5.【答题规范】解不等式组 $ \begin{cases} 2x \geq x - 1, ① \\ x + 1 \leq 3. ② \end{cases} $
解: 解不等式①, 得
解不等式②, 得
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.
所以原不等式组的解集为__________.
解: 解不等式①, 得
$x \geq -1$
.解不等式②, 得
$x \leq 2$
.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.
所以原不等式组的解集为__________.
答案
解:解不等式①，得 $x \geq -1$；
解不等式②，得 $x \leq 2$；
所以原不等式组的解集为 $-1 \leq x \leq 2$。
解析
解不等式①：
$2x \geq x - 1$，
$2x - x \geq -1$，
$x \geq -1$。
解不等式②：
$x + 1 \leq 3$，
$x \leq 3 - 1$，
$x \leq 2$。
在数轴上表示不等式①和②的解集：
不等式①的解集为 $x \geq -1$，
不等式②的解集为 $x \leq 2$。
确定各不等式解集的公共部分：
公共解集为 $-1 \leq x \leq 2$。
得出不等式组的解集：
原不等式组的解集为 $-1 \leq x \leq 2$。
$2x \geq x - 1$，
$2x - x \geq -1$，
$x \geq -1$。
解不等式②：
$x + 1 \leq 3$，
$x \leq 3 - 1$，
$x \leq 2$。
在数轴上表示不等式①和②的解集：
不等式①的解集为 $x \geq -1$，
不等式②的解集为 $x \leq 2$。
确定各不等式解集的公共部分：
公共解集为 $-1 \leq x \leq 2$。
得出不等式组的解集：
原不等式组的解集为 $-1 \leq x \leq 2$。
6. 解下列不等式组:
(1) $ \begin{cases} x - 1 ＞ 3(x - 3), ① \\ 2x - 5 ＞ x; ② \end{cases} $
(2) $ \begin{cases} -3(x - 2) \geq 4 - x, ① \\ \frac{1 + 2x}{3} ＞ x - 1. ② \end{cases} $
(1) $ \begin{cases} x - 1 ＞ 3(x - 3), ① \\ 2x - 5 ＞ x; ② \end{cases} $
(2) $ \begin{cases} -3(x - 2) \geq 4 - x, ① \\ \frac{1 + 2x}{3} ＞ x - 1. ② \end{cases} $
答案
(1)
解不等式①：
x - 1＞3(x - 3)
x - 1＞3x-9
x - 3x＞-9 + 1
-2x＞-8
x ＜ 4
解不等式②：
2x - 5＞x
2x-x＞5
x ＞ 5
因为x＜4与x ＞ 5没有公共部分，所以该不等式组无解。
(2)
解不等式①：
$-3(x - 2)\geq4 - x$
$-3x + 6\geq4 - x$
$-3x+x\geq4 - 6-2x\geq-2x\leq1$解不等式②：$\frac{1 + 2x}{3}＞x - 11 + 2x＞3(x - 1)1 + 2x＞3x-32x - 3x＞-3 - 1-x＞-4x ＜ 4$所以不等式组的解集为$x\leq1。$
解不等式①：
x - 1＞3(x - 3)
x - 1＞3x-9
x - 3x＞-9 + 1
-2x＞-8
x ＜ 4
解不等式②：
2x - 5＞x
2x-x＞5
x ＞ 5
因为x＜4与x ＞ 5没有公共部分，所以该不等式组无解。
(2)
解不等式①：
$-3(x - 2)\geq4 - x$
$-3x + 6\geq4 - x$
$-3x+x\geq4 - 6-2x\geq-2x\leq1$解不等式②：$\frac{1 + 2x}{3}＞x - 11 + 2x＞3(x - 1)1 + 2x＞3x-32x - 3x＞-3 - 1-x＞-4x ＜ 4$所以不等式组的解集为$x\leq1。$
例1 (2025 信阳二模) 不等式 $ 5(x - 1) \leq 3x + 3 $ 的正整数解有
4
个.答案
4
解析
解不等式$5(x - 1) \leq 3x + 3$，
去括号得：$5x - 5 \leq 3x + 3$，
移项得：$5x - 3x \leq 3 + 5$，
合并同类项得：$2x \leq 8$，
系数化为1得：$x \leq 4$，
所以正整数解为1，2，3，4，共4个。
去括号得：$5x - 5 \leq 3x + 3$，
移项得：$5x - 3x \leq 3 + 5$，
合并同类项得：$2x \leq 8$，
系数化为1得：$x \leq 4$，
所以正整数解为1，2，3，4，共4个。
例2 若关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}x - a ＞ 2, \\ b - 2x ＞ 0\end{cases}$ 的解集为 $ -1 ＜ x ＜ 1 $, 则 $ a + b $ 的值是 ()
A.1
B.$ \frac{1}{2} $
C.-1
D.$ -\frac{1}{2} $
A.1
B.$ \frac{1}{2} $
C.-1
D.$ -\frac{1}{2} $
答案
C
解析
解不等式组$\begin{cases}x - a ＞ 2 \\ b - 2x ＞ 0\end{cases}$，得$\begin{cases}x ＞ a + 2 \\ x ＜ \frac{b}{2}\end{cases}$。因为解集为$-1 ＜ x ＜ 1$，所以$a + 2 = -1$，$\frac{b}{2} = 1$，解得$a = -3$，$b = 2$，则$a + b = -1$。
1. (2025 郑州模拟) 不等式组 $ \begin{cases}2 + x ＞ 0, \\ 2x - 4 \leq 0\end{cases}$ 的最大整数解是 ______.
答案
$2$
解析
首先解第一个不等式 $2 + x ＞ 0$，得到 $x ＞ -2$。
然后解第二个不等式 $2x - 4 \leq 0$，移项得 $2x \leq 4$，从而得到 $x \leq 2$。
综合两个不等式的解，得到不等式组的解集为 $-2 ＜ x \leq 2$。
在这个范围内，最大的整数解是 $2$。
然后解第二个不等式 $2x - 4 \leq 0$，移项得 $2x \leq 4$，从而得到 $x \leq 2$。
综合两个不等式的解，得到不等式组的解集为 $-2 ＜ x \leq 2$。
在这个范围内，最大的整数解是 $2$。
2. (2025 驻马店三模) 如果关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}\frac{1}{2}x - 1 ＜ 3, \\ -x ＜ -m\end{cases}$ 有且仅有 4 个整数解, 那么 $ m $ 的取值范围是 ______.
答案
$3 \leq m ＜ 4$
解析
解不等式$\frac{1}{2}x - 1 ＜ 3$，得$x ＜ 8$；解不等式$-x ＜ -m$，得$x ＞ m$。不等式组的解集为$m ＜ x ＜ 8$。
∵不等式组有且仅有4个整数解，即$7,6,5,4$，
∴$3 \leq m ＜ 4$。
∵不等式组有且仅有4个整数解，即$7,6,5,4$，
∴$3 \leq m ＜ 4$。
