8.若方程$4(x-1)-3(x+1)=-4$的解与关于$x$的方程$\frac{2x-1}{5}-\frac{x+a}{3}=2$的解相同，则$a$的值为。

8. -6

【分析】
本题是同解方程问题，解题思路分两步：首先先求解不含参数的一元一次方程$4(x-1)-3(x+1)=-4$，得到$x$的具体值；再将求出的$x$代入第二个含参数$a$的方程，此时方程转化为仅含$a$的一元一次方程，按解一元一次方程的步骤计算即可得到$a$的值。
【解析】
1. 先解方程$4(x-1)-3(x+1)=-4$：
去括号得：$4x - 4 - 3x - 3 = -4$
合并同类项得：$x - 7 = -4$
移项计算得：$x = 3$
2. 因为两个方程的解相同，将$x=3$代入$\frac{2x-1}{5}-\frac{x+a}{3}=2$：
代入得：$\frac{2×3 -1}{5} - \frac{3+a}{3} = 2$
化简得：$1 - \frac{3+a}{3} = 2$
两边同乘3去分母得：$3 - (3 + a) = 6$
去括号、合并同类项得：$-a = 6$
系数化为1得：$a = -6$
【答案】
$-6$
【知识点】
同解方程，解一元一次方程，去分母解方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查同解方程的性质，熟练掌握一元一次方程的求解步骤（去括号、移项、合并同类项、去分母、系数化为1）即可快速解题。
【难度系数】
0.7

若方程$\frac{3x-4}{2}-\frac{2x+1}{3}=6$的解与关于$x$的方程$4x-(3a+1)=6x+2a-1$的解互为相反数，则$a$的值为。

【变式】-4

【分析】
解题思路可分为三步：首先求解第一个带分母的一元一次方程，得到它的解；再根据两个方程的解互为相反数，求出第二个方程的解；最后将第二个方程的解代入，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
1. 解方程$\frac{3x-4}{2}-\frac{2x+1}{3}=6$：
去分母，两边同乘6得：$3(3x-4)-2(2x+1)=36$
去括号得：$9x-12-4x-2=36$
合并同类项得：$5x-14=36$
移项、系数化为1得：$x=10$
2. 因为两方程的解互为相反数，所以第二个方程的解为$x=-10$
3. 将$x=-10$代入$4x-(3a+1)=6x+2a-1$得：
$4×(-10)-(3a+1)=6×(-10)+2a-1$
化简得：$-40-3a-1=-60+2a-1$
移项得：$-3a-2a=-61+41$
合并同类项得：$-5a=-20$
系数化为1得：$a=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 相反数的性质
【点评】
本题是一元一次方程的综合基础题，解题核心是先求解不含参数的方程，再利用解的关系代入含参方程计算参数，需要注意去分母、去括号时的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.7

9.(新定义)设$a,b,c,d$为有理数,现规定一种新的运算:$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$,则满足等式$\begin{vmatrix}\frac{x}{2}&\frac{x+1}{3}\\2&1\end{vmatrix}=1$的$x$的值为 ______ .

9. -10

【分析】
首先要准确理解题目给出的新运算规则：二阶行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$的运算结果为对角线上$a$与$d$的乘积减去$b$与$c$的乘积。解题第一步先将题目中的行列式按照该规则转化为常规的一元一次方程，再按照解一元一次方程的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）逐步计算即可求出$x$的值。
【解析】
根据新运算的定义，可得等式：
$\frac{x}{2} × 1 - 2 × \frac{x+1}{3} = 1$
整理得：$\frac{x}{2} - \frac{2(x+1)}{3} = 1$
去分母，两边同时乘以分母的最小公倍数6，得：
$3x - 4(x+1) = 6$
去括号，注意符号变化：
$3x - 4x - 4 = 6$
移项，将含未知数的项留在左边，常数项移到右边：
$3x - 4x = 6 + 4$
合并同类项：
$-x = 10$
系数化为1：
$x = -10$
【答案】
$-10$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题结合新定义运算考查一元一次方程的解法，解题核心是正确理解新运算规则，将行列式转化为常规方程，求解过程中要注意去分母时不要漏乘常数项，去括号时留意符号变化，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7

10.解方程：
$\frac{x-1}{3} - \frac{x+2}{6} = \frac{4 - x}{2}$

10. 解:去分母,得2(x-1)-(x+2)=3(4-x)去括号,得2x-2-x-2=12-3x移项,得2x-x+3x=2+2+12合并同类项,得4x=16系数化为1,得x=4.

【分析】
这是一道含分母的一元一次方程求解问题，解题遵循解一元一次方程的常规步骤：首先找所有分母3、6、2的最小公倍数为6，给方程左右两边每一项都乘6消去分母，注意不要漏乘不含分母的项；其次去括号，要注意括号前是负号时，括号内各项都要变号；接下来移项，将含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，移项要记得变号；之后合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可得到方程的解。
【解析】
解:去分母,得 $2(x-1)-(x+2)=3(4-x)$
去括号,得 $2x-2-x-2=12-3x$
移项,得 $2x-x+3x=2+2+12$
合并同类项,得 $4x=16$
系数化为1,得 $x=4$
【答案】
$x=4$
【知识点】
一元一次方程的解法，去分母运算，去括号法则
【点评】
本题是含分母的一元一次方程求解的基础题型，重点考查解一元一次方程的步骤规范性，易错点为去分母时漏乘整数项、去括号和移项时符号出错，解题时要注意核对每一步的运算符号，减少粗心失误。
【难度系数】
0.8

11.(注重过程学习)小明解方程$\frac{2x - 1}{5} + 1 = \frac{x + a}{2}$时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得方程的解为$x = 4$，请求出$a$的值和原方程的解.

11. 解:由题意可知x=4是方程2(2x-1)+1=5(x+a)的解,把x=4代入得a=-1.将a=-1代入原方程得$\frac{2x-1}{5}+1=\frac{x-1}{2}$,解得x=13.

【分析】
解题首先要明确小明的错误操作对应的方程：原方程去分母时需两边同乘分母的最小公倍数10，小明漏乘了左边的常数项1，因此他实际求解的方程是$2(2x-1)+1=5(x+a)$。已知$x=4$是这个错误方程的解，可先将$x=4$代入错误方程求出$a$的值，再把$a$代回原方程，按正确的去分母步骤求解原方程的正确解即可。
【解析】
第一步：求$a$的值
由题意得，小明去分母后得到的错误方程为：
$2(2x-1)+1=5(x+a)$
因为$x=4$是该错误方程的解，将$x=4$代入上式：
$2×(2×4 -1)+1 =5×(4+a)$
计算得左边为$15$，右边为$20+5a$，因此：
$15=20+5a$
移项计算得$5a=-5$，解得$a=-1$。
第二步：求原方程的解
将$a=-1$代入原方程，得：
$\frac{2x-1}{5}+1=\frac{x-1}{2}$
两边同乘10去分母：
$2(2x-1)+10=5(x-1)$
去括号、合并同类项得：
$4x+8=5x-5$
移项计算得：
$x=13$
【答案】
$a=-1$，原方程的解为$x=13$
【知识点】
一元一次方程的解；去分母解一元一次方程
【点评】
本题重点考查去分母的运算规则和错解求参数的思路，需要注意去分母时方程的每一项都要乘最简公分母，避免漏乘常数项的常见错误。
【难度系数】
0.7

例 解方程：$\frac{x+1}{0.3} - 2x = \frac{0.1x + 0.2}{0.05}$

例:解:原方程可化为$\frac{10x+10}{3}-2x=2x+4$,去分母,得(10x+10)-6x=3(2x+4),去括号,得10x+10-6x=6x+12,移项,得10x-6x-6x=12-10,合并同类项,得-2x=2,系数化为1,得x=-1.

【分析】
这是一道分母含小数的一元一次方程求解问题，解题思路如下：①先利用分数的基本性质，将方程中分母为小数的分数的分子、分母同时乘合适的数，把分母转化为整数，注意此步骤仅调整对应分数的分子分母，其余项保持不变；②转化为分母是整数的一元一次方程后，再按常规解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1逐步求解，最后可代入原方程检验结果是否正确。
【解析】
解：首先利用分数的基本性质化去小数分母：
左边$\frac{x+1}{0.3}$的分子、分母同乘10，得$\frac{10x+10}{3}$；右边$\frac{0.1x+0.2}{0.05}$的分子、分母同乘20，得$2x+4$，原方程可化为：
$\frac{10x+10}{3}-2x=2x+4$
去分母，两边同时乘3，得：
$10x+10-6x=3(2x+4)$
去括号，得：
$10x+10-6x=6x+12$
移项，将含$x$的项移到方程左边，常数项移到方程右边，得：
$10x-6x-6x=12-10$
合并同类项，得：
$-2x=2$
系数化为1，两边同时除以$-2$，得：
$x=-1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
分数的基本性质，解一元一次方程，去括号法则
【点评】
本题是分母含小数的一元一次方程的典型考题，解题的关键是先正确将小数分母转化为整数，要注意区分“化小数分母为整数”和“去分母”的运算差异，避免混淆两者的乘除对象导致运算错误，熟练掌握一元一次方程的常规求解步骤是解题的基础。
【难度系数】
0.7

变式 解下列方程：
(1)$\frac{2x - 3}{0.5} = \frac{2x}{3} - 1$；
(2)$\frac{0.1 - 0.2x}{0.3} - 1 = \frac{0.7 - x}{0.4}$。

变式:(1)解:原方程可以化为$4x-6=\frac{2}{3}x-1$,去分母得12x-18=2x-3,移项,合并同类项得10x=15,系数化为得$x=\frac{3}{2}$.
(2)解:整理方程,得$\frac{1-2x}{3}-1=\frac{7-10x}{4}$.去分母,得4(1-2x)-12=3(7-10x).去括号,得4-8x-12=21-30x.移项、合并同类项,得22x=29.系数化为1,得$x=\frac{29}{22}$.

【分析】
这两道是分母含小数的一元一次方程求解问题，解题思路为：首先利用分数的基本性质，将分母中的小数转化为整数，该过程仅对分数本身变形，不影响方程其他项；之后按照解一元一次方程的常规步骤：去分母（方程两边同乘所有分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项）、去括号、移项（移项要变号）、合并同类项、系数化为1，逐步求出x的值。
【解析】
(1) 化简原方程：左边$\frac{2x-3}{0.5}$的分子、分母同乘2，可得$4x-6$，原方程化为：
$4x-6=\frac{2}{3}x-1$
去分母，方程两边同乘3，得：
$12x-18=2x-3$
移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧，得：
$12x-2x=18-3$
合并同类项，得：
$10x=15$
系数化为1，两边同时除以10，得：
$x=\frac{3}{2}$
(2) 整理原方程：左边$\frac{0.1-0.2x}{0.3}$分子、分母同乘10得$\frac{1-2x}{3}$，右边$\frac{0.7-x}{0.4}$分子、分母同乘10得$\frac{7-10x}{4}$，原方程化为：
$\frac{1-2x}{3}-1=\frac{7-10x}{4}$
去分母，方程两边同乘3和4的最小公倍数12，得：
$4(1-2x)-12=3(7-10x)$
去括号，得：
$4-8x-12=21-30x$
移项，得：
$-8x+30x=21-4+12$
合并同类项，得：
$22x=29$
系数化为1，两边同时除以22，得：
$x=\frac{29}{22}$
【答案】
(1) $x=\frac{3}{2}$；(2) $x=\frac{29}{22}$
【知识点】
分数的基本性质，解一元一次方程，去分母法则
【点评】
本题重点考查分母含小数的一元一次方程的解法，核心是先将小数分母转化为整数分母，再按常规解方程步骤运算，解题时要注意去分母时不要漏乘常数项，去括号、移项时注意符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7