究玉璧，你对圆的知识有了哪些新的理解? 在设计玉璧的过程中，你遇到了哪些数学问题? 是如何解决的? 你体会到了数学与文化、艺术之间的什么关系?结合自身实践，撰写简短的实践反思。
答案
解：
1. 确定玉璧尺寸：
外圆半径 $ R = 6\mathrm{cm} $，内孔半径 $ r = 2\mathrm{cm} $
2. 计算相关数值：
外圆周长：$ C_{\mathrm{外}} = 2π R = 2×π×6 = 12π \approx 37.68\mathrm{cm} $
内孔周长：$ C_{\mathrm{内}} = 2π r = 2×π×2 = 4π \approx 12.56\mathrm{cm} $
环形面积：$ S_{\mathrm{环}} = π(R^2 - r^2) = π×(6^2 - 2^2) = 32π \approx 100.48\mathrm{cm}^2 $
3. 设计与调整：
（1）用圆规、直尺绘制半径6cm的外圆和同圆心、半径2cm的内圆；在外圆与内圆之间的环形区域，均匀绘制6个中心对称的卷草纹样，保证造型对称美观。
（2）测量并标注外圆半径6cm、内孔半径2cm，将上述计算的周长、面积数据标注在设计图对应位置。
（3）小组讨论后，调整纹样的大小与间距，确保每个纹样到圆心的距离一致，确认外圆与内孔半径比为3:1，比例协调。
4. 总结反思：
（1）对圆的新理解：圆的中心对称、轴对称性质可直接应用于艺术设计，环形面积的计算是圆面积公式的实际延伸。
（2）遇到的数学问题：最初内孔半径设置为3cm，导致环形区域比例失衡，通过计算不同半径下的环形面积占比，结合视觉美感，调整为内孔半径2cm。
（3）体会：数学是文化与艺术的载体，玉璧设计将圆的几何知识与传统美学、文化寓意结合，体现了数学的实用性与文化价值的统一。
1. 确定玉璧尺寸：
外圆半径 $ R = 6\mathrm{cm} $，内孔半径 $ r = 2\mathrm{cm} $
2. 计算相关数值：
外圆周长：$ C_{\mathrm{外}} = 2π R = 2×π×6 = 12π \approx 37.68\mathrm{cm} $
内孔周长：$ C_{\mathrm{内}} = 2π r = 2×π×2 = 4π \approx 12.56\mathrm{cm} $
环形面积：$ S_{\mathrm{环}} = π(R^2 - r^2) = π×(6^2 - 2^2) = 32π \approx 100.48\mathrm{cm}^2 $
3. 设计与调整：
（1）用圆规、直尺绘制半径6cm的外圆和同圆心、半径2cm的内圆；在外圆与内圆之间的环形区域，均匀绘制6个中心对称的卷草纹样，保证造型对称美观。
（2）测量并标注外圆半径6cm、内孔半径2cm，将上述计算的周长、面积数据标注在设计图对应位置。
（3）小组讨论后，调整纹样的大小与间距，确保每个纹样到圆心的距离一致，确认外圆与内孔半径比为3:1，比例协调。
4. 总结反思：
（1）对圆的新理解：圆的中心对称、轴对称性质可直接应用于艺术设计，环形面积的计算是圆面积公式的实际延伸。
（2）遇到的数学问题：最初内孔半径设置为3cm，导致环形区域比例失衡，通过计算不同半径下的环形面积占比，结合视觉美感，调整为内孔半径2cm。
（3）体会：数学是文化与艺术的载体，玉璧设计将圆的几何知识与传统美学、文化寓意结合，体现了数学的实用性与文化价值的统一。
二、数学思考
1. 除了玉璧，生活中还有哪些物品用到了同心圆? (如光盘、碗、时钟等)，尝试计算这些物品的环形面积，分析其尺寸比例的合理性。
2. 深度探究:古代玉璧的尺寸往往与“天圆地方”的思想结合，结合圆的性质，思考古人为什么选择圆形作为玉璧的核心造型? 圆形的对称性在生活中还有哪些应用?
3. 创意拓展:如果设计一个非同心圆的玉璧(外圆与内孔圆心不同)，会有什么特点? 计算其面积时与同心圆玉璧有什么区别? 尝试设计一个非同心圆玉璧，体会圆与圆位置关系的应用。
1. 除了玉璧，生活中还有哪些物品用到了同心圆? (如光盘、碗、时钟等)，尝试计算这些物品的环形面积，分析其尺寸比例的合理性。
2. 深度探究:古代玉璧的尺寸往往与“天圆地方”的思想结合，结合圆的性质，思考古人为什么选择圆形作为玉璧的核心造型? 圆形的对称性在生活中还有哪些应用?
3. 创意拓展:如果设计一个非同心圆的玉璧(外圆与内孔圆心不同)，会有什么特点? 计算其面积时与同心圆玉璧有什么区别? 尝试设计一个非同心圆玉璧，体会圆与圆位置关系的应用。
答案
解：
1. 示例1：光盘
设光盘外圆半径$R=6\mathrm{cm}$，内孔半径$r=1\mathrm{cm}$，
环形面积$S=π R^2 - π r^2=π(6^2 - 1^2)=35π\approx110\mathrm{cm}^2$。
尺寸比例合理性：外圆与内孔半径比约为$6:1$，内孔适配光驱转轴，外圆保证足够数据存储面积，结构稳定不易变形。
示例2：碗
设碗口外圆半径$R=10\mathrm{cm}$，碗内壁内圆半径$r=8\mathrm{cm}$，
环形面积$S=π(10^2 - 8^2)=36π\approx113\mathrm{cm}^2$。
尺寸比例合理性：外圆与内圆半径比约为$5:4$，碗边缘厚度适中，兼顾稳固性与材料利用率，便于握持。
2. 古人选择圆形作为玉璧核心造型的原因：
① 圆是轴对称图形，任意直径所在直线为对称轴；同时是中心对称图形，圆心为对称中心，对称性强，契合“天圆地方”中对天的认知，象征圆满和谐；
② 圆上任意点到圆心距离相等（半径相等），寓意公平公正，符合古人精神追求。
圆形对称性的应用：
① 车轮：利用圆的对称性，滚动时圆心高度不变，行驶平稳；
② 圆桌：轴对称性使每个座位到中心距离相等，体现用餐公平性；
③ 摩天轮：中心对称结构保证运行受力均匀，运转平稳。
3. 非同心圆玉璧的特点：造型不对称，视觉上具动态感与独特性，打破传统规整感，可呈现不规则镂空效果，更具艺术创意。
面积计算区别：
同心圆玉璧面积为外圆面积减内圆面积，即$S=π R^2 - π r^2$；
非同心圆玉璧需根据两圆位置关系计算：
① 若内孔完全在外圆内部（内含），面积仍为外圆面积减内圆面积；
② 若内孔与外圆相交，面积为外圆面积减去内孔与外圆的重叠部分面积；
③ 若内孔部分在外圆外，面积为外圆面积减去内孔位于外圆内的区域面积。
设计示例：
设外圆$O_1$半径$R=5\mathrm{cm}$，内孔$O_2$半径$r=2\mathrm{cm}$，圆心距$O_1O_2=2\mathrm{cm}$（两圆内含），
玉璧面积$S=π×5^2 - π×2^2=21π\approx65.94\mathrm{cm}^2$。
1. 示例1：光盘
设光盘外圆半径$R=6\mathrm{cm}$，内孔半径$r=1\mathrm{cm}$，
环形面积$S=π R^2 - π r^2=π(6^2 - 1^2)=35π\approx110\mathrm{cm}^2$。
尺寸比例合理性：外圆与内孔半径比约为$6:1$，内孔适配光驱转轴，外圆保证足够数据存储面积，结构稳定不易变形。
示例2：碗
设碗口外圆半径$R=10\mathrm{cm}$，碗内壁内圆半径$r=8\mathrm{cm}$，
环形面积$S=π(10^2 - 8^2)=36π\approx113\mathrm{cm}^2$。
尺寸比例合理性：外圆与内圆半径比约为$5:4$，碗边缘厚度适中，兼顾稳固性与材料利用率，便于握持。
2. 古人选择圆形作为玉璧核心造型的原因：
① 圆是轴对称图形，任意直径所在直线为对称轴；同时是中心对称图形，圆心为对称中心，对称性强，契合“天圆地方”中对天的认知，象征圆满和谐；
② 圆上任意点到圆心距离相等（半径相等），寓意公平公正，符合古人精神追求。
圆形对称性的应用：
① 车轮：利用圆的对称性，滚动时圆心高度不变，行驶平稳；
② 圆桌：轴对称性使每个座位到中心距离相等，体现用餐公平性；
③ 摩天轮：中心对称结构保证运行受力均匀，运转平稳。
3. 非同心圆玉璧的特点：造型不对称，视觉上具动态感与独特性，打破传统规整感，可呈现不规则镂空效果，更具艺术创意。
面积计算区别：
同心圆玉璧面积为外圆面积减内圆面积，即$S=π R^2 - π r^2$；
非同心圆玉璧需根据两圆位置关系计算：
① 若内孔完全在外圆内部（内含），面积仍为外圆面积减内圆面积；
② 若内孔与外圆相交，面积为外圆面积减去内孔与外圆的重叠部分面积；
③ 若内孔部分在外圆外，面积为外圆面积减去内孔位于外圆内的区域面积。
设计示例：
设外圆$O_1$半径$R=5\mathrm{cm}$，内孔$O_2$半径$r=2\mathrm{cm}$，圆心距$O_1O_2=2\mathrm{cm}$（两圆内含），
玉璧面积$S=π×5^2 - π×2^2=21π\approx65.94\mathrm{cm}^2$。
三、实践总结
本次综合实践活动以玉璧为载体，将圆的数学知识与传统玉文化、创意设计相结合，让学生在探究中深化对圆的理解，在设计中提升数学应用能力，在交流中培养合作与表达能力。通过实践，学生不仅巩固了数学知识，更体会到数学与文化、艺术、生活的紧密联系，激发了数学学习的兴趣和创新意识，实现了“知识学习、能力培养、文化传承”的多元目标。
例1 (2026山东济南)玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物，据《尔雅·释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分(边)，“好”指中央的孔.结合图1“肉好若一”的含义可以表示为:中孔直径$d=2h$，图2是一枚破损的汉代玉环，为器物原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸.如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧$AB$，设弧$AB$所在圆的圆心为$O$，测得弧所对的弦长$AB=12$，半径$OC⊥ AB$于点$D$，测得$CD=3$，连接$OB$，求该玉环中孔半径的长.
例2 已知一枚玉璧的外圆直径比内孔直径大8 cm，且外圆周长与内孔周长的和为$40π \ \mathrm{cm}$，请结合所学圆的知识，解决以下问题。
(1) 求这枚玉璧的外圆半径和内孔半径；
(2) 计算这枚玉璧的环形面积(即玉璧本身的面积，外圆面积减去内孔面积)；
(3) 若要在这枚玉璧的外圆边缘镶嵌一圈金属装饰条，已知装饰条每厘米的成本为2元，求镶嵌这圈装饰条的总费用。
本次综合实践活动以玉璧为载体，将圆的数学知识与传统玉文化、创意设计相结合，让学生在探究中深化对圆的理解，在设计中提升数学应用能力，在交流中培养合作与表达能力。通过实践，学生不仅巩固了数学知识，更体会到数学与文化、艺术、生活的紧密联系，激发了数学学习的兴趣和创新意识，实现了“知识学习、能力培养、文化传承”的多元目标。
例1 (2026山东济南)玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物，据《尔雅·释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分(边)，“好”指中央的孔.结合图1“肉好若一”的含义可以表示为:中孔直径$d=2h$，图2是一枚破损的汉代玉环，为器物原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸.如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧$AB$，设弧$AB$所在圆的圆心为$O$，测得弧所对的弦长$AB=12$，半径$OC⊥ AB$于点$D$，测得$CD=3$，连接$OB$，求该玉环中孔半径的长.
例2 已知一枚玉璧的外圆直径比内孔直径大8 cm，且外圆周长与内孔周长的和为$40π \ \mathrm{cm}$，请结合所学圆的知识，解决以下问题。
(1) 求这枚玉璧的外圆半径和内孔半径；
(2) 计算这枚玉璧的环形面积(即玉璧本身的面积，外圆面积减去内孔面积)；
(3) 若要在这枚玉璧的外圆边缘镶嵌一圈金属装饰条，已知装饰条每厘米的成本为2元，求镶嵌这圈装饰条的总费用。
答案
例1 3.75 cm
例2 设这枚玉璧的内孔半径为r cm,则内孔直径为2r cm;根
据题意,外圆直径比内孔直径大8 cm,因此外圆直径为(2r+8)
cm,外圆半径为(r+4)cm.
(1)求外圆半径和内孔半径
已知外圆周长与内孔周长的和为$40π$ cm,根据圆的周长公式列
方程:
$2π(r+4)+2π r=40π$
解得:$r=8$
因此,内孔半径$r=8$ cm,外圆半径$=8+4=12$ cm.
答:这枚玉璧的外圆半径是12 cm,内孔半径是8 cm.
(2)计算环形面积
环形面积$=$外圆面积$-$内孔面积$=π×12^{2}-π×8^{2}$
$=144π-64π=80π(\mathrm{cm}^{2})$
答:这枚玉璧的环形面积是$80π$ $\mathrm{cm}^{2}$.
(3)计算镶嵌装饰条的总费用
装饰条长度$=$外圆周长$=2π×12=24π(\mathrm{cm})$
总费用$=$装饰条长度$×$每厘米成本$=24π×2=48π$(元)
答:镶嵌这圈装饰条的总费用是$48π$元.
例2 设这枚玉璧的内孔半径为r cm,则内孔直径为2r cm;根
据题意,外圆直径比内孔直径大8 cm,因此外圆直径为(2r+8)
cm,外圆半径为(r+4)cm.
(1)求外圆半径和内孔半径
已知外圆周长与内孔周长的和为$40π$ cm,根据圆的周长公式列
方程:
$2π(r+4)+2π r=40π$
解得:$r=8$
因此,内孔半径$r=8$ cm,外圆半径$=8+4=12$ cm.
答:这枚玉璧的外圆半径是12 cm,内孔半径是8 cm.
(2)计算环形面积
环形面积$=$外圆面积$-$内孔面积$=π×12^{2}-π×8^{2}$
$=144π-64π=80π(\mathrm{cm}^{2})$
答:这枚玉璧的环形面积是$80π$ $\mathrm{cm}^{2}$.
(3)计算镶嵌装饰条的总费用
装饰条长度$=$外圆周长$=2π×12=24π(\mathrm{cm})$
总费用$=$装饰条长度$×$每厘米成本$=24π×2=48π$(元)
答:镶嵌这圈装饰条的总费用是$48π$元.
