1. 如图,在四边形ABCD中,E,F分别是两组对边延长线的交点,EG,FG分别平分∠BEC,∠DFC,若∠ADC=60°,∠ABC=80°.求∠EGF的大小.

1. 连结EF,设∠C=x,则∠DFC=180°-∠ADC-∠C=120°-x,∠CEB=180°-∠ABC-∠C=100°-x.
∵ EG, FG 分别平分∠BEC,∠DFC,
∴ ∠CFG = 1/2 ∠DFC = 60° - 1/2 x, ∠CEG = 1/2 ∠CEB = 50° - 1/2 x,
∴ ∠EGF = 180° - ∠GFE - ∠GEF = 180°-(∠CFE-∠CFG)-(∠CEF-∠CEG)=(180°-∠CFE-∠CEF)+∠CFG+∠CEG=x+60°-1/2 x+50°-1/2 x=110°.

2. ★★★ 如图,在$△ ABC$中,BO平分$∠ ABC$,过点O作$PO ⊥ BO$交线段AC的延长线于点P,若$∠ ACB - ∠ A=20°$,求$∠ APO$的度数.

2. 记OP与BC的交点为D,设∠A=x,则∠ACB=x+20°.在△ABC中,∠ABC=180°-∠A-∠ACB=160°-2x.
∵ BO 平分∠ABC,
∴ ∠OBC=1/2 ∠ABC=80°-x.
∵ PO ⊥ BO,
∴ ∠BDO=90°-∠OBC=10°+x,
∴ ∠CDP=∠BDO=10°+x,
∴ ∠APO=∠ACB-∠CDP=x+20°-(x+10°)=10°.

3. 如图,在$△ ABC$中,$BO$平分$∠ ABC$,$BO$,$CO$相交于点$O$,若$CO$在$△ ABC$的外角$∠ ACM$内,且$∠ ACO:∠ OCM=1:3$,$∠ BOC=\dfrac{4}{5}∠ A$,试探究:$∠ A$与$∠ ABC$的数量关系.

3.
∵ ∠ACO : ∠OCM = 1 : 3, 设∠ACO = α, ∠OCM = 3α,
∴ ∠ACM=∠ACO+∠OCM=4α.
∵ BO 平分∠ABC,
∴ 设∠ABO=∠CBO=β,则∠ABC=2β.
∵ ∠OCM 是△OBC 的外角,
∴ ∠OCM=∠BOC+∠CBO,即 3α = 4/5 ∠A+β.
∵ ∠ACM 是△ABC 的外角,
∴ ∠ACM=∠A+∠ABC,即 4α = ∠A+2β,
∴ α = 1/4 ∠A + 1/2 β,
∴ 3(1/4 ∠A+1/2 β )= 4/5 ∠A+β,整理得 ∠A = 10β,
∴ ∠A = 5×2β=5∠ABC.