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9.有a,b两根小棒如图所示，现要将a,b两根小棒中的一根剪成两段与另外一根围成三角形，那么下面剪法中，一定能围成三角形的是（
A.a小棒任意剪一刀
B.b小棒任意剪一刀
C.a小棒正中间剪一刀
D.b小棒正中间剪一刀
D
）A.a小棒任意剪一刀
B.b小棒任意剪一刀
C.a小棒正中间剪一刀
D.b小棒正中间剪一刀
答案
9.D
解析
【分析】
解题核心是应用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。首先根据图1的△ABC求出a的取值范围，已知b=6，再分别分析剪a和剪b的情况：若剪a，两段之和等于a，需满足两段之和大于未剪的b，但a＜6，因此剪a无论怎么剪都不符合要求；若剪b，需区分“任意剪”和“正中间剪”的差异，逐一验证是否满足三边关系，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
首先根据三角形三边关系，在△ABC中：
$AB-BC ＜ AC ＜ AB+BC$，代入$AB=4$，$BC=2$，得$4-2 ＜ a ＜ 4+2$，即$2 ＜ a ＜ 6$，已知$b=6$。
逐一分析选项：
A. 将a小棒任意剪一刀，剪成的两段长度之和为$a＜6$，即两段之和小于第三边$b=6$，不符合三角形三边关系，不能围成三角形，错误；
B. 将b小棒任意剪一刀，假设剪成$x$和$6-x$两段，若取$x=1$，则$6-x=5$，当$a=2.1$时，$1+2.1=3.1＜5$，不满足三边关系，因此不一定能围成三角形，错误；
C. 将a小棒正中间剪一刀，两段长度之和仍为$a＜6$，小于第三边$b=6$，不符合三边关系，不能围成三角形，错误；
D. 将b小棒正中间剪一刀，两段长度均为3，此时三根小棒长度为3、3、$a$：
$3+3=6＞a$（因$a＜6$），$3+a＞3$（因$a＞2＞0$），满足三角形任意两边之和大于第三边，一定能围成三角形，正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
取值范围分析
【点评】
本题考查三角形三边关系的实际应用，解题关键是先确定a的取值范围，再结合不同剪法的特点验证是否满足三角形构成条件，易错点是忽略剪a时两段之和始终小于b的情况，以及任意剪b时可能出现的不符合三边关系的特殊情况。
【难度系数】
0.6
解题核心是应用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。首先根据图1的△ABC求出a的取值范围，已知b=6，再分别分析剪a和剪b的情况：若剪a，两段之和等于a，需满足两段之和大于未剪的b，但a＜6，因此剪a无论怎么剪都不符合要求；若剪b，需区分“任意剪”和“正中间剪”的差异，逐一验证是否满足三边关系，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
首先根据三角形三边关系，在△ABC中：
$AB-BC ＜ AC ＜ AB+BC$，代入$AB=4$，$BC=2$，得$4-2 ＜ a ＜ 4+2$，即$2 ＜ a ＜ 6$，已知$b=6$。
逐一分析选项：
A. 将a小棒任意剪一刀，剪成的两段长度之和为$a＜6$，即两段之和小于第三边$b=6$，不符合三角形三边关系，不能围成三角形，错误；
B. 将b小棒任意剪一刀，假设剪成$x$和$6-x$两段，若取$x=1$，则$6-x=5$，当$a=2.1$时，$1+2.1=3.1＜5$，不满足三边关系，因此不一定能围成三角形，错误；
C. 将a小棒正中间剪一刀，两段长度之和仍为$a＜6$，小于第三边$b=6$，不符合三边关系，不能围成三角形，错误；
D. 将b小棒正中间剪一刀，两段长度均为3，此时三根小棒长度为3、3、$a$：
$3+3=6＞a$（因$a＜6$），$3+a＞3$（因$a＞2＞0$），满足三角形任意两边之和大于第三边，一定能围成三角形，正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
取值范围分析
【点评】
本题考查三角形三边关系的实际应用，解题关键是先确定a的取值范围，再结合不同剪法的特点验证是否满足三角形构成条件，易错点是忽略剪a时两段之和始终小于b的情况，以及任意剪b时可能出现的不符合三边关系的特殊情况。
【难度系数】
0.6
10.已知三角形的三边长分别为3,5和2x−1,则整数x的最大值为
4
.答案
10.4
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以先根据已知的两条边长3和5，列出关于第三边2x-1的不等式，求出x的取值范围，再结合x是整数的限定条件，就能找到x的最大值。
【解析】
根据三角形三边关系，第三边的长度满足：
$两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和$
代入已知边长得：
$5 - 3 ＜ 2x - 1 ＜ 5 + 3$
化简不等式：
$2 ＜ 2x - 1 ＜ 8$
不等式各部分同时加1，得：
$3 ＜ 2x ＜ 9$
不等式各部分同时除以2，得：
$1.5 ＜ x ＜ 4.5$
因为x是整数，所以x可取2、3、4，其中最大值为4。
【答案】
4
【知识点】
三角形三边关系；解一元一次不等式；整数解求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，解题关键是根据三边关系正确建立不等式，结合整数的限定条件即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以先根据已知的两条边长3和5，列出关于第三边2x-1的不等式，求出x的取值范围，再结合x是整数的限定条件，就能找到x的最大值。
【解析】
根据三角形三边关系，第三边的长度满足：
$两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和$
代入已知边长得：
$5 - 3 ＜ 2x - 1 ＜ 5 + 3$
化简不等式：
$2 ＜ 2x - 1 ＜ 8$
不等式各部分同时加1，得：
$3 ＜ 2x ＜ 9$
不等式各部分同时除以2，得：
$1.5 ＜ x ＜ 4.5$
因为x是整数，所以x可取2、3、4，其中最大值为4。
【答案】
4
【知识点】
三角形三边关系；解一元一次不等式；整数解求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，解题关键是根据三边关系正确建立不等式，结合整数的限定条件即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
11.定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”.若$△ ABC$是“倍长三角形”,有两条边的长分别为2和3,则第三条边的长为
1.5或4
.答案
11.1.5或4
解析
【分析】
首先明确“倍长三角形”的定义：三角形中存在两边，其中一边长是另一边长的2倍。已知△ABC的两条边长为2和3，先判断这两条边不存在2倍关系，因此倍长关系必然包含第三条边。解题时先设第三条边长为x，分两类情况讨论倍长关系：①已知边是x的2倍；②x是已知边的2倍。每类情况求出x后，再用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）验证是否能构成三角形，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
设第三条边的长为x。
已知两边长为2和3，由于3≠2×2，因此2和3不满足倍长关系，倍长的两边一定包含x，分情况讨论：
1. 若已知边是x的2倍：
（1）若2=2x，解得x=1，此时三边长为1、2、3，1+2=3，不满足三角形三边关系，舍去；
（2）若3=2x，解得x=1.5，此时三边长为1.5、2、3，满足1.5+2＞3，3-1.5＜2，符合要求；
2. 若x是已知边的2倍：
（1）若x=2×2=4，此时三边长为2、3、4，满足2+3＞4，4-2＜3，符合要求；
（2）若x=2×3=6，此时三边长为2、3、6，2+3＜6，不满足三角形三边关系，舍去。
综上，第三条边的长为1.5或4。
【答案】
1.5或4
【知识点】
三角形三边关系，新定义题型，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查三角形三边的应用，解题关键是根据倍长关系合理分类，注意求出边长后必须验证是否满足三角形三边关系，避免出现多解、错解的问题。
【难度系数】
0.7
首先明确“倍长三角形”的定义：三角形中存在两边，其中一边长是另一边长的2倍。已知△ABC的两条边长为2和3，先判断这两条边不存在2倍关系，因此倍长关系必然包含第三条边。解题时先设第三条边长为x，分两类情况讨论倍长关系：①已知边是x的2倍；②x是已知边的2倍。每类情况求出x后，再用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）验证是否能构成三角形，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
设第三条边的长为x。
已知两边长为2和3，由于3≠2×2，因此2和3不满足倍长关系，倍长的两边一定包含x，分情况讨论：
1. 若已知边是x的2倍：
（1）若2=2x，解得x=1，此时三边长为1、2、3，1+2=3，不满足三角形三边关系，舍去；
（2）若3=2x，解得x=1.5，此时三边长为1.5、2、3，满足1.5+2＞3，3-1.5＜2，符合要求；
2. 若x是已知边的2倍：
（1）若x=2×2=4，此时三边长为2、3、4，满足2+3＞4，4-2＜3，符合要求；
（2）若x=2×3=6，此时三边长为2、3、6，2+3＜6，不满足三角形三边关系，舍去。
综上，第三条边的长为1.5或4。
【答案】
1.5或4
【知识点】
三角形三边关系，新定义题型，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查三角形三边的应用，解题关键是根据倍长关系合理分类，注意求出边长后必须验证是否满足三角形三边关系，避免出现多解、错解的问题。
【难度系数】
0.7
12.已知$ a,b,c $为$△ ABC$的三边长.
(1)若$ b,c $满足$(b-2)^2 + |c-3| = 0$，且$ a $为方程$|a-4| = 2$的解，求$△ ABC$的周长，并判断$△ ABC$的形状；
(2)若$ a=5,b=2 $，且$ c $为整数，求$△ ABC$周长的最大值和最小值.
(1)若$ b,c $满足$(b-2)^2 + |c-3| = 0$，且$ a $为方程$|a-4| = 2$的解，求$△ ABC$的周长，并判断$△ ABC$的形状；
(2)若$ a=5,b=2 $，且$ c $为整数，求$△ ABC$周长的最大值和最小值.
答案
12.(1)△ABC的周长为7,△ABC是等腰三角形 (2)最大值为13,最小值为11
解析
【分析】
(1) 首先利用非负数的性质（平方、绝对值的非负性）求出b、c的取值，再解绝对值方程得到a的两个可能值，最后结合三角形三边关系筛选出符合条件的a，进而计算周长、判断三角形形状。
(2) 先根据三角形三边关系确定c的取值范围，结合c为整数的条件得到c的所有可能取值，再代入周长公式计算最大值和最小值即可。
【解析】
(1) 解：
∵ 平方和绝对值均为非负数，且$(b-2)^2 + |c-3| = 0$
∴ $b-2=0$，$c-3=0$，解得$b=2$，$c=3$
解方程$|a-4|=2$：
当$a-4≥0$时，$a-4=2$，得$a=6$；当$a-4＜0$时，$a-4=-2$，得$a=2$
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边
若$a=6$，则$b+c=2+3=5＜6$，无法构成三角形，舍去
若$a=2$，则$2+2＞3$，符合三边关系
∴ △ABC的三边长为2、2、3，周长为$2+2+3=7$
∵ 有两条边长相等，
∴ △ABC是等腰三角形
(2) 解：根据三角形三边关系可得：$a-b ＜ c ＜ a+b$
代入$a=5$，$b=2$，得$5-2 ＜ c ＜ 5+2$，即$3 ＜ c ＜ 7$
∵ c为整数，
∴ c的可能取值为4、5、6
△ABC的周长为$a+b+c=7+c$
当c取最大值6时，周长最大，为$7+6=13$
当c取最小值4时，周长最小，为$7+4=11$
【答案】
(1)△ABC的周长为7，△ABC是等腰三角形；(2)周长最大值为13，最小值为11
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 绝对值方程求解
3. 三角形三边关系
【点评】
本题是三角形基础综合题，重点考查基础性质的灵活应用，易错点为求出边长的可能值后，忽略用三角形三边关系验证是否能构成三角形，解题时需注意筛选符合条件的边长。
【难度系数】
0.7
(1) 首先利用非负数的性质（平方、绝对值的非负性）求出b、c的取值，再解绝对值方程得到a的两个可能值，最后结合三角形三边关系筛选出符合条件的a，进而计算周长、判断三角形形状。
(2) 先根据三角形三边关系确定c的取值范围，结合c为整数的条件得到c的所有可能取值，再代入周长公式计算最大值和最小值即可。
【解析】
(1) 解：
∵ 平方和绝对值均为非负数，且$(b-2)^2 + |c-3| = 0$
∴ $b-2=0$，$c-3=0$，解得$b=2$，$c=3$
解方程$|a-4|=2$：
当$a-4≥0$时，$a-4=2$，得$a=6$；当$a-4＜0$时，$a-4=-2$，得$a=2$
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边
若$a=6$，则$b+c=2+3=5＜6$，无法构成三角形，舍去
若$a=2$，则$2+2＞3$，符合三边关系
∴ △ABC的三边长为2、2、3，周长为$2+2+3=7$
∵ 有两条边长相等，
∴ △ABC是等腰三角形
(2) 解：根据三角形三边关系可得：$a-b ＜ c ＜ a+b$
代入$a=5$，$b=2$，得$5-2 ＜ c ＜ 5+2$，即$3 ＜ c ＜ 7$
∵ c为整数，
∴ c的可能取值为4、5、6
△ABC的周长为$a+b+c=7+c$
当c取最大值6时，周长最大，为$7+6=13$
当c取最小值4时，周长最小，为$7+4=11$
【答案】
(1)△ABC的周长为7，△ABC是等腰三角形；(2)周长最大值为13，最小值为11
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 绝对值方程求解
3. 三角形三边关系
【点评】
本题是三角形基础综合题，重点考查基础性质的灵活应用，易错点为求出边长的可能值后，忽略用三角形三边关系验证是否能构成三角形，解题时需注意筛选符合条件的边长。
【难度系数】
0.7
13. 已知$△ ABC$的三边长分别为$m-2,2m+1,8$.
(1)求$m$的取值范围；
(2)若$△ ABC$是等腰三角形,求$△ ABC$三边的长.
(1)求$m$的取值范围；
(2)若$△ ABC$是等腰三角形,求$△ ABC$三边的长.
答案
13.(1)$3＜m＜5$ (2)$\frac{3}{2},8,8$
解析
【分析】
(1) 求m的取值范围需依据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，列出关于m的不等式组，求解不等式组即可得到m的范围；(2) 等腰三角形有两条边长相等，因此需要分三种情况讨论两条边相等的情况，求出对应的m值后，需检验m是否满足第一问的取值范围，同时检验三条边能否构成三角形，舍去不符合要求的解即可得到三边长。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，列不等式组：
$\begin{cases}(m-2)+(2m+1) ＞ 8 \\(m-2)+8 ＞ 2m+1 \\(2m+1)+8 ＞ m-2\end{cases}$
解第一个不等式：$3m -1 ＞8$，得$m＞3$；
解第二个不等式：$m +6 ＞2m +1$，得$m＜5$；
解第三个不等式：$m +9 ＞ -2$，得$m＞-11$；
取三个解集的公共部分，得$3＜m＜5$。
(2) 已知△ABC是等腰三角形，分三种情况讨论：
① 当$m-2=2m+1$时，解得$m=-3$，此时边长$m-2=-5＜0$，不符合边长为正的要求，且$m=-3$不在$3＜m＜5$范围内，舍去；
② 当$m-2=8$时，解得$m=10$，$m=10$不在$3＜m＜5$范围内，此时三边长为8、21、8，$8+8=16＜21$，不能构成三角形，舍去；
③ 当$2m+1=8$时，解得$m=\frac{7}{2}$，$m=\frac{7}{2}$满足$3＜m＜5$，此时$m-2=\frac{7}{2}-2=\frac{3}{2}$，三边长为$\frac{3}{2}$、8、8，检验得$\frac{3}{2}+8＞8$，符合三边关系。
【答案】
(1) $3＜m＜5$；(2) $\frac{3}{2},8,8$
【知识点】
1. 三角形三边关系；2. 等腰三角形的定义
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的应用及分类讨论思想，求解等腰三角形相关问题时，要注意对相等边的所有情况进行讨论，同时求出的边长必须满足三角形三边关系，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6
(1) 求m的取值范围需依据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，列出关于m的不等式组，求解不等式组即可得到m的范围；(2) 等腰三角形有两条边长相等，因此需要分三种情况讨论两条边相等的情况，求出对应的m值后，需检验m是否满足第一问的取值范围，同时检验三条边能否构成三角形，舍去不符合要求的解即可得到三边长。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，列不等式组：
$\begin{cases}(m-2)+(2m+1) ＞ 8 \\(m-2)+8 ＞ 2m+1 \\(2m+1)+8 ＞ m-2\end{cases}$
解第一个不等式：$3m -1 ＞8$，得$m＞3$；
解第二个不等式：$m +6 ＞2m +1$，得$m＜5$；
解第三个不等式：$m +9 ＞ -2$，得$m＞-11$；
取三个解集的公共部分，得$3＜m＜5$。
(2) 已知△ABC是等腰三角形，分三种情况讨论：
① 当$m-2=2m+1$时，解得$m=-3$，此时边长$m-2=-5＜0$，不符合边长为正的要求，且$m=-3$不在$3＜m＜5$范围内，舍去；
② 当$m-2=8$时，解得$m=10$，$m=10$不在$3＜m＜5$范围内，此时三边长为8、21、8，$8+8=16＜21$，不能构成三角形，舍去；
③ 当$2m+1=8$时，解得$m=\frac{7}{2}$，$m=\frac{7}{2}$满足$3＜m＜5$，此时$m-2=\frac{7}{2}-2=\frac{3}{2}$，三边长为$\frac{3}{2}$、8、8，检验得$\frac{3}{2}+8＞8$，符合三边关系。
【答案】
(1) $3＜m＜5$；(2) $\frac{3}{2},8,8$
【知识点】
1. 三角形三边关系；2. 等腰三角形的定义
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的应用及分类讨论思想，求解等腰三角形相关问题时，要注意对相等边的所有情况进行讨论，同时求出的边长必须满足三角形三边关系，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6
