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7. 跨学科·语文 大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？若设周瑜去世年龄的个位数字为$ x $，则可列方程为
$10(x-3)+x=x^2$
，周瑜去世的年龄为36
。（注：三十而立）答案
根据题意,得$10(x - 3) + x = x^2$,解得$x_1 = 5$,$x_2 = 6$. 当x = 5时,周瑜的去世年龄是25岁,
∵25不满足而立之年,
∴不符合题意,舍去;当x = 6时,周瑜的去世年龄是36岁,符合题意.
∵25不满足而立之年,
∴不符合题意,舍去;当x = 6时,周瑜的去世年龄是36岁,符合题意.
解析
【分析】
解题时先从题干提取关键信息：①设周瑜去世年龄的个位数字为x，十位数字比个位小3，因此十位数字为x-3；②两位数的表示规则为“10×十位数字+个位数字”，可据此表示出周瑜的年龄；③等量关系为“个位数字的平方=周瑜去世的年龄”，据此列方程求解；最后结合“而立之年（即年龄≥30岁）”的隐含条件，对求解出的根进行检验，舍去不符合实际的根即可得到答案。
【解析】
设周瑜去世年龄的个位数字为$x$，则十位数字为$x-3$，周瑜的年龄可表示为$10(x-3)+x$。
根据“个位平方与寿符”的等量关系列方程：
$10(x - 3) + x = x^2$
整理方程得：$x^2 -11x +30 = 0$
因式分解得：$(x-5)(x-6)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=6$。
检验：当$x=5$时，周瑜的年龄为$10×(5-3)+5=25$岁，25岁小于30岁，不符合“而立之年督东吴”的条件，舍去；
当$x=6$时，周瑜的年龄为$10×(6-3)+6=36$岁，36岁大于30岁，符合题意。
【答案】
$10(x - 3) + x = x^2$；$36$
【知识点】
一元二次方程的应用；两位数的表示；实际问题根的取舍
【点评】
本题结合古诗文创设情境，既考查了一元二次方程的实际应用能力，也融合了传统文化常识，解题的易错点是容易忽略“而立之年”的隐含条件，未对求出的根进行检验，导致出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时先从题干提取关键信息：①设周瑜去世年龄的个位数字为x，十位数字比个位小3，因此十位数字为x-3；②两位数的表示规则为“10×十位数字+个位数字”，可据此表示出周瑜的年龄；③等量关系为“个位数字的平方=周瑜去世的年龄”，据此列方程求解；最后结合“而立之年（即年龄≥30岁）”的隐含条件，对求解出的根进行检验，舍去不符合实际的根即可得到答案。
【解析】
设周瑜去世年龄的个位数字为$x$，则十位数字为$x-3$，周瑜的年龄可表示为$10(x-3)+x$。
根据“个位平方与寿符”的等量关系列方程：
$10(x - 3) + x = x^2$
整理方程得：$x^2 -11x +30 = 0$
因式分解得：$(x-5)(x-6)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=6$。
检验：当$x=5$时，周瑜的年龄为$10×(5-3)+5=25$岁，25岁小于30岁，不符合“而立之年督东吴”的条件，舍去；
当$x=6$时，周瑜的年龄为$10×(6-3)+6=36$岁，36岁大于30岁，符合题意。
【答案】
$10(x - 3) + x = x^2$；$36$
【知识点】
一元二次方程的应用；两位数的表示；实际问题根的取舍
【点评】
本题结合古诗文创设情境，既考查了一元二次方程的实际应用能力，也融合了传统文化常识，解题的易错点是容易忽略“而立之年”的隐含条件，未对求出的根进行检验，导致出现多解错误。
【难度系数】
0.7
8. 某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出。已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品的售价和为500元.
(1)A,B两种产品的销售单价分别是多少元？
(2)随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期.今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间.预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加$a\%$,B产品产量将在去年的基础上减少$a\%$,但B产品的销售单价将提高$3a\%$,则今年A,B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加$\frac{29}{25}a\%$.求$a$的值.
(1)A,B两种产品的销售单价分别是多少元？
(2)随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期.今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间.预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加$a\%$,B产品产量将在去年的基础上减少$a\%$,但B产品的销售单价将提高$3a\%$,则今年A,B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加$\frac{29}{25}a\%$.求$a$的值.
答案
(1) 设B产品的销售单价为x元,则A产品的销售单价为$(x + 100)$元.
根据题意,得$x + (x + 100) = 500$,解得$x = 200$,$x + 100 = 200 + 100 = 300$.
答:A产品的销售单价为300元,B产品的销售单价为200元.
(2) 设去年每个车间生产产品的数量为t件,
根据题意,得$300(1 + a\%) · t + 200(1 + 3a\%) · t(1 - a\%) = 500t · (1 + \frac{29}{25}a\%)$,
设$a\% = m$,则原方程可化简为$5m^2 - m = 0$,解得$m_1 = \frac{1}{5} = 20\%$,$m_2 = 0$(舍去),
∴$a = 20$.
根据题意,得$x + (x + 100) = 500$,解得$x = 200$,$x + 100 = 200 + 100 = 300$.
答:A产品的销售单价为300元,B产品的销售单价为200元.
(2) 设去年每个车间生产产品的数量为t件,
根据题意,得$300(1 + a\%) · t + 200(1 + 3a\%) · t(1 - a\%) = 500t · (1 + \frac{29}{25}a\%)$,
设$a\% = m$,则原方程可化简为$5m^2 - m = 0$,解得$m_1 = \frac{1}{5} = 20\%$,$m_2 = 0$(舍去),
∴$a = 20$.
解析
【分析】
（1）本问是典型的和差类实际问题，已知A、B产品单价的差与和，我们可以设B产品单价为未知数，用含未知数的式子表示A产品单价，再根据“1件A产品与1件B产品售价和为500元”的等量关系列一元一次方程求解即可。
（2）本问属于百分率变化的销售额问题，核心公式为“销售额=销售单价×产量”。首先设去年每个车间的产量为t（t为辅助量，后续计算可消去），分别表示出今年A、B产品的单价和产量，再根据“今年总销售额=去年总销售额×(1+$\frac{29}{25}$a%)”的等量关系列方程；为简化计算可设$m=a\%$，将方程转化为整式方程求解，最后舍去不符合实际意义的零解即可得到a的值。
【解析】
(1) 设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为$(x + 100)$元。
根据题意，得$x + (x + 100) = 500$，
解得$x = 200$，则$x + 100 = 200 + 100 = 300$。
答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元。
(2) 设去年每个车间生产产品的数量为t件，
根据题意，得$300(1 + a\%) · t + 200(1 + 3a\%) · t(1 - a\%) = 500t · (1 + \frac{29}{25}a\%)$，
因为t≠0，方程两边同时除以t，设$a\% = m$，则原方程可化简为：
$300(1+m) + 200(1+3m)(1-m) = 500(1+\frac{29}{25}m)$
展开整理得$5m^2 - m = 0$，
解得$m_1 = \frac{1}{5} = 20\%$，$m_2 = 0$（不符合产量变化的题意，舍去），
∴$a\%=20\%$，即$a = 20$。
【答案】
(1)A产品销售单价为300元，B产品销售单价为200元；(2)a的值为20。
【知识点】
一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，百分率问题
【点评】
本题结合工业生产的实际场景考查方程的应用，第一问较为基础，直接利用和差关系列方程即可求解；第二问需要理清单价、产量的变化关系，引入辅助量和换元法可以降低计算难度，解题时要注意舍去不符合实际意义的解，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
（1）本问是典型的和差类实际问题，已知A、B产品单价的差与和，我们可以设B产品单价为未知数，用含未知数的式子表示A产品单价，再根据“1件A产品与1件B产品售价和为500元”的等量关系列一元一次方程求解即可。
（2）本问属于百分率变化的销售额问题，核心公式为“销售额=销售单价×产量”。首先设去年每个车间的产量为t（t为辅助量，后续计算可消去），分别表示出今年A、B产品的单价和产量，再根据“今年总销售额=去年总销售额×(1+$\frac{29}{25}$a%)”的等量关系列方程；为简化计算可设$m=a\%$，将方程转化为整式方程求解，最后舍去不符合实际意义的零解即可得到a的值。
【解析】
(1) 设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为$(x + 100)$元。
根据题意，得$x + (x + 100) = 500$，
解得$x = 200$，则$x + 100 = 200 + 100 = 300$。
答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元。
(2) 设去年每个车间生产产品的数量为t件，
根据题意，得$300(1 + a\%) · t + 200(1 + 3a\%) · t(1 - a\%) = 500t · (1 + \frac{29}{25}a\%)$，
因为t≠0，方程两边同时除以t，设$a\% = m$，则原方程可化简为：
$300(1+m) + 200(1+3m)(1-m) = 500(1+\frac{29}{25}m)$
展开整理得$5m^2 - m = 0$，
解得$m_1 = \frac{1}{5} = 20\%$，$m_2 = 0$（不符合产量变化的题意，舍去），
∴$a\%=20\%$，即$a = 20$。
【答案】
(1)A产品销售单价为300元，B产品销售单价为200元；(2)a的值为20。
【知识点】
一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，百分率问题
【点评】
本题结合工业生产的实际场景考查方程的应用，第一问较为基础，直接利用和差关系列方程即可求解；第二问需要理清单价、产量的变化关系，引入辅助量和换元法可以降低计算难度，解题时要注意舍去不符合实际意义的解，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
9. 教材复习题变式|应用意识 如图,某海军基地位于A处,其正南方向200海里处有一个重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头,小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一艘军舰从A出发,先后沿AB,BC方向,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.
(1)小岛D和小岛F相距多少海里?
(2)已知军舰的速度是补给船速度的2倍,军舰在由B到C航行的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里,$\sqrt{6}\approx2.45$)
(1)小岛D和小岛F相距多少海里?
(2)已知军舰的速度是补给船速度的2倍,军舰在由B到C航行的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里,$\sqrt{6}\approx2.45$)
答案
(1) 如图,连接DF,则$DF// AB$.
$\because AB⊥ BC$,$AB = BC = 200$ 海里,
$\therefore AC = \sqrt{2}AB = 200\sqrt{2}$ 海里,$∠ C = 45°$,$DF⊥ BC$,
$\because D$为AC的中点,
$\therefore CD = \frac{1}{2}AC = 100\sqrt{2}$ 海里,$DF = CF$,$\sqrt{2}DF = CD$,
$\therefore DF = CF = 100$ 海里,
∴小岛D和小岛F相距100海里.
(2) 设相遇时补给船航行了y海里,
则$DE = y$ 海里,$AB + BE = 2y$ 海里,
$EF = AB + BC - (AB + BE) - CF = (300 - 2y)$ 海里,
在$Rt△ DEF$中,根据勾股定理可得方程$y^2 = 100^2 + (300 - 2y)^2$,整理,得$3y^2 - 1200y + 100 000 = 0$,
解这个方程,得$y_1 = 200 - \frac{100\sqrt{6}}{3} \approx 118.3$,$y_2 = 200 + \frac{100\sqrt{6}}{3} \approx 281.7$.
$\because 300 - 2y ＞ 0$,$y ＜ 150$,
∴$y \approx 118.3$.
答:相遇时补给船大约航行了118.3海里.
解析
【分析】
(1) 要求小岛D和F的距离，先根据方位关系可知DF⊥BC，结合AB⊥BC可得DF//AB。已知△ABC是等腰直角三角形，D是AC中点，先求出CD的长度，再由∠C=45°可知△DFC也是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的边的关系即可求出DF的长度。
(2) 相遇问题中，相同时间内路程比等于速度比，已知军舰速度是补给船的2倍，所以相遇时军舰的总路程是补给船的2倍。设补给船航行了y海里，可表示出DE、军舰行驶的总路程，进而得到Rt△DEF中EF的长度，再利用勾股定理列一元二次方程求解，最后结合E在BC上的实际情况舍去不符合题意的解即可。
【解析】
(1) 如图,连接$DF$,则$DF// AB$.
$\because AB⊥ BC$,$AB = BC = 200$ 海里,
$\therefore AC = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{2}AB = 200\sqrt{2}$ 海里,$∠ C = 45°$,
$\because F$在$D$的正南方向,$\therefore DF⊥ BC$,
$\because D$为$AC$的中点,
$\therefore CD = \frac{1}{2}AC = 100\sqrt{2}$ 海里,
在$Rt△DFC$中,$∠C=45°$,$\therefore DF = CF$,
由勾股定理得$DF^2+CF^2=CD^2$,即$2DF^2=(100\sqrt{2})^2$,
解得$DF = CF = 100$ 海里。
(2) 设相遇时补给船航行了$y$海里,
则$DE = y$ 海里,
$\because$军舰速度是补给船的2倍，航行时间相同,$\therefore$军舰航行的总路程$AB + BE = 2y$ 海里,
$\because BC=200$海里,$CF=100$海里,
$\therefore EF = AB + BC - (AB + BE) - CF = 200+200-2y-100=(300 - 2y)$ 海里,
在$Rt△ DEF$中,根据勾股定理可得$DE^2=DF^2+EF^2$,即：
$y^2 = 100^2 + (300 - 2y)^2$,
整理,得$3y^2 - 1200y + 100 000 = 0$,
解这个方程,得$y_1 = 200 - \frac{100\sqrt{6}}{3} \approx 118.3$,$y_2 = 200 + \frac{100\sqrt{6}}{3} \approx 281.7$.
$\because$相遇点$E$在$BC$上,$\therefore EF＞0$,即$300 - 2y ＞ 0$,解得$y ＜ 150$,
$\therefore y_2\approx281.7$不符合题意,舍去,故$y \approx 118.3$.
【答案】
(1) 如图,连接DF,则$DF// AB$.
小岛D和小岛F相距100海里。
(2) 相遇时补给船大约航行了118.3海里。
【知识点】
等腰直角三角形性质，勾股定理，一元二次方程的应用
【点评】
本题是结合方位的实际应用问题，融合了几何性质与代数方程知识，既考查了几何图形边长的计算能力，又考查了利用勾股定理构建方程解决实际问题的能力，解题时要注意结合实际情境对解进行取舍，贴合生活应用场景。
【难度系数】
0.6
(1) 要求小岛D和F的距离，先根据方位关系可知DF⊥BC，结合AB⊥BC可得DF//AB。已知△ABC是等腰直角三角形，D是AC中点，先求出CD的长度，再由∠C=45°可知△DFC也是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的边的关系即可求出DF的长度。
(2) 相遇问题中，相同时间内路程比等于速度比，已知军舰速度是补给船的2倍，所以相遇时军舰的总路程是补给船的2倍。设补给船航行了y海里，可表示出DE、军舰行驶的总路程，进而得到Rt△DEF中EF的长度，再利用勾股定理列一元二次方程求解，最后结合E在BC上的实际情况舍去不符合题意的解即可。
【解析】
(1) 如图,连接$DF$,则$DF// AB$.
$\because AB⊥ BC$,$AB = BC = 200$ 海里,
$\therefore AC = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{2}AB = 200\sqrt{2}$ 海里,$∠ C = 45°$,
$\because F$在$D$的正南方向,$\therefore DF⊥ BC$,
$\because D$为$AC$的中点,
$\therefore CD = \frac{1}{2}AC = 100\sqrt{2}$ 海里,
在$Rt△DFC$中,$∠C=45°$,$\therefore DF = CF$,
由勾股定理得$DF^2+CF^2=CD^2$,即$2DF^2=(100\sqrt{2})^2$,
解得$DF = CF = 100$ 海里。
(2) 设相遇时补给船航行了$y$海里,
则$DE = y$ 海里,
$\because$军舰速度是补给船的2倍，航行时间相同,$\therefore$军舰航行的总路程$AB + BE = 2y$ 海里,
$\because BC=200$海里,$CF=100$海里,
$\therefore EF = AB + BC - (AB + BE) - CF = 200+200-2y-100=(300 - 2y)$ 海里,
在$Rt△ DEF$中,根据勾股定理可得$DE^2=DF^2+EF^2$,即：
$y^2 = 100^2 + (300 - 2y)^2$,
整理,得$3y^2 - 1200y + 100 000 = 0$,
解这个方程,得$y_1 = 200 - \frac{100\sqrt{6}}{3} \approx 118.3$,$y_2 = 200 + \frac{100\sqrt{6}}{3} \approx 281.7$.
$\because$相遇点$E$在$BC$上,$\therefore EF＞0$,即$300 - 2y ＞ 0$,解得$y ＜ 150$,
$\therefore y_2\approx281.7$不符合题意,舍去,故$y \approx 118.3$.
【答案】
(1) 如图,连接DF,则$DF// AB$.
小岛D和小岛F相距100海里。
(2) 相遇时补给船大约航行了118.3海里。
【知识点】
等腰直角三角形性质，勾股定理，一元二次方程的应用
【点评】
本题是结合方位的实际应用问题，融合了几何性质与代数方程知识，既考查了几何图形边长的计算能力，又考查了利用勾股定理构建方程解决实际问题的能力，解题时要注意结合实际情境对解进行取舍，贴合生活应用场景。
【难度系数】
0.6
