9. 已知线段$AB=6\ \mathrm{cm}$，在直线$AB$上取一点$C$，使$BC=2\ \mathrm{cm}$，则线段$AB$的中点$M$与$AC$的中点$N$之间的距离为 （）

A.1 cm
B.3 cm
C.2 cm或3 cm
D.1 cm或3 cm

9. A 如图①,当点 $C$ 在线段 $AB$ 上时,因为 $AB=6\ \mathrm{cm}$,$M$ 是 $AB$ 的中点,所以 $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$. 又因为 $BC=2\ \mathrm{cm}$,所以 $AC=AB-BC=6-2=4(\mathrm{cm})$. 因为 $N$是 $AC$ 的中点,所以 $AN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2(\mathrm{cm})$. 所以$MN=AM-AN=3-2=1(\mathrm{cm})$. 如图②,当点 $C$ 在线段$AB$ 的延长线上时,因为 $AB=6\ \mathrm{cm}$,$M$ 是 $AB$ 的中点,所以$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$. 又因为 $BC=2\ \mathrm{cm}$,所以$AC=AB+BC=6+2=8(\mathrm{cm})$. 因为 $N$ 是 $AC$ 的中点,所以 $AN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$. 所以 $MN=AN-AM=4-3=1(\mathrm{cm})$. 综上所述,线段 $AB$ 的中点 $M$ 与 $AC$ 的中点$N$ 之间的距离为 1 cm.

10. [分类讨论思想] 已知线段AB=4，在直线AB上作线段BC，使得BC=2。若D是线段AC的中点，则线段AD的长为。

10. 3或1 分两种情况:当点 $C$ 在线段 $AB$ 的延长线上时,如图①. 因为 $AB=4,BC=2$,所以 $AC=AB+BC=6$.因为 $D$ 是线段 $AC$ 的中点,所以 $AD=\frac{1}{2}AC=3$. 当点 $C$在线段 $AB$ 上时,如图②. 因为 $AB=4,BC=2$,所以 $AC=AB-BC=4-2=2$. 因为 $D$ 是线段 $AC$ 的中点,所以$AD=\frac{1}{2}AC=1$. 综上所述,线段 $AD$ 的长为 3 或 1.

11. 两根木条，一根长20 cm，一根长24 cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为 cm.

11. 2或22 当两根木条一端重合,另一端在同一方向时,易得两根木条的中点之间的距离为 $12-10=2(\mathrm{cm})$; 当两根木条一端重合,另一端方向相反时,易得两根木条的中点之间的距离为 $10+12=22(\mathrm{cm}).$

12. 如图，C为线段AB上一点，点D在线段AC上，且$AD=\frac{2}{3}AC$，E为BC的中点.
（1）若$AC=6$，$BE=1$，求线段AB，DE的长.
（2）试说明：$AB+BD=4DE$.

12. (1) 因为 $E$ 为 $BC$ 的中点,$BE=1$,所以 $BC=2BE=2$,$CE=BE=1$. 因为 $AC=6$,所以 $AB=AC+BC=6+2=8$.因为 $AD=\frac{2}{3}AC,AC=6$,所以 $AD=4$. 所以 $DC=AC-AD=6-4=2$. 所以 $DE=DC+CE=2+1=3$.
(2) 因为$AB=AC+BC,BD=BC+CD$,所以 $AB+BD=AC+BC+BC+CD$. 因为 $AD=\frac{2}{3}AC,E$ 为 $BC$ 的中点,所以 $AC=3CD,BC=2CE$. 所以 $AB+BD=3CD+2CE+2CE+CD=4CD+4CE=4(CD+CE)=4DE.$

13. 如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M-P-N，若该折线M-P-N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把Q叫做这条折线的“折中点”.已知D是折线A-C-B的“折中点”，E为线段AC的中点，CD=5，CE=7，则线段BC的长为.

13. 24或4 分以下两种情况:① 如图①,由题意,得 $BD=AC+CD,AC=2CE$,所以 $BC=CD+BD=CD+(AC+CD)=CD+(2CE+CD)=2(CD+CE)=24$; ② 如图②,由题意,得 $AD=BC+CD,AE=CE$,所以 $BC=(BC+CD)-CD=AD-CD=AE+DE-CD=AE+(CE-CD)-CD=CE+CE-CD-CD=2(CE-CD)=4$. 综上所述,BC 的长为 24 或 4.

14. ★(1) 如图，点C在线段AB上，AC=8，BC=6，M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长.
(2) 根据(1)中的计算过程与结果，设AC+BC=a，其他条件不变，请直接写出MN的长.
(3) 若把(1)中的“点C在线段AB上”改为“点C在线段AB的延长线上”，且满足AC−BC=b，你能猜想出MN的长吗？写出你的结论，并说明理由.

14 (1) 因为 $M,N$ 分别是 $AC,BC$ 的中点,所以 $MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4,NC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$. 所以 $MN=MC+NC=4+3=7$.
(2) $MN=\frac{1}{2}a$.
(3) $MN=\frac{1}{2}b$.
理由:因为 $M,N$ 分别是 $AC,BC$ 的中点,所以 $MC=\frac{1}{2}AC,NC=\frac{1}{2}BC$. 因为 $AC-BC=b$,所以 $MN=MC-NC=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}b.$