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1.(玉林中考)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形,则四边形ABCD的两条对角线AC,BD一定是 (
A.互相平分
B.互相垂直
C.互相平分且相等
D.互相垂直且相等
D
)A.互相平分
B.互相垂直
C.互相平分且相等
D.互相垂直且相等
答案
1.D 解析：如图所示
，点E,F,G,H分别是四边形ABCD边AD,DC,BC,AB的中点,∴ EF // AC // GH, EH // BD // FG, $EF=GH=\frac{1}{2}AC, EH=FG=\frac{1}{2}BD$,
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形, 对于 A 选项:对角线互相平分, 四边形 EFGH 仍是平行四边形,故不符合题意;对于 B 选项:对角线互相垂直,则有 $EF ⊥ EH$,可推出四边形 EFGH 是矩形,故不符合题意;对于 C 选项:对角线互相平分且相等,则有 $EF=EH$,可推出四边形 EFGH 是菱形,故不符合题意;对于 D 选项:对角线互相垂直且相等,则有 $EF ⊥ EH, EF=EH$,可推出四边形 EFGH 是正方形,故符合题意.故选 D.
2.（陕西中考）如图，在菱形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD和DA的中点，连接EF,FG,GH和HE.若$EH=2EF$，则下列结论正确的是（
A.$AB=\sqrt{2}EF$
B.$AB=2EF$
C.$AB=\sqrt{3}EF$
D.$AB=\sqrt{5}EF$
D
）A.$AB=\sqrt{2}EF$
B.$AB=2EF$
C.$AB=\sqrt{3}EF$
D.$AB=\sqrt{5}EF$
答案
2.D 解析:连接 AC,BD 交于点 O.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ $OA=\frac{1}{2}AC, OB=\frac{1}{2}BD, AC ⊥ BD$.
∵ E, F, G, H 分别是边 AB, BC, CD 和 DA 的中点,
∴ $EH=\frac{1}{2}BD, EF=\frac{1}{2}AC$.
∵ $EH=2EF$,
∴ $OA=EF, OB=2OA=2EF$, 在 $Rt △ AOB$ 中,$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{5}EF$,故选 D.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ $OA=\frac{1}{2}AC, OB=\frac{1}{2}BD, AC ⊥ BD$.
∵ E, F, G, H 分别是边 AB, BC, CD 和 DA 的中点,
∴ $EH=\frac{1}{2}BD, EF=\frac{1}{2}AC$.
∵ $EH=2EF$,
∴ $OA=EF, OB=2OA=2EF$, 在 $Rt △ AOB$ 中,$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{5}EF$,故选 D.
3. (2024·无锡中考)如图，E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点，且AB=CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG=$\frac{1}{2}$BC；⑤四边形EFGH的周长等于2AB.其中正确的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3.C 解析:
∵ E, F, G, H 分别是 BD,BC,AC,AD 的中点,
∴ $EF=\frac{1}{2}CD, FG=\frac{1}{2}AB, GH=\frac{1}{2}CD, HE=\frac{1}{2}AB$.
∵ $AB=CD$,
∴ $EF+FG+GH+HE=2AB, EF=FG=GH=HE$,
∴ 四边形 EFGH 是菱形,
∴ $EG ⊥ FH$,①正确,②显然错误.HF 平分∠EHG,③正确.当 $AD // BC$ 时,如图所示
,延长 EG 交 CD 于点 N,∴ $EN=\frac{1}{2}BC, GN=\frac{1}{2}AD$,
∴ $EG=\frac{1}{2}(BC-AD)$,故④错误.四边形 EFGH 的周长等于 2AB,故⑤正确.综上所述,①③⑤正确.
4.（呼伦贝尔中考）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，顺次连接菱形ABCD各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为 （
A.$4+2\sqrt{3}$
B.$6+2\sqrt{3}$
C.$4+4\sqrt{3}$
D.$6+4\sqrt{3}$
C
）A.$4+2\sqrt{3}$
B.$6+2\sqrt{3}$
C.$4+4\sqrt{3}$
D.$6+4\sqrt{3}$
答案
4.C 解析:如图
,连接 AC,BD,相交于点O.∵ 点 E, F, G, H 分别是边 AB, BC,CD,DA 的中点,
∴ $EF=\frac{1}{2}AC, GH=\frac{1}{2}AC$,
∴ EF=GH,同理 EH=FG,
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.
∵ 四边形 ABCD 是菱形, AB=4,∠BAD=120°,
∴ 对角线 AC, BD 互相垂直,
∴ $AD // BC$,
∴ $∠ BAD+∠ ABC=180°$,
∴ $∠ ABC=60°$,
∴ $△ ABC$ 是等边三角形,
∴ AC=4, 在 $Rt △ AOB$ 中, AB=4, $OA=\frac{1}{2}AC=2$,
∴ $OB=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,
∴ $BD=4\sqrt{3}$,
∴ $EF=\frac{1}{2}AC=2, EH=\frac{1}{2}BD=2\sqrt{3}$,
∴ 四边形 EFGH 的周长为 $(2+2\sqrt{3}) × 2=4+4\sqrt{3}$.故选 C.
5. 如图,已知$E,F,G,H$分别为正方形$ABCD$各边上的动点,且始终保持$AE=BF=CG=DH$,点$M,N,P,Q$分别是$EH,EF,FG,HG$的中点.当$AE$从小于$BE$到大于$BE$的变化过程中.若正方形$ABCD$的周长始终保持不变,则四边形$MNPQ$的面积变化情况是 (
A.一直增大
B.一直减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
D
)A.一直增大
B.一直减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
答案
5.D 解析: 在正方形 ABCD 中,$AB=BC=CD=AD,∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$.
∵ $AE=BF=CG=DH$,
∴ $AB-AE=BC-BF$,即 BE=CF. 在 $△ EBF$ 和 $△ FCG$ 中, $\begin{cases} BE=CF, \\ ∠ B=∠ C, \\ BF=CG, \end{cases}$
∴ $△ EBF ≌ △ FCG (\mathrm{SAS})$,
∴ $∠ EFB = ∠ FGC, EF = FG$.
∵ $∠ CFG + ∠ FGC=90°$,
∴ $∠ CFG+∠ EFB=90°$,
∴ $∠ EFG=180°-90°=90°$,同理可得 $FG=GH=EH$,
∴ 四边形 EFGH 是正方形,从而易证四边形 MNPQ 是正方形.当 AE 从小于 BE 到大于 BE 的变化过程中,若正方形 ABCD 的周长始终保持不变,EF 长度先减小后增大(当 E 为 AB 的中点时最小),
∴ 正方形 EFGH 的面积先减小后增大,
∴ 四边形 MNPQ 的面积变化情况也是先减小后增大.故选 D.
∵ $AE=BF=CG=DH$,
∴ $AB-AE=BC-BF$,即 BE=CF. 在 $△ EBF$ 和 $△ FCG$ 中, $\begin{cases} BE=CF, \\ ∠ B=∠ C, \\ BF=CG, \end{cases}$
∴ $△ EBF ≌ △ FCG (\mathrm{SAS})$,
∴ $∠ EFB = ∠ FGC, EF = FG$.
∵ $∠ CFG + ∠ FGC=90°$,
∴ $∠ CFG+∠ EFB=90°$,
∴ $∠ EFG=180°-90°=90°$,同理可得 $FG=GH=EH$,
∴ 四边形 EFGH 是正方形,从而易证四边形 MNPQ 是正方形.当 AE 从小于 BE 到大于 BE 的变化过程中,若正方形 ABCD 的周长始终保持不变,EF 长度先减小后增大(当 E 为 AB 的中点时最小),
∴ 正方形 EFGH 的面积先减小后增大,
∴ 四边形 MNPQ 的面积变化情况也是先减小后增大.故选 D.
6. (2026·太原月考)如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为线段AD,BD,CB和AC的中点,顺次连接EF,FG,GH和HE得到四边形EFGH.若AB⊥CD,AB=8,CD=12,则四边形EFGH的面积等于
24
.答案
6.24 解析
∵ 点 E,F 分别为线段 AD,BD 的中点,
∴ EF 是 $△ ABD$ 的中位线,
∴ $EF // AB, EF=\frac{1}{2}AB=4$. 同理可得 EH 是 $△ ACD$ 的中位线,
∴ $EH // CD, EH=\frac{1}{2}CD=6$.
∵ $AB ⊥ CD$,
∴ $EF ⊥ EH$.
∵ 点 G,H 分别为线段 CB 和 AC 的中点,
∴ HG 是 $△ ABC$ 的中位线,
∴ $HG // AB, HG=\frac{1}{2}AB=4$,
∴ EF=HG, $EF // HG$,
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.又
∵ $EF ⊥ EH$,
∴ 四边形 EFGH 是矩形,
∴ 四边形 EFGH 的面积等于 $EF · EH=4 × 6=24$.故答案为 24.
∵ 点 E,F 分别为线段 AD,BD 的中点,
∴ EF 是 $△ ABD$ 的中位线,
∴ $EF // AB, EF=\frac{1}{2}AB=4$. 同理可得 EH 是 $△ ACD$ 的中位线,
∴ $EH // CD, EH=\frac{1}{2}CD=6$.
∵ $AB ⊥ CD$,
∴ $EF ⊥ EH$.
∵ 点 G,H 分别为线段 CB 和 AC 的中点,
∴ HG 是 $△ ABC$ 的中位线,
∴ $HG // AB, HG=\frac{1}{2}AB=4$,
∴ EF=HG, $EF // HG$,
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.又
∵ $EF ⊥ EH$,
∴ 四边形 EFGH 是矩形,
∴ 四边形 EFGH 的面积等于 $EF · EH=4 × 6=24$.故答案为 24.
7. 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $AC=BD=8, E, F$, $G, H$ 分别是边 $AB, BC, CD, DA$ 的中点, 则 $EG^2+FH^2$ 的值为
64
.答案
7.64 解析 如图
,连接 HE,EF,FG,GH,设 EG 与 FH 交于点 O.∵ E,F 分别是边 AB,BC 的中点,
∴ $EF=\frac{1}{2}AC=4$,EF//AC, 同理可得 $HG=\frac{1}{2}AC=4$,HG//AC,$EH=\frac{1}{2}BD=4$,
∴ HG=EF,HG//EF,
∴ 四边形 HEFG 为平行四边形.
∵ EH=EF,
∴ 平行四边形 HEFG 是菱形,
∴ $HF ⊥ EG, HF=2OH, EG=2OE$,
∴ $OE^2+OH^2=EH^2=16$,
∴ $EG^2+FH^2=(2OE)^2+(2OH)^2=4(OE^2+OH^2)=64$.
8. (荆州中考改编)如图,菱形ABCD的边长为1,∠A=60°.顺次连接菱形ABCD各边中点,可得四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$;顺次连接四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$各边中点,可得四边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$;顺次连接四边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$各边中点,可得四边形$A_{3}B_{3}C_{3}D_{3}$;…;按此规律继续下去.四边形$A_{2n}B_{2n}C_{2n}D_{2n}$的周长是
$\frac{1}{2^{n-2}}$
,面积是$\frac{\sqrt{3}}{2^{2n+1}}$
.(用含n的代数式表示)答案
8.$\frac{1}{2^{n-2}}$ $\frac{\sqrt{3}}{2^{2n+1}}$ 根据中点四边形的性质可知,四边形 $A_1B_1C_1D_1$, $A_3B_3C_3D_3$ …… 都是矩形, 四边形 $ABCD$, $A_2B_2C_2D_2$,$A_4B_4C_4D_4$……都是菱形,
∵ 菱形 ABCD 的周长是 $1 × 4 = 4$,
∴ 菱形 $A_2B_2C_2D_2$ 的周长是 $4 × \frac{1}{2} = 2$, 菱形 $A_4B_4C_4D_4$ 的周长是 $4 × \frac{1}{2^2}$,…,则四边形 $A_{2n}B_{2n}C_{2n}D_{2n}$ 的周长是 $4 × \frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^{n-2}}$.连接 AC,BD,则 $AC ⊥ BD$.
∵ 菱形 ABCD 的边长为 1, $∠ DAB=60°$,
∴ $BD=1, AC=\sqrt{3}$,
∴ $S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2}AC · BD=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵ 顺次连接菱形 ABCD 各边中点, 可得四边形 $A_1B_1C_1D_1$,
∴ 四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 是矩形, 矩形 $A_1B_1C_1D_1$ 的面积 $=\frac{1}{2}AC · \frac{1}{2}BD=\frac{1}{4}AC · BD=\frac{1}{2}S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2^2}$,菱形 $A_2B_2C_2D_2$ 的面积 $=\frac{1}{2} ×$ 矩形 $A_1B_1C_1D_1$ 的面积 $=\frac{1}{4}S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2^3}$,…,则四边形 $A_{2n}B_{2n}C_{2n}D_{2n}$ 的面积是 $\frac{\sqrt{3}}{2^{2n+1}}$.
∵ 菱形 ABCD 的周长是 $1 × 4 = 4$,
∴ 菱形 $A_2B_2C_2D_2$ 的周长是 $4 × \frac{1}{2} = 2$, 菱形 $A_4B_4C_4D_4$ 的周长是 $4 × \frac{1}{2^2}$,…,则四边形 $A_{2n}B_{2n}C_{2n}D_{2n}$ 的周长是 $4 × \frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^{n-2}}$.连接 AC,BD,则 $AC ⊥ BD$.
∵ 菱形 ABCD 的边长为 1, $∠ DAB=60°$,
∴ $BD=1, AC=\sqrt{3}$,
∴ $S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2}AC · BD=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵ 顺次连接菱形 ABCD 各边中点, 可得四边形 $A_1B_1C_1D_1$,
∴ 四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 是矩形, 矩形 $A_1B_1C_1D_1$ 的面积 $=\frac{1}{2}AC · \frac{1}{2}BD=\frac{1}{4}AC · BD=\frac{1}{2}S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2^2}$,菱形 $A_2B_2C_2D_2$ 的面积 $=\frac{1}{2} ×$ 矩形 $A_1B_1C_1D_1$ 的面积 $=\frac{1}{4}S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2^3}$,…,则四边形 $A_{2n}B_{2n}C_{2n}D_{2n}$ 的面积是 $\frac{\sqrt{3}}{2^{2n+1}}$.
