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11. (11分)三角形的两边长分别是8和6,第三边的长是一元二次方程$x^2 -16x +60=0$的一个实数根,求此三角形的面积.
答案
解 $x^2-16x+60=0$,得 $x_1=6,x_2=10$. 当 $x=6$ 时,如图①. 过点 $A$ 作 $AD ⊥ BC$ 于点 $D$. $\because AB=AC=6$, $BC=8$, $\therefore BD = 4$. $\therefore AD = \sqrt{AB^2-BD^2} = 2\sqrt{5}$. $\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · AD = 8\sqrt{5}$. 当 $x=10$ 时,如图②. $\because AC = 6, BC = 8, AB = 10, \therefore AC^2 + BC^2 = AB^2$. $\therefore △ ABC$ 是直角三角形, $∠ C = 90°$. $\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AC=24$. $\therefore$ 此三角形的面积是 $24$ 或 $8\sqrt{5}$
12. (16分)二次三项式$x^2-2x+9$的配方过程如下:$x^2-2x+9=x^2-2x+1-1+9=(x-1)^2+8$.
(1) 比照上面的例子,将下面的两个二次三项式分别配方:
① $x^2-4x+1=$
② $3x^2+6x-9=3(x^2+2x)-9=$
(2) 已知$x^2+y^2-6x+10y+34=0$,求$3x-2y$的值.
(3) 已知$a^2+b^2+c^2+ab-3b+2c+4=0$,求$a+b+c$的值.
(1) 比照上面的例子,将下面的两个二次三项式分别配方:
① $x^2-4x+1=$
$(x-2)^2-3$
;② $3x^2+6x-9=3(x^2+2x)-9=$
$3(x+1)^2-12$
.(2) 已知$x^2+y^2-6x+10y+34=0$,求$3x-2y$的值.
(3) 已知$a^2+b^2+c^2+ab-3b+2c+4=0$,求$a+b+c$的值.
答案
(1) ① $(x-2)^2-3$ ② $3(x+1)^2-12$
(2) $\because x^2+y^2-6x+10y+34=0,\therefore x^2-6x+9+y^2+10y+25=0.\therefore (x-3)^2+(y+5)^2=0.\therefore$ 易得 $x=3,y=-5$. $\therefore 3x-2y=3×3-2×(-5)=19$
(3) $\because a^2+b^2+c^2+ab-3b+2c+4=0,\therefore a^2+ab+\frac{1}{4}b^2+\frac{3}{4}b^2-3b+3+c^2+2c+1=0.\therefore (a+\frac{1}{2}b)^2+\frac{3}{4}(b-2)^2+(c+1)^2=0.\therefore$ 易得 $a=-\frac{1}{2}b,b=2,c=-1.\therefore a=-1.\therefore a+b+c=-1+2+(-1)=0$
(2) $\because x^2+y^2-6x+10y+34=0,\therefore x^2-6x+9+y^2+10y+25=0.\therefore (x-3)^2+(y+5)^2=0.\therefore$ 易得 $x=3,y=-5$. $\therefore 3x-2y=3×3-2×(-5)=19$
(3) $\because a^2+b^2+c^2+ab-3b+2c+4=0,\therefore a^2+ab+\frac{1}{4}b^2+\frac{3}{4}b^2-3b+3+c^2+2c+1=0.\therefore (a+\frac{1}{2}b)^2+\frac{3}{4}(b-2)^2+(c+1)^2=0.\therefore$ 易得 $a=-\frac{1}{2}b,b=2,c=-1.\therefore a=-1.\therefore a+b+c=-1+2+(-1)=0$
