1. (北师九上 P8) 如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分 $ABCD$ 是菱形吗? 为什么?

重叠部分 $ABCD$ 是菱形，理由如下：
作辅助线，分别过 $A$ 作 $AE ⊥ BC$ 于 $E$，$AF ⊥ CD$ 于 $F$，
因为两张纸条宽度相同，
所以$AE = AF$，
$S_{ABCD} = BC · AE = CD · AF$，
所以$BC = CD$，
根据平行四边形的性质可得$AD // BC, AB // CD$，
所以四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
因为$BC = CD$，
所以平行四边形 $ABCD$ 是菱形。

2. 综合与实践
【主题】探究纸条交叉重叠部分的图形形状

【素材】如图 1,两张足够长且等宽的纸条
【实践操作】
步骤 1: 取两张足够长,且宽相等的矩形纸条;
步骤 2: 如图 2,一张纸条保持不动,将另一张纸条放置到与前一张纸条底边所在直线成 $45^{\circ}$ 的角的位置;
步骤 3: 将右侧斜放的纸条从右往左平移.


【猜想探究】
(1) 写出在平移的过程中,重叠部分可能出现的图形形状.
(2) 当重叠部分的形状为如图 3 所示的四边形 $ABCD$ 时.
① 请判断四边形 $ABCD$ 的形状,并说明理由;
② 若 $AB = 1$,求四边形 $ABCD$ 的面积.

(1) 三角形、平行四边形、菱形；
(2) ① 菱形；② $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

(1) 三角形、平行四边形、菱形。
(2) ① 四边形 $ABCD$ 是菱形。理由：
∵ 两张纸条为矩形，∴ 纸条对边平行，即 $AB // CD$，$AD // BC$，
∴ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
∵ 两张纸条等宽，∴ 平行四边形 $ABCD$ 的两组对边之间的距离（高）相等。设 $AB$ 边上的高为 $h_1$，$BC$ 边上的高为 $h_2$，则 $h_1 = h_2$。
∵ 平行四边形面积 $S = AB · h_1 = BC · h_2$，∴ $AB = BC$，
∴ 平行四边形 $ABCD$ 是菱形。
② 过点 $B$ 作 $BE ⊥ AD$ 于点 $E$。
∵ 纸条宽度为 $BE$，斜放纸条与底边成 $45°$ 角，∴ 菱形 $ABCD$ 的内角 $\angle BAD = 45°$。
在 $Rt\triangle ABE$ 中，$AB = 1$，$\angle BAE = 45°$，
∴ $BE = AB · \sin 45° = 1 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
∴ 菱形 $ABCD$ 的面积 $S = AB · BE = 1 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。