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8. 若点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$是二次函数$y=ax^2(a＞0)$图象上两个不同的点,则$(|x_1|-|x_2|)(y_1-y_2)$为 (
A.正数
B.负数
C.非正数
D.非负数
D
)A.正数
B.负数
C.非正数
D.非负数
答案
8. D 解析:由题意得,抛物线开口向上,对称轴为$y$轴,$\therefore$ 离对称轴越远函数值越大,$\therefore$ 当$|x_1|≥|x_2|$时,$y_1≥ y_2$,当$|x_1|＜|x_2|$时,$y_1＜y_2$,$\therefore |x_1|-|x_2|$与$y_1-y_2$同号或都等于0,$\therefore (|x_1|-|x_2|)(y_1-y_2)≥0$,故选 D.
9. (广东中考)如图,抛物线$y=ax^2+c$经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为 (
A.-1
B.-2
C.-3
D.-4
B
)A.-1
B.-2
C.-3
D.-4
答案
9. B 解析:连接AC,交$y$轴于点$D$,当$x=0$时,$y=c$,即$OB=c$.
$\because$ 四边形$OABC$是正方形,$\therefore AC=OB=2AD=2OD=c$,$AC⊥ OB$,$\therefore$ 点$A(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$.$\because$ 抛物线经过点$A$,$\therefore \frac{c}{2}=a×\frac{c^2}{4}+c$,解得$ac=-2$.
$\because$ 四边形$OABC$是正方形,$\therefore AC=OB=2AD=2OD=c$,$AC⊥ OB$,$\therefore$ 点$A(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$.$\because$ 抛物线经过点$A$,$\therefore \frac{c}{2}=a×\frac{c^2}{4}+c$,解得$ac=-2$.
10. 新题型 新定义 在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点称为“黎点”，如点(1，-1)，(-5,5)，(-2 025,2 025)等。抛物线$y=x^2 -6$上的所有“黎点”的坐标是
(-3,3),(2,-2)
。答案
10. $(-3,3),(2,-2)$ 解析:由题意可知,“黎点”的坐标为$(m,-m)$,代入到$y=x^2-6$中,得$-m=m^2-6$,即$m^2+m-6=0$,解得$m_1=-3$,$m_2=2$,故抛物线$y=x^2-6$上的所有“黎点”的坐标是$(-3,3),(2,-2)$.
11. 如图,两条抛物线 $y_1 = -\frac{1}{2}x^2 + 1$, $y_2 = -\frac{1}{2}x^2 -1$ 与分别经过点$(-2,0),(2,0)$且平行于y轴的两条直线围成的阴影部分的面积为
8
。答案
11. 8 解析:如图,过抛物线$y_2=-\frac{1}{2}x^2-1$的顶点$(0,-1)$且平行于$x$轴的直线与抛物线$y_1=-\frac{1}{2}x^2+1$围成的图形的形状,和过点$(0,-3)$且平行于$x$轴的直线与抛物线$y_2=-\frac{1}{2}x^2-1$围成的图形的形状相同,故把过顶点$(0,-1)$且平行于$x$轴的直线与抛物线$y_1=-\frac{1}{2}x^2+1$围成的阴影部分向下平移2个单位长度即可拼成一个矩形.$\because$ 矩形的面积为$4×2=8$,$\therefore$ 阴影部分的面积为8.
12. 如图所示，直线$l$过$A(4,0)$和$B(0,4)$两点，它与二次函数$y=ax^2$的图象在第一象限内交于点$P$，若$△ AOP$的面积为$\frac{9}{2}$，求点$P$的坐标。
答案
12. 设直线$l$的函数表达式为$y=kx+b$,$\because$ 直线$l$过$A(4,0)$和$B(0,4)$两点,$\therefore \begin{cases}4k+b=0,\\b=4,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}k=-1,\\b=4,\end{cases}$ $\therefore y=-x+4$.$\because △ AOP$的面积为$\frac{9}{2}$,$\therefore \frac{1}{2}×4y_P=\frac{9}{2}$,$\therefore y_P=\frac{9}{4}$.由$\frac{9}{4}=-x_P+4$,解得$x_P=\frac{7}{4}$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$.
13. 如图,已知抛物线 $y=\frac{1}{4}x^2 + 1$ 与过定点 $F(0,2)$ 的直线 $l:y=kx+2$ 交于 $A,B$ 两点,点 $B$ 在点 $A$ 的右侧,过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线,垂足为 $C$.
(1)当点 $B$ 在抛物线上运动时,判断线段 $BF$ 与 $BC$ 的数量关系(“＞”“＜”或“=”),并证明你的判断;
(2)若 $P(0,m)$($m$ 为自然数)为 $y$ 轴上一点,以 $B,C,F,P$ 为顶点的四边形是菱形,求自然数 $m$ 的值.
备用图
(1)当点 $B$ 在抛物线上运动时,判断线段 $BF$ 与 $BC$ 的数量关系(“＞”“＜”或“=”),并证明你的判断;
(2)若 $P(0,m)$($m$ 为自然数)为 $y$ 轴上一点,以 $B,C,F,P$ 为顶点的四边形是菱形,求自然数 $m$ 的值.
备用图
答案
13. (1)$BF=BC$.证明如下:设 $B(x,\frac{1}{4}x^2+1)$,$\because F(0,2)$,
$\therefore BF^2=x^2+(\frac{1}{4}x^2+1-2)^2=x^2+(\frac{1}{4}x^2-1)^2=(\frac{1}{4}x^2+1)^2$,$\therefore BF=\frac{1}{4}x^2+1$.$\because BC⊥ x$轴,$\therefore BC=\frac{1}{4}x^2+1$,$\therefore BF=BC$.
(2)当点 $P$ 在点 $F$ 上方时,$\because$ 以 $B,C,F,P$ 为顶点的四边形是菱形,$\therefore CB=CF=PF$.而 $CB=FB$,$\therefore BC=CF=BF$,$\therefore △ BCF$为等边三角形,$\therefore ∠ BCF=60°$,$\therefore ∠ OCF=30°$.在$\mathrm{Rt}△ OCF$中,$CF=2OF=4$,$\therefore PF=CF=4$,$\therefore P(0,6)$,$m=6$.
当点 $P$ 在点 $F$ 下方时,$\because F(0,2)$,$m$ 为自然数,$\therefore m=0$或 $m=1$.当 $m=0$ 时,易得当 $k=0$ 时,四边形 $BCPF$ 为正方形,即四边形 $BCPF$ 为菱形;当 $m=1$ 时,$FP=BC=1$,若$B(n,\frac{1}{4}n^2+1)$,则$\frac{1}{4}n^2+1=1$,此时 $n=0$,不符合题意.综上,自然数 $m$ 的值为6或0.
$\therefore BF^2=x^2+(\frac{1}{4}x^2+1-2)^2=x^2+(\frac{1}{4}x^2-1)^2=(\frac{1}{4}x^2+1)^2$,$\therefore BF=\frac{1}{4}x^2+1$.$\because BC⊥ x$轴,$\therefore BC=\frac{1}{4}x^2+1$,$\therefore BF=BC$.
(2)当点 $P$ 在点 $F$ 上方时,$\because$ 以 $B,C,F,P$ 为顶点的四边形是菱形,$\therefore CB=CF=PF$.而 $CB=FB$,$\therefore BC=CF=BF$,$\therefore △ BCF$为等边三角形,$\therefore ∠ BCF=60°$,$\therefore ∠ OCF=30°$.在$\mathrm{Rt}△ OCF$中,$CF=2OF=4$,$\therefore PF=CF=4$,$\therefore P(0,6)$,$m=6$.
当点 $P$ 在点 $F$ 下方时,$\because F(0,2)$,$m$ 为自然数,$\therefore m=0$或 $m=1$.当 $m=0$ 时,易得当 $k=0$ 时,四边形 $BCPF$ 为正方形,即四边形 $BCPF$ 为菱形;当 $m=1$ 时,$FP=BC=1$,若$B(n,\frac{1}{4}n^2+1)$,则$\frac{1}{4}n^2+1=1$,此时 $n=0$,不符合题意.综上,自然数 $m$ 的值为6或0.
