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8.(黑龙江)国家“双减”政策实施后,某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买).其中笔记本每本3元,碳素笔每支2元,共花费28元,则可能的购买方案共有 (
A.5种
B.4种
C.3种
D.2种
B
)A.5种
B.4种
C.3种
D.2种
答案
8.B
解析
【分析】
这是一道二元一次方程的实际应用类题目，解题时首先要根据题意设出未知数，列出二元一次方程；再结合“两种奖品都买”的限制条件，明确未知数均为正整数，将方程变形后用一个未知数表示另一个未知数，根据整除性和取值范围找出所有符合条件的正整数解，解的个数就是购买方案的数量。
【解析】
解：设购买笔记本x本，碳素笔y支，其中x、y均为正整数（因为两种奖品都买，故x≥1，y≥1）。
根据总花费28元可列方程：$\boldsymbol{3x + 2y = 28}$
将方程变形为用x表示y的形式：$y = \frac{28 - 3x}{2}$
∵y是正整数，
∴$28 - 3x$必须是大于0的正偶数
∵28是偶数，
∴3x为偶数，又
∵3是奇数，
∴x为偶数
同时$28 - 3x ＞ 0$，即$x ＜ \frac{28}{3} \approx 9.33$
结合x是正偶数，可得x的可能取值为2、4、6、8：
①当x=2时，$y=\frac{28-6}{2}=11$，符合要求；
②当x=4时，$y=\frac{28-12}{2}=8$，符合要求；
③当x=6时，$y=\frac{28-18}{2}=5$，符合要求；
④当x=8时，$y=\frac{28-24}{2}=2$，符合要求；
综上，共有4种符合条件的购买方案。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的应用；二元一次方程的正整数解
【点评】
本题结合生活中的奖励方案问题，考查二元一次方程的实际应用，解题的关键是准确提取题干中的限制条件，明确未知数的取值范围，避免忽略“两种奖品都买”的条件导致多解。
【难度系数】
0.7
这是一道二元一次方程的实际应用类题目，解题时首先要根据题意设出未知数，列出二元一次方程；再结合“两种奖品都买”的限制条件，明确未知数均为正整数，将方程变形后用一个未知数表示另一个未知数，根据整除性和取值范围找出所有符合条件的正整数解，解的个数就是购买方案的数量。
【解析】
解：设购买笔记本x本，碳素笔y支，其中x、y均为正整数（因为两种奖品都买，故x≥1，y≥1）。
根据总花费28元可列方程：$\boldsymbol{3x + 2y = 28}$
将方程变形为用x表示y的形式：$y = \frac{28 - 3x}{2}$
∵y是正整数，
∴$28 - 3x$必须是大于0的正偶数
∵28是偶数，
∴3x为偶数，又
∵3是奇数，
∴x为偶数
同时$28 - 3x ＞ 0$，即$x ＜ \frac{28}{3} \approx 9.33$
结合x是正偶数，可得x的可能取值为2、4、6、8：
①当x=2时，$y=\frac{28-6}{2}=11$，符合要求；
②当x=4时，$y=\frac{28-12}{2}=8$，符合要求；
③当x=6时，$y=\frac{28-18}{2}=5$，符合要求；
④当x=8时，$y=\frac{28-24}{2}=2$，符合要求；
综上，共有4种符合条件的购买方案。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的应用；二元一次方程的正整数解
【点评】
本题结合生活中的奖励方案问题，考查二元一次方程的实际应用，解题的关键是准确提取题干中的限制条件，明确未知数的取值范围，避免忽略“两种奖品都买”的条件导致多解。
【难度系数】
0.7
9.已知$\begin{cases}x+a=5, \\ 2y-1=3a\end{cases}$是关于$x,y$的方程组，则无论$a$取何值，$x,y$恒有关系式是 ______ .
答案
9.$3x+2y=16$
解析
【分析】
要得到x与y的恒有关系式，核心是消去参数a。我们可以先分别从两个方程中用含x的代数式表示a、用含y的代数式表示a，再根据a的取值相同建立两个式子的等量关系，最后整理等式即可得到x和y的固定关系式。
【解析】
首先给方程组编号：
$\begin{cases}x+a=5&① \\ 2y-1=3a&②\end{cases}$
由①移项可得：$a=5-x$ ③
由②两边同时除以3可得：$a=\dfrac{2y-1}{3}$ ④
因为两个式子中的a是同一个值，所以③=④，即：
$5-x=\dfrac{2y-1}{3}$
两边同时乘3去分母：
$3(5-x)=2y-1$
展开左边得：$15-3x=2y-1$
移项合并常数项得：
$3x+2y=16$
【答案】
$3x+2y=16$
【知识点】
代入消元法，等式的性质，代数式变形
【点评】
本题是消参类基础题，解题关键是明确目标为消去参数a，熟练掌握代入消元思路和等式基本运算规则就能快速解决。
【难度系数】
0.8
要得到x与y的恒有关系式，核心是消去参数a。我们可以先分别从两个方程中用含x的代数式表示a、用含y的代数式表示a，再根据a的取值相同建立两个式子的等量关系，最后整理等式即可得到x和y的固定关系式。
【解析】
首先给方程组编号：
$\begin{cases}x+a=5&① \\ 2y-1=3a&②\end{cases}$
由①移项可得：$a=5-x$ ③
由②两边同时除以3可得：$a=\dfrac{2y-1}{3}$ ④
因为两个式子中的a是同一个值，所以③=④，即：
$5-x=\dfrac{2y-1}{3}$
两边同时乘3去分母：
$3(5-x)=2y-1$
展开左边得：$15-3x=2y-1$
移项合并常数项得：
$3x+2y=16$
【答案】
$3x+2y=16$
【知识点】
代入消元法，等式的性质，代数式变形
【点评】
本题是消参类基础题，解题关键是明确目标为消去参数a，熟练掌握代入消元思路和等式基本运算规则就能快速解决。
【难度系数】
0.8
10. 用代入法解下列方程组：
(1) $\begin{cases} 2x + y = 5, \quad ① \\ 4x + 3y = 7; \quad ② \end{cases}$
(2) $\begin{cases} \dfrac{m}{2} + \dfrac{n}{3} = 13, \quad ① \\ \dfrac{m}{3} - \dfrac{n}{4} = 3. \quad ② \end{cases}$
(1) $\begin{cases} 2x + y = 5, \quad ① \\ 4x + 3y = 7; \quad ② \end{cases}$
(2) $\begin{cases} \dfrac{m}{2} + \dfrac{n}{3} = 13, \quad ① \\ \dfrac{m}{3} - \dfrac{n}{4} = 3. \quad ② \end{cases}$
答案
10. 解:(1)由①,得$y=5-2x.$③ 把③代入②,得$4x+3(5-2x)=7.-2x=-8.x=4.$把$x=4$代入③,得$y=5-2×4.y=-3.$所以$\begin{cases} x=4, \\ y=-3; \end{cases}$(2)原方程组可化为$\begin{cases} 3m+2n=78,③ \\ 4m-3n=36.④ \end{cases}$由④,得$m=\frac{36+3n}{4}.$⑤ 把⑤代入③,得$3×\frac{36+3n}{4}+2n=78.17n=204. n=12.$把$n=12$代入⑤,得$m=\frac{36+3×12}{4}.m=18.$所以$\begin{cases} m=18, \\ n=12. \end{cases}$
解析
【分析】
代入消元法解二元一次方程组的核心是消元，将二元转化为一元求解。
(1)观察方程组发现方程①中y的系数为1，因此先将方程①变形，用含x的代数式表示y，再代入方程②即可消去y，得到关于x的一元一次方程，求解出x的值后，回代变形后的式子求出y即可。
(2)方程组的两个方程都含有分母，首先利用等式的性质去分母，转化为整系数的二元一次方程组，再选择系数相对简单的方程变形，用含n的代数式表示m，代入另一个方程消元求出n的值，再回代求出m的值即可。
【解析】
(1)由①，得$y=5-2x$ ③
把③代入②，得$4x+3(5-2x)=7$，解得$-2x=-8$，$x=4$。
把$x=4$代入③，得$y=5-2×4=-3$。
(2)先给原方程组去分母，可化为$\begin{cases} 3m+2n=78 ③ \\ 4m-3n=36 ④ \end{cases}$
由④，得$m=\frac{36+3n}{4}$ ⑤
把⑤代入③，得$3×\frac{36+3n}{4}+2n=78$，解得$17n=204$，$n=12$。
把$n=12$代入⑤，得$m=\frac{36+3×12}{4}=18$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=4 \\ y=-3 \end{cases}$；(2)$\begin{cases} m=18 \\ n=12 \end{cases}$
【知识点】
1. 代入消元法解二元一次方程组
2. 含分母方程去分母化简
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题考查代入消元法解二元一次方程组的基本应用，解题时优先选择系数为±1的未知数所在方程变形，若方程含分母需先化简为整系数方程再计算，运算过程要注意符号，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
代入消元法解二元一次方程组的核心是消元，将二元转化为一元求解。
(1)观察方程组发现方程①中y的系数为1，因此先将方程①变形，用含x的代数式表示y，再代入方程②即可消去y，得到关于x的一元一次方程，求解出x的值后，回代变形后的式子求出y即可。
(2)方程组的两个方程都含有分母，首先利用等式的性质去分母，转化为整系数的二元一次方程组，再选择系数相对简单的方程变形，用含n的代数式表示m，代入另一个方程消元求出n的值，再回代求出m的值即可。
【解析】
(1)由①，得$y=5-2x$ ③
把③代入②，得$4x+3(5-2x)=7$，解得$-2x=-8$，$x=4$。
把$x=4$代入③，得$y=5-2×4=-3$。
(2)先给原方程组去分母，可化为$\begin{cases} 3m+2n=78 ③ \\ 4m-3n=36 ④ \end{cases}$
由④，得$m=\frac{36+3n}{4}$ ⑤
把⑤代入③，得$3×\frac{36+3n}{4}+2n=78$，解得$17n=204$，$n=12$。
把$n=12$代入⑤，得$m=\frac{36+3×12}{4}=18$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=4 \\ y=-3 \end{cases}$；(2)$\begin{cases} m=18 \\ n=12 \end{cases}$
【知识点】
1. 代入消元法解二元一次方程组
2. 含分母方程去分母化简
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题考查代入消元法解二元一次方程组的基本应用，解题时优先选择系数为±1的未知数所在方程变形，若方程含分母需先化简为整系数方程再计算，运算过程要注意符号，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
11. 解二元一次方程组$\begin{cases}2x=3y+1,① \\4x+y=9 ②\end{cases}$时，两位同学的部分解答过程如下：
(1)补全上述空白部分内容；
(2)请选择一种你喜欢的方法完成解答。
(1)补全上述空白部分内容；
(2)请选择一种你喜欢的方法完成解答。
答案
11. 解:(1)等式的性质1 $3y+1$ (2)把①代入②,得$2(3y+1)+y=9.6y+2+y=9.y=1.$把$y=1$代入①,得$2x=3+1. x=2.$所以$\begin{cases} x=2, \\ y=1. \end{cases}$
解析
【分析】
本题考查代入消元法解二元一次方程组。第(1)问：将方程②移项得到y的表达式，依据是等式两边同时减去同一个整式，等式仍然成立，即等式的性质1；芳芳的解法是将①中的2x整体代入②中4x的位置（4x=2×2x），因此括号内需替换为①里2x对应的表达式。第(2)问：代入消元法的核心是“消元”，先通过代换消去一个未知数，将二元方程组转化为一元一次方程求解，再把求得的未知数值代回原方程求另一个未知数，最终得到方程组的解。
【解析】
(1) 圆圆将方程②$4x+y=9$两边同时减$4x$得到$y=9-4x$，变形依据是等式的性质1；
由①得$2x=3y+1$，方程②中$4x=2×2x$，把①代入②时，将$2x$替换为$3y+1$，因此括号内填$\boldsymbol{3y+1}$。
(2) 选择代入法解答：
把①代入②，得$2(3y+1)+y=9$，
去括号，得$6y+2+y=9$，
合并同类项，得$7y+2=9$，
移项、系数化为1，得$y=1$，
把$y=1$代入①，得$2x=3×1+1$，
解得$x=2$。
【答案】
(1) 等式的性质1；$3y+1$
(2) $\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
【知识点】
等式的性质；代入消元法；解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的基础考查题，重点考察代入消元法“化二元为一元”的核心思路，熟练掌握等式变形规则和一元一次方程的解法是准确解题的前提。
【难度系数】
0.8
本题考查代入消元法解二元一次方程组。第(1)问：将方程②移项得到y的表达式，依据是等式两边同时减去同一个整式，等式仍然成立，即等式的性质1；芳芳的解法是将①中的2x整体代入②中4x的位置（4x=2×2x），因此括号内需替换为①里2x对应的表达式。第(2)问：代入消元法的核心是“消元”，先通过代换消去一个未知数，将二元方程组转化为一元一次方程求解，再把求得的未知数值代回原方程求另一个未知数，最终得到方程组的解。
【解析】
(1) 圆圆将方程②$4x+y=9$两边同时减$4x$得到$y=9-4x$，变形依据是等式的性质1；
由①得$2x=3y+1$，方程②中$4x=2×2x$，把①代入②时，将$2x$替换为$3y+1$，因此括号内填$\boldsymbol{3y+1}$。
(2) 选择代入法解答：
把①代入②，得$2(3y+1)+y=9$，
去括号，得$6y+2+y=9$，
合并同类项，得$7y+2=9$，
移项、系数化为1，得$y=1$，
把$y=1$代入①，得$2x=3×1+1$，
解得$x=2$。
【答案】
(1) 等式的性质1；$3y+1$
(2) $\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
【知识点】
等式的性质；代入消元法；解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的基础考查题，重点考察代入消元法“化二元为一元”的核心思路，熟练掌握等式变形规则和一元一次方程的解法是准确解题的前提。
【难度系数】
0.8
12. 已知关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} ax + by = c, \\ a_1x + b_1y = c_1 \end{cases} $ 的解是 $ \begin{cases} x=3, \\ y=4. \end{cases} $
(1) 把 $ x $ 换成 $ m $，$ y $ 换成 $ n $，得到方程组 $ \begin{cases} am + bn = c, \\ a_1m + b_1n = c_1, \end{cases} $ 则这个方程组的解是 $ \begin{cases} m = \_\_\_\_\_\_, \\ n = \_\_\_\_\_\_; \end{cases} $
(2) 把 $ x $ 换成 $ 2x $，$ y $ 换成 $ 4y $，得到方程组 $ \begin{cases} 2ax + 4by = c, \\ 2a_1x + 4b_1y = c_1, \end{cases} $ 则 $ \begin{cases} 2x = \_\_\_\_\_\_, \\ 4y = \_\_\_\_\_\_, \end{cases} $ 所以这个方程组的解是 $ \begin{cases} x = \_\_\_\_\_\_, \\ y = \_\_\_\_\_\_; \end{cases} $
(3) 参照以上方法解方程组 $ \begin{cases} 2ax + 4by = 3c, \\ 2a_1x + 4b_1y = 3c_1. \end{cases} $
(1) 把 $ x $ 换成 $ m $，$ y $ 换成 $ n $，得到方程组 $ \begin{cases} am + bn = c, \\ a_1m + b_1n = c_1, \end{cases} $ 则这个方程组的解是 $ \begin{cases} m = \_\_\_\_\_\_, \\ n = \_\_\_\_\_\_; \end{cases} $
(2) 把 $ x $ 换成 $ 2x $，$ y $ 换成 $ 4y $，得到方程组 $ \begin{cases} 2ax + 4by = c, \\ 2a_1x + 4b_1y = c_1, \end{cases} $ 则 $ \begin{cases} 2x = \_\_\_\_\_\_, \\ 4y = \_\_\_\_\_\_, \end{cases} $ 所以这个方程组的解是 $ \begin{cases} x = \_\_\_\_\_\_, \\ y = \_\_\_\_\_\_; \end{cases} $
(3) 参照以上方法解方程组 $ \begin{cases} 2ax + 4by = 3c, \\ 2a_1x + 4b_1y = 3c_1. \end{cases} $
答案
12. 解:(1)3 4 (2)3 4 $\frac{3}{2}$ 1 (3)将方程组$\begin{cases} 2ax+4by=3c, \\ 2a_1x+4b_1y=3c_1 \end{cases}$变形为$\begin{cases} \frac{2}{3}ax+\frac{4}{3}by=c, \\ \frac{2}{3}a_1x+\frac{4}{3}b_1y=c_1, \end{cases}$所以$\begin{cases} \frac{2}{3}x=3, \\ \frac{4}{3}y=4, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\frac{9}{2}, \\ y=3. \end{cases}$所以方程组$\begin{cases} 2ax+4by=3c, \\ 2a_1x+4b_1y=3c_1 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=\frac{9}{2}, \\ y=3. \end{cases}$
解析
【分析】
本题利用二元一次方程组解的定义解题，核心是整体代换思想：只要两个方程组的系数结构、右边常数项结构一致，不管未知数的形式如何，对应整体的值就等于原方程组的解，不需要计算a、b、c等系数的具体值。
(1) 第一问仅更换了未知数的名称，方程组的系数和常数项完全和原方程组相同，解与原方程组一致；
(2) 第二问将2x、4y看作整体，该整体对应原方程组的x、y，因此整体的值等于原方程组的解，再计算x、y即可；
(3) 第三问先将方程组两边同除以3，把右边常数项转化为c、c₁，和原方程组右边一致，再将左边含x、y的整体对应原方程组的x、y，列方程求解即可。
【解析】
(1) 新方程组只是将原方程组的未知数x、y替换为m、n，其余部分完全相同，因此解和原方程组一致；
(2) 把2x、4y看作整体，该方程组和原方程组结构完全相同，因此$\begin{cases} 2x=3 \\ 4y=4 \end{cases}$，分别解得$x=3÷2=\frac{3}{2}$，$y=4÷4=1$；
(3) 首先将待解方程组的两个方程左右两边同时除以3，变形为：
$\begin{cases} \frac{2}{3}ax+\frac{4}{3}by=c \\ \frac{2}{3}a_1x+\frac{4}{3}b_1y=c_1 \end{cases}$
把$\frac{2}{3}x$和$\frac{4}{3}y$看作整体，对应原方程组的x、y，可得：
$\begin{cases} \frac{2}{3}x=3 \\ \frac{4}{3}y=4 \end{cases}$
解第一个方程得$x=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，解第二个方程得$y=4×\frac{3}{4}=3$。
【答案】
(1) $3$，$4$；
(2) $3$，$4$，$\frac{3}{2}$，$1$；
(3) $\begin{cases} x=\frac{9}{2} \\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解，整体代入法
【点评】
本题是整体代换思想在二元一次方程组求解中的典型应用，通过将未知方程组转化为已知解的同结构方程组，避免了求解未知系数的复杂运算，解题关键是找准对应原方程组未知数的整体。
【难度系数】
0.7
本题利用二元一次方程组解的定义解题，核心是整体代换思想：只要两个方程组的系数结构、右边常数项结构一致，不管未知数的形式如何，对应整体的值就等于原方程组的解，不需要计算a、b、c等系数的具体值。
(1) 第一问仅更换了未知数的名称，方程组的系数和常数项完全和原方程组相同，解与原方程组一致；
(2) 第二问将2x、4y看作整体，该整体对应原方程组的x、y，因此整体的值等于原方程组的解，再计算x、y即可；
(3) 第三问先将方程组两边同除以3，把右边常数项转化为c、c₁，和原方程组右边一致，再将左边含x、y的整体对应原方程组的x、y，列方程求解即可。
【解析】
(1) 新方程组只是将原方程组的未知数x、y替换为m、n，其余部分完全相同，因此解和原方程组一致；
(2) 把2x、4y看作整体，该方程组和原方程组结构完全相同，因此$\begin{cases} 2x=3 \\ 4y=4 \end{cases}$，分别解得$x=3÷2=\frac{3}{2}$，$y=4÷4=1$；
(3) 首先将待解方程组的两个方程左右两边同时除以3，变形为：
$\begin{cases} \frac{2}{3}ax+\frac{4}{3}by=c \\ \frac{2}{3}a_1x+\frac{4}{3}b_1y=c_1 \end{cases}$
把$\frac{2}{3}x$和$\frac{4}{3}y$看作整体，对应原方程组的x、y，可得：
$\begin{cases} \frac{2}{3}x=3 \\ \frac{4}{3}y=4 \end{cases}$
解第一个方程得$x=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，解第二个方程得$y=4×\frac{3}{4}=3$。
【答案】
(1) $3$，$4$；
(2) $3$，$4$，$\frac{3}{2}$，$1$；
(3) $\begin{cases} x=\frac{9}{2} \\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解，整体代入法
【点评】
本题是整体代换思想在二元一次方程组求解中的典型应用，通过将未知方程组转化为已知解的同结构方程组，避免了求解未知系数的复杂运算，解题关键是找准对应原方程组未知数的整体。
【难度系数】
0.7
