10. 【新考向】(2025 山西) 项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底。从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形。综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告。
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径 $BC$ 的长。（结果精确到 $1$ 米。参考数据：$\sin 8.5^{\circ}\approx0.15$，$\cos 8.5^{\circ}\approx0.99$，$\tan 8.5^{\circ}\approx0.15$，$\sin 37^{\circ}\approx0.60$，$\cos 37^{\circ}\approx0.80$，$\tan 37^{\circ}\approx0.75$）
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底。从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形。综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告。
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径 $BC$ 的长。（结果精确到 $1$ 米。参考数据：$\sin 8.5^{\circ}\approx0.15$，$\cos 8.5^{\circ}\approx0.99$，$\tan 8.5^{\circ}\approx0.15$，$\sin 37^{\circ}\approx0.60$，$\cos 37^{\circ}\approx0.80$，$\tan 37^{\circ}\approx0.75$）
答案
17
解析
设外栏墙高度为$h$，步道宽$BE=CF=w$。过点$A$作水平线，由俯角定义得$\angle ABE=37^{\circ}$，$\angle ACE=8.5^{\circ}$。
在$Rt\triangle AEB$中，$\tan37^{\circ}=\frac{h}{BE}$，则$w=BE=\frac{h}{\tan37^{\circ}}$。
在$Rt\triangle AEC$中，$\tan8.5^{\circ}=\frac{h}{CE}$，则$CE=\frac{h}{\tan8.5^{\circ}}$。
$BC=CE - BE=\frac{h}{\tan8.5^{\circ}}-\frac{h}{\tan37^{\circ}}$。
由$AD=26$米，且$EF=AD=26$，$EF=BE + BC + CF=2w + BC$，得$BC=26 - 2w$。
将$w=\frac{h}{\tan37^{\circ}}$代入$BC=26 - 2w$，结合$\tan37^{\circ}\approx0.75$，$\tan8.5^{\circ}\approx0.15$，可得：
$BC=h(\frac{1}{0.15}-\frac{1}{0.75})=h(\frac{20}{3}-\frac{4}{3})=\frac{16h}{3}$，且$w=\frac{h}{0.75}=\frac{4h}{3}$。
又$26=2w + BC=2×\frac{4h}{3}+\frac{16h}{3}=\frac{24h}{3}=8h$，解得$h=\frac{26}{8}=\frac{13}{4}$。
则$BC=\frac{16}{3}×\frac{13}{4}=\frac{52}{3}\approx17$（米）。
在$Rt\triangle AEB$中，$\tan37^{\circ}=\frac{h}{BE}$，则$w=BE=\frac{h}{\tan37^{\circ}}$。
在$Rt\triangle AEC$中，$\tan8.5^{\circ}=\frac{h}{CE}$，则$CE=\frac{h}{\tan8.5^{\circ}}$。
$BC=CE - BE=\frac{h}{\tan8.5^{\circ}}-\frac{h}{\tan37^{\circ}}$。
由$AD=26$米，且$EF=AD=26$，$EF=BE + BC + CF=2w + BC$，得$BC=26 - 2w$。
将$w=\frac{h}{\tan37^{\circ}}$代入$BC=26 - 2w$，结合$\tan37^{\circ}\approx0.75$，$\tan8.5^{\circ}\approx0.15$，可得：
$BC=h(\frac{1}{0.15}-\frac{1}{0.75})=h(\frac{20}{3}-\frac{4}{3})=\frac{16h}{3}$，且$w=\frac{h}{0.75}=\frac{4h}{3}$。
又$26=2w + BC=2×\frac{4h}{3}+\frac{16h}{3}=\frac{24h}{3}=8h$，解得$h=\frac{26}{8}=\frac{13}{4}$。
则$BC=\frac{16}{3}×\frac{13}{4}=\frac{52}{3}\approx17$（米）。
