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1. 有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，乙三角形木框的三边长分别为5，$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，则甲、乙两个三角形（
A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.无法判断
A
）A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.无法判断
答案
1. A 解析: $\because \frac{\sqrt{5}}{1}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$,$\therefore$ 这两个三角形一定相似.故选 A.
解析
【分析】
要判断已知三边长的两个三角形是否相似，优先使用相似三角形判定定理3（三边对应成比例的两个三角形相似）求解。解题步骤如下：第一步，分别把两个三角形的三边按从小到大的顺序排列，确保边的对应关系正确；第二步，依次计算对应边的比值；第三步，判断三个比值是否相等，若全部相等则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
先将甲、乙两个三角形的边长分别按从小到大的顺序排序：
甲三角形三边长：1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$
乙三角形三边长：$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$5$
计算对应边的比值：
$\frac{\sqrt{5}}{1}=\sqrt{5}$，$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}$，$\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$
三个对应边的比值相等，均为$\sqrt{5}$，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可知甲、乙两个三角形一定相似。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、二次根式化简
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，解题核心是先按大小排序边长、保证边对应正确，再准确计算比值化简二次根式即可得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断已知三边长的两个三角形是否相似，优先使用相似三角形判定定理3（三边对应成比例的两个三角形相似）求解。解题步骤如下：第一步，分别把两个三角形的三边按从小到大的顺序排列，确保边的对应关系正确；第二步，依次计算对应边的比值；第三步，判断三个比值是否相等，若全部相等则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
先将甲、乙两个三角形的边长分别按从小到大的顺序排序：
甲三角形三边长：1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$
乙三角形三边长：$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$5$
计算对应边的比值：
$\frac{\sqrt{5}}{1}=\sqrt{5}$，$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}$，$\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$
三个对应边的比值相等，均为$\sqrt{5}$，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可知甲、乙两个三角形一定相似。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、二次根式化简
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，解题核心是先按大小排序边长、保证边对应正确，再准确计算比值化简二次根式即可得出结论。
【难度系数】
0.8
2. 已知$△ ABC$的三边长分别为$\sqrt{2},\sqrt{6},2$，$△ A'B'C'$的两边长分别是1和$\sqrt{3}$，若要使$△ ABC$与$△ A'B'C'$相似，则$△ A'B'C'$的第三边长应该是（
A.$\sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
A
）A.$\sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案
2. A 解析: 根据题意,若要使$△ ABC$与$△ A' B' C'$相似,相似比只能为$\sqrt{2}:1$,$\therefore △ A' B' C'$的第三边长应该是$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.故选 A.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。解题时先将两个三角形的已知边长分别按从小到大排序，匹配对应成比例的边，确定相似比，再根据相似比计算未知的第三边长即可。
【解析】
1. 先对两个三角形的已知边长排序：
△ABC的三边长从小到大排列为：$\sqrt{2}$，2，$\sqrt{6}$；
△A'B'C'的已知两边从小到大排列为：1，$\sqrt{3}$。
2. 计算对应边的比，确定相似比：
$\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}$，可知△ABC与△A'B'C'的相似比为$\sqrt{2}:1$。
3. 设△A'B'C'的第三边长为$x$，△ABC中剩余的对应边为2，根据相似比列等式：
$\frac{2}{x}=\sqrt{2}$，解得$x=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形三边判定、相似三角形对应边成比例
【点评】
本题考查利用三边成比例判定相似三角形的应用，解题的核心是先对边长排序，准确匹配对应边确定相似比，避免因对应边匹配错误出现计算失误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。解题时先将两个三角形的已知边长分别按从小到大排序，匹配对应成比例的边，确定相似比，再根据相似比计算未知的第三边长即可。
【解析】
1. 先对两个三角形的已知边长排序：
△ABC的三边长从小到大排列为：$\sqrt{2}$，2，$\sqrt{6}$；
△A'B'C'的已知两边从小到大排列为：1，$\sqrt{3}$。
2. 计算对应边的比，确定相似比：
$\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}$，可知△ABC与△A'B'C'的相似比为$\sqrt{2}:1$。
3. 设△A'B'C'的第三边长为$x$，△ABC中剩余的对应边为2，根据相似比列等式：
$\frac{2}{x}=\sqrt{2}$，解得$x=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形三边判定、相似三角形对应边成比例
【点评】
本题考查利用三边成比例判定相似三角形的应用，解题的核心是先对边长排序，准确匹配对应边确定相似比，避免因对应边匹配错误出现计算失误。
【难度系数】
0.7
3. ★★ 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则另外两边长分别为
3 cm, 4.5 cm
。答案
3. 3 cm, 4.5 cm 解析: 制作两个形状相同的三角形框架,可知这两个三角形相似,设另一个三角形的最长边长为 x cm,另一边为 y cm.$\therefore \frac{x}{9}=\frac{2.5}{5}$,$\frac{y}{6}=\frac{2.5}{5}$,$\therefore x=4.5$,$y=3$.故答案为3 cm, 4.5 cm.
解析
【分析】
首先明确形状相同的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例。解题时先确定对应边：已知第一个三角形的最短边为5cm，另一个三角形的最短边为2.5cm，二者为对应边，由此可求出相似比，再根据相似比分别计算另一个三角形剩余两条边的长度即可。
【解析】
∵两个三角形框架形状相同，
∴这两个三角形相似。
设另一个三角形对应原三角形6cm的边长为y cm，对应原三角形9cm的边长为x cm。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{2.5}{5}=\frac{y}{6}$，$\frac{2.5}{5}=\frac{x}{9}$
分别解两个比例式：
$y=\frac{2.5}{5}×6=3$，$x=\frac{2.5}{5}×9=4.5$
【答案】3 cm，4.5 cm
【知识点】
相似三角形的定义、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是准确找到对应边确定相似比，再通过比例运算求解未知边长，不容易出错。
【难度系数】
0.8
首先明确形状相同的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例。解题时先确定对应边：已知第一个三角形的最短边为5cm，另一个三角形的最短边为2.5cm，二者为对应边，由此可求出相似比，再根据相似比分别计算另一个三角形剩余两条边的长度即可。
【解析】
∵两个三角形框架形状相同，
∴这两个三角形相似。
设另一个三角形对应原三角形6cm的边长为y cm，对应原三角形9cm的边长为x cm。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{2.5}{5}=\frac{y}{6}$，$\frac{2.5}{5}=\frac{x}{9}$
分别解两个比例式：
$y=\frac{2.5}{5}×6=3$，$x=\frac{2.5}{5}×9=4.5$
【答案】3 cm，4.5 cm
【知识点】
相似三角形的定义、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是准确找到对应边确定相似比，再通过比例运算求解未知边长，不容易出错。
【难度系数】
0.8
4. 如图，O是$△ ABC$内任意一点，$A'$, $B'$, $C'$分别为$OA$, $OB$, $OC$的中点. $△ A'B'C'$与$△ ABC$相似吗？为什么？
答案
4. $△ A' B' C'$与$△ ABC$相似,理由: $\because$ 点 $A', B', C'$ 分别是线段$OA, OB, OC$ 的中点, $\therefore A' B' = \frac{1}{2} AB, B' C' = \frac{1}{2} BC, A' C' = \frac{1}{2} AC$,$\therefore \frac{A' B'}{AB}=\frac{B' C'}{BC}=\frac{A' C'}{AC}$,$\therefore △ A' B' C' ∽ △ ABC$.
解析
【分析】要判断△A'B'C'与△ABC是否相似，可先分析两个三角形的边角关系。已知A'、B'、C'分别是OA、OB、OC的中点，首先联想到三角形中位线定理，利用中位线的性质得到△A'B'C'各边与△ABC对应边的数量关系，再结合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理即可完成证明。
【解析】
解：△A'B'C'与△ABC相似，理由如下：
∵点A'，B'，C'分别是线段OA，OB，OC的中点，
∴A'B'是△OAB的中位线，B'C'是△OBC的中位线，A'C'是△OAC的中位线，
∴$A'B'=\frac{1}{2}AB$，$B'C'=\frac{1}{2}BC$，$A'C'=\frac{1}{2}AC$，
∴$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{1}{2}$，
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△A'B'C'∽△ABC$。
【答案】
$△A'B'C'$与$△ABC$相似，理由: $\because$ 点 $A', B', C'$ 分别是线段$OA, OB, OC$ 的中点, $\therefore A' B' = \frac{1}{2} AB, B' C' = \frac{1}{2} BC, A' C' = \frac{1}{2} AC$,$\therefore \frac{A' B'}{AB}=\frac{B' C'}{BC}=\frac{A' C'}{AC}$,$\therefore △ A' B' C' ∽ △ ABC$。
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定（三边成比例）
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题核心是通过中位线性质得到两个三角形三边的比例关系，再结合相似三角形的判定定理得出结论，熟练掌握相关基础性质和定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
【解析】
解：△A'B'C'与△ABC相似，理由如下：
∵点A'，B'，C'分别是线段OA，OB，OC的中点，
∴A'B'是△OAB的中位线，B'C'是△OBC的中位线，A'C'是△OAC的中位线，
∴$A'B'=\frac{1}{2}AB$，$B'C'=\frac{1}{2}BC$，$A'C'=\frac{1}{2}AC$，
∴$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{1}{2}$，
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△A'B'C'∽△ABC$。
【答案】
$△A'B'C'$与$△ABC$相似，理由: $\because$ 点 $A', B', C'$ 分别是线段$OA, OB, OC$ 的中点, $\therefore A' B' = \frac{1}{2} AB, B' C' = \frac{1}{2} BC, A' C' = \frac{1}{2} AC$,$\therefore \frac{A' B'}{AB}=\frac{B' C'}{BC}=\frac{A' C'}{AC}$,$\therefore △ A' B' C' ∽ △ ABC$。
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定（三边成比例）
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题核心是通过中位线性质得到两个三角形三边的比例关系，再结合相似三角形的判定定理得出结论，熟练掌握相关基础性质和定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
5. ★★ 图中四个阴影三角形中与△ABC相似的是（
B
）答案
5. B 解析: 设小正方形边长为 1,由勾股定理得,$AC=\sqrt{2}$,$BC=2$,$AB=\sqrt{10}$,$\therefore AC: BC: AB=1: \sqrt{2}: \sqrt{5}$.A.三边之比为$1: \sqrt{5}: 2\sqrt{2}$,图中的三角形(阴影部分)与$△ ABC$不相似;B.三边之比为$1: \sqrt{2}: \sqrt{5}$,图中的三角形(阴影部分)与$△ ABC$相似;C.三边之比为$\sqrt{2}: \sqrt{5}: 3$,图中的三角形(阴影部分)与$△ ABC$不相似;D.三边之比为$2: \sqrt{5}: \sqrt{13}$,图中的三角形(阴影部分)与$△ ABC$不相似.故选 B.
解析
【分析】
要判断哪个阴影三角形与△ABC相似，可依据相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。解题时先设小正方形的边长为1，方便计算边长；再用勾股定理求出△ABC的三边长，化简得到三边的长度比；最后分别计算四个选项中阴影三角形的三边长，求出各自的三边比，与△ABC的三边比对比，比例一致的即为相似三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，
在△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=2$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边比为$AC:BC:AB=\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
分别计算各选项阴影三角形的三边比：
A选项：阴影三角形三边长分别为$1$、$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，三边比为$1:\sqrt{5}:\sqrt{10}=1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与△ABC的三边比不相等，两三角形不相似；
B选项：阴影三角形三边长分别为$1$、$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$、$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC的三边比相等，两三角形相似；
C选项：阴影三角形三边长分别为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$、$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$、$3$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，与△ABC的三边比不相等，两三角形不相似；
D选项：阴影三角形三边长分别为$2$、$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，三边比为$2:\sqrt{5}:\sqrt{13}$，与△ABC的三边比不相等，两三角形不相似。
综上，与△ABC相似的是B选项的阴影三角形。
【答案】
B
【知识点】
1.勾股定理 2.相似三角形的判定（三边成比例）
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题型，解题核心是通过设单位长度简化计算，利用勾股定理准确求出各三角形的边长，再对比边长比判断是否相似，计算过程中要注意边长的化简和比例的统一，避免因计算错误选错答案。
【难度系数】
0.7
要判断哪个阴影三角形与△ABC相似，可依据相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。解题时先设小正方形的边长为1，方便计算边长；再用勾股定理求出△ABC的三边长，化简得到三边的长度比；最后分别计算四个选项中阴影三角形的三边长，求出各自的三边比，与△ABC的三边比对比，比例一致的即为相似三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，
在△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=2$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边比为$AC:BC:AB=\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
分别计算各选项阴影三角形的三边比：
A选项：阴影三角形三边长分别为$1$、$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，三边比为$1:\sqrt{5}:\sqrt{10}=1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与△ABC的三边比不相等，两三角形不相似；
B选项：阴影三角形三边长分别为$1$、$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$、$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC的三边比相等，两三角形相似；
C选项：阴影三角形三边长分别为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$、$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$、$3$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，与△ABC的三边比不相等，两三角形不相似；
D选项：阴影三角形三边长分别为$2$、$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，三边比为$2:\sqrt{5}:\sqrt{13}$，与△ABC的三边比不相等，两三角形不相似。
综上，与△ABC相似的是B选项的阴影三角形。
【答案】
B
【知识点】
1.勾股定理 2.相似三角形的判定（三边成比例）
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题型，解题核心是通过设单位长度简化计算，利用勾股定理准确求出各三角形的边长，再对比边长比判断是否相似，计算过程中要注意边长的化简和比例的统一，避免因计算错误选错答案。
【难度系数】
0.7
6. ★★(2025·上海校级期中)如图所示,在正方形网格上有6个斜三角形:①△ABC,②△BCD,③△BDE,④△BFG,⑤△FGH,⑥△EFK,在②~⑥中,与三角形①相似的有
③④⑤
.(填序号)答案
6. ③④⑤ 解析: 设每个小正方形的边长为 1,则$△ ABC$ 的各边长分别为 $1,\sqrt{2},\sqrt{5}$.则②$△ BCD$ 的各边长分别为 $1,\sqrt{5}$,$2\sqrt{2}$;③$△ BDE$ 的各边长分别为 $2,2\sqrt{2},2\sqrt{5}$(为$△ ABC$ 各边长的 2 倍);④$△ BFG$ 的各边长分别为 $5,\sqrt{5},\sqrt{10}$(为$△ ABC$各边长的$\sqrt{5}$倍);⑤$△ FGH$ 的各边长分别为 $2,\sqrt{2},\sqrt{10}$(为$△ ABC$ 各边长的$\sqrt{2}$倍);⑥$△ EFK$ 的各边长分别为 $3,\sqrt{2},\sqrt{5}$.根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤.故答案为③④⑤.
解析
【分析】
要判断②~⑥中哪些三角形与①相似，可选用三组对应边的比相等的两个三角形相似的判定定理。首先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理先求出△ABC（三角形①）的三边长，得到三边的比值，再依次计算其余5个三角形的三边长，最后分别验证各三角形三边与△ABC三边的比值是否完全相等，比值相等则两三角形相似。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，结合勾股定理计算各三角形的三边长：
1. △ABC的三边长：$AB=1$，$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，三边之比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
2. 逐一计算其余三角形的三边及比值：
②△BCD：三边长分别为$1$、$\sqrt{5}$、$2\sqrt{2}$，比值为$1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与△ABC的三边比不相等，不相似；
③△BDE：三边长分别为$2$、$2\sqrt{2}$、$2\sqrt{5}$，比值为$2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC的三边比相等，相似；
④△BFG：三边长分别为$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$5$，比值为$\sqrt{5}:\sqrt{10}:5=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC的三边比相等，相似；
⑤△FGH：三边长分别为$\sqrt{2}$、$2$、$\sqrt{10}$，比值为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC的三边比相等，相似；
⑥△EFK：三边长分别为$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$、$3$，比值为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，与△ABC的三边比不相等，不相似。
【答案】
③④⑤
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题是典型的网格类相似三角形判定题，解题核心是先通过勾股定理准确计算各三角形的三边长度，再验证三边对应比例是否相等，计算时需要细心，避免边长计算错误导致判断失误。
【难度系数】
0.6
要判断②~⑥中哪些三角形与①相似，可选用三组对应边的比相等的两个三角形相似的判定定理。首先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理先求出△ABC（三角形①）的三边长，得到三边的比值，再依次计算其余5个三角形的三边长，最后分别验证各三角形三边与△ABC三边的比值是否完全相等，比值相等则两三角形相似。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，结合勾股定理计算各三角形的三边长：
1. △ABC的三边长：$AB=1$，$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，三边之比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
2. 逐一计算其余三角形的三边及比值：
②△BCD：三边长分别为$1$、$\sqrt{5}$、$2\sqrt{2}$，比值为$1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与△ABC的三边比不相等，不相似；
③△BDE：三边长分别为$2$、$2\sqrt{2}$、$2\sqrt{5}$，比值为$2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC的三边比相等，相似；
④△BFG：三边长分别为$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$5$，比值为$\sqrt{5}:\sqrt{10}:5=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC的三边比相等，相似；
⑤△FGH：三边长分别为$\sqrt{2}$、$2$、$\sqrt{10}$，比值为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC的三边比相等，相似；
⑥△EFK：三边长分别为$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$、$3$，比值为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，与△ABC的三边比不相等，不相似。
【答案】
③④⑤
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题是典型的网格类相似三角形判定题，解题核心是先通过勾股定理准确计算各三角形的三边长度，再验证三边对应比例是否相等，计算时需要细心，避免边长计算错误导致判断失误。
【难度系数】
0.6
7. 如图,在边长为1的正方形方格图中有A,B,C,D,E五个点,△ABC与△ADE是否相似?为什么?
答案
7. $△ ABC$ 与$△ ADE$ 相似.理由如下:$\because AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,$BC=10$,$AC=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$,$AE=2$,$AD=\sqrt{2}$,$DE=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}=\sqrt{10}$,$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$.
解析
【分析】
要判断两个格点三角形是否相似，可选用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定方法。解题思路如下：第一步，借助方格边长为1的条件，用勾股定理分别计算△ABC和△ADE的所有边长；第二步，将两个三角形的边按长度对应分组，计算各组对应边的比值；第三步，判断三组比值是否相等，若相等则两个三角形相似，反之则不相似。
【解析】
设每个小正方形方格的边长为1，根据勾股定理计算两个三角形各边的长度：
在△ABC中：
$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$，$BC=10$；
在△ADE中：
$AE=2$，$AD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$DE=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
计算对应边的比值：
$\frac{AB}{AD}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{10}$，$\frac{AC}{AE}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}$，$\frac{BC}{DE}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$，
可得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}=\sqrt{10}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可判定△ABC∽△ADE。
【答案】
$△ ABC$与$△ ADE$相似，理由：$\because AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,$BC=10$,$AC=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$,$AE=2$,$AD=\sqrt{2}$,$DE=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}=\sqrt{10}$,$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$。
【知识点】
勾股定理；相似三角形的三边判定
【点评】
本题是格点三角形相似判定的常见题型，解题核心是准确计算格点三角形的边长，再通过验证三边对应成比例判定相似，易错点为边长计算失误或对应边匹配错误。
【难度系数】
0.7
要判断两个格点三角形是否相似，可选用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定方法。解题思路如下：第一步，借助方格边长为1的条件，用勾股定理分别计算△ABC和△ADE的所有边长；第二步，将两个三角形的边按长度对应分组，计算各组对应边的比值；第三步，判断三组比值是否相等，若相等则两个三角形相似，反之则不相似。
【解析】
设每个小正方形方格的边长为1，根据勾股定理计算两个三角形各边的长度：
在△ABC中：
$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$，$BC=10$；
在△ADE中：
$AE=2$，$AD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$DE=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
计算对应边的比值：
$\frac{AB}{AD}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{10}$，$\frac{AC}{AE}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}$，$\frac{BC}{DE}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$，
可得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}=\sqrt{10}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可判定△ABC∽△ADE。
【答案】
$△ ABC$与$△ ADE$相似，理由：$\because AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,$BC=10$,$AC=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$,$AE=2$,$AD=\sqrt{2}$,$DE=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}=\sqrt{10}$,$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$。
【知识点】
勾股定理；相似三角形的三边判定
【点评】
本题是格点三角形相似判定的常见题型，解题核心是准确计算格点三角形的边长，再通过验证三边对应成比例判定相似，易错点为边长计算失误或对应边匹配错误。
【难度系数】
0.7
