11. 如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，且$∠ ADC=120°$，点E是$\overset{\frown}{AD}$上任意一点，连接BE，CE，则$∠ BEC$的度数为 （）

A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$60°$

11.B

【分析】
解题思路：首先利用圆内接四边形对角互补的性质，由已知∠ADC的度数求出∠ABC的度数；再结合AB是直径，直径所对的圆周角为直角，求出∠BAC的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，得到∠BEC与∠BAC相等，即可求出∠BEC的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD内接于以AB为直径的圆，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°，
已知∠ADC=120°，代入得：∠ABC=180°-120°=60°。
又
∵ AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∠BAC = 180° - ∠ACB - ∠ABC = 180°-90°-60°=30°。
∵ ∠BEC和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠BEC = ∠BAC = 30°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质、圆周角定理、直径所对圆周角的特征
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的核心是熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，通过角的转化求出所求角度，是圆相关知识点考查的典型基础题。
【难度系数】
0.7

12.(陕西中考)如图，点A,B,C,D在⊙O上，若∠1+∠2=100°,则∠B的度数为.

12.80°

【分析】
解题时首先观察图形，∠1、∠2和∠ADC是△ACD的三个内角，结合三角形内角和为180°，可以先求出∠ADC的度数；再根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可知∠B和∠ADC是同弧所对的圆周角，二者度数相等，即可求出∠B的度数。
【解析】
在△ACD中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ 1+∠ 2+∠ ADC=180°$
已知$∠ 1+∠ 2=100°$，代入得：
$∠ ADC=180°-100°=80°$
因为$∠ ADC$和$∠ B$都是弧$AC$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，因此：
$∠ B=∠ ADC=80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆周角定理与三角形内角和的综合应用，解题的关键是找到同弧对应的相等圆周角，结合三角形内角和公式完成角度计算。
【难度系数】
0.7

13. 如图，A,B,C,D四点均在$\odot O$上，若$∠ AOB=30°,OA// BC$,则$∠ D$的度数为。

第13题图 第14题图

13.75°

【分析】
解题时首先从已知条件OA//BC入手，利用平行线的内错角相等求出∠OBC的度数；再结合圆的半径相等，得到△OBC为等腰三角形，利用等腰三角形等角对等边的性质求出底角，进而算出∠BOC的度数；再求出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数，最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
1.
∵ OA//BC，∠AOB=30°，根据两直线平行，内错角相等，
∴ ∠OBC=∠AOB=30°。
2.
∵ OB、OC均为⊙O的半径，
∴ OB=OC，△OBC为等腰三角形，
∴ ∠OCB=∠OBC=30°。
3. 在△OBC中，由三角形内角和为180°得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-30°-30°=120°。
4.
∴ ∠AOC=∠AOB+∠BOC=30°+120°=150°。
5.
∵ ∠D是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠D=1/2∠AOC=1/2×150°=75°。
【答案】
75°
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形、平行线知识结合的基础题型，解题的核心是找准同弧对应的圆心角和圆周角的关系，计算时注意角度和的运算，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7

14.如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，$∠ ADC=150°$，弦$AC=2$，则$\odot O$的半径等于.

14.2

【分析】
解题时先利用圆内接四边形的性质求出对应圆周角的度数，再通过连接圆心与弦端点构造圆心角，结合圆周角定理得到圆心角的度数，最后根据特殊三角形的性质求出半径。具体思路：①根据圆内接四边形对角互补，计算∠ABC的度数；②连接OA、OC，利用同弧所对圆心角是圆周角的2倍，得到∠AOC的度数；③结合OA=OC判断△AOC的形状，进而得到半径长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补）
∵∠ADC=150°
∴∠ABC=180°-150°=30°
连接OA、OC
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
∠AOC=2∠ABC=2×30°=60°
又
∵OA、OC都是⊙O的半径
∴OA=OC
∴△AOC是顶角为60°的等腰三角形，即等边三角形
∴OA=OC=AC
∵AC=2
∴⊙O的半径为2
【答案】
2
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；等边三角形的判定
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是作辅助线构造出和已知弦等长的半径所在的等边三角形，属于常见的基础题型，需要熟练掌握相关性质灵活应用。
【难度系数】
0.7

15. 如图，$\odot O$的内接四边形$ABCD$两组对边的延长线分别交于点$E,F$.
(1)当$∠ B=50°,∠ E=35°$时,求$∠ F$的度数;
(2)若$∠ E=α,∠ F=β$,且$α≠β$.请用含有$α,β$的代数式表示$∠ B$的大小.

15.解:(1)
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠B+∠ADC=180°.
∴∠ADC=180°-∠B=130°.
∵∠DCF=∠B+∠E=85°,
∴∠F=∠ADC-∠DCF=130°-85°=45°.
(2)
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠BAD+∠BCD=180°.又
∵∠BAD+∠EAD=180°,∠BCD+∠DCF=180°,
∴∠DCF=∠BAD,∠EAD=∠BCD.
∴∠DCF+∠EAD=180°.
∵∠DCF=∠B+∠E,∠EAD=∠B+∠F,
∴∠B+∠E+∠B+∠F=180°.
∴2∠B+α+β=180°.
∴∠B=$\frac{180°-α-β}{2}$.

【分析】
(1) 求解∠F时，首先利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠ADC的度数，再根据三角形外角的性质求出∠DCF的度数，最后结合∠ADC是△DCF的外角，即可计算出∠F的度数。
(2) 用含α、β的式子表示∠B时，先利用圆内接四边形对角互补、邻补角的性质得到∠DCF与∠EAD的和为180°，再通过三角形外角的性质将∠DCF、∠EAD转化为含∠B、α、β的式子，代入等量关系整理即可得到∠B的表达式。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ B+∠ ADC=180°$，
∴$∠ ADC=180°-∠ B=180°-50°=130°$。
∵$∠ DCF$是$△ ABE$的外角，
∴$∠ DCF=∠ B+∠ E=50°+35°=85°$，
又
∵$∠ ADC$是$△ DCF$的外角，即$∠ ADC=∠ DCF+∠ F$，
∴$∠ F=∠ ADC-∠ DCF=130°-85°=45°$。
(2)
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ BAD+∠ BCD=180°$，
∵$∠ BAD+∠ EAD=180°$，$∠ BCD+∠ DCF=180°$，
∴$∠ DCF=∠ BAD$，$∠ EAD=∠ BCD$，
∴$∠ DCF+∠ EAD=∠ BAD+∠ BCD=180°$。
∵$∠ DCF=∠ B+∠ E=∠ B+α$，$∠ EAD=∠ B+∠ F=∠ B+β$，
代入得：$∠ B+α+∠ B+β=180°$，
整理得$2∠ B=180°-α-β$，
∴$∠ B=\frac{180°-α-β}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ F=45°}$；
(2) $\boldsymbol{∠ B=\dfrac{180°-α-β}{2}}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；三角形外角的性质；邻补角的性质
【点评】
本题是圆与三角形角度计算的综合基础题，核心是利用圆内接四边形对角互补的性质建立角度等量关系，结合三角形外角的性质完成角度转化，解题时要注意找准角度之间的代换关系。
【难度系数】
0.7

16. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，DB平分∠ADC，∠ABD=∠CAD.
(1)求∠BAD的度数；
(2)过点C作CF//AB交AD的延长线于点F，若AC=AB，DF=3，求圆的半径.

16.解:(1)
∵∠ABD=∠CAD,∠CBD=∠CAD,
∴∠ABD=∠CBD.
∵DB平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
∵四边形ABCD为圆内接四边形,
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°.
∴2∠ABD+2∠ADB=180°.
∴∠ABD+∠ADB=90°.
∴∠BAD=180°-90°=90°.
(2)由(1)知,∠BAD=90°,
∴∠CAD+∠BAE=90°,BD为圆的直径.
∵∠ABD=∠CAD,
∴∠ABD+∠BAE=90°.
∴∠AEB=90°.
∵BD为圆的直径,
∴BD垂直平分AC.
∴AB=BC.
∵AC=AB,
∴AB=AC=BC.
∴△ABC为等边三角形.
∴∠ABC=60°.
∴∠ABD=∠CBD=30°.
∵四边形ABCD为圆内接四边形,
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠CDF+∠ADC=180°,
∴∠CDF=∠ABC=60°.
∵CF//AB,
∴∠BAD+∠AFC=180°.
∵∠BAD=90°,
∴∠AFC=90°.
∴∠FCD=30°.
∴CD=2DF.
∵DF=3,
∴CD=6.
∵BD为直径,
∴∠BCD=90°.
∵∠CBD=30°,
∴BD=2CD=12,即圆的直径为12.
∴圆的半径为6.

【分析】
(1) 求∠BAD的度数时，先利用同弧所对圆周角相等，结合已知∠ABD=∠CAD推出BD平分∠ABC，再结合DB平分∠ADC的条件，利用圆内接四边形对角互补的性质，将∠ABC+∠ADC=180°转化为2(∠ABD+∠ADB)=180°，得到∠ABD+∠ADB=90°，最后根据三角形内角和即可求出∠BAD的度数。
(2) 求圆的半径时，首先由(1)中∠BAD=90°可推出BD是圆的直径，再结合角度关系推出BD垂直平分AC，结合AC=AB可证得△ABC是等边三角形，得到∠CBD=30°；再利用平行线的性质、圆内接四边形的性质推出∠AFC=90°、∠CDF=60°，得到∠FCD=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出CD的长度，最后在Rt△BCD中再次利用30°角的性质求出直径BD，即可得到半径。
【解析】
(1)
∵∠ABD=∠CAD，∠CBD和∠CAD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠CBD=∠CAD，
∴∠ABD=∠CBD。
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB。
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
即∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°，
代入相等的角可得$2∠ABD+2∠ADB=180°$，
∴$∠ABD+∠ADB=90°$，
在△ABD中，$∠BAD=180°-(∠ABD+∠ADB)=180°-90°=90°$。
(2) 由(1)知$∠BAD=90°$，
∴$∠CAD+∠BAE=90°$，且90°的圆周角所对的弦是直径，故BD为圆的直径。
∵∠ABD=∠CAD，
∴$∠ABD+∠BAE=90°$，
∴$∠AEB=90°$，即$AC⊥BD$。
∵BD为圆的直径且$BD⊥AC$，
∴BD垂直平分AC，
∴$AB=BC$。
又
∵$AC=AB$，
∴$AB=AC=BC$，即△ABC为等边三角形，
∴$∠ABC=60°$，
∴$∠ABD=∠CBD=30°$。
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴$∠ABC+∠ADC=180°$，
又
∵$∠CDF+∠ADC=180°$，
∴$∠CDF=∠ABC=60°$。
∵$CF// AB$，
∴$∠BAD+∠AFC=180°$，
∵$∠BAD=90°$，
∴$∠AFC=90°$，
在Rt△CDF中，$∠FCD=180°-90°-60°=30°$，
∴$CD=2DF$，
∵$DF=3$，
∴$CD=6$。
∵BD为直径，
∴$∠BCD=90°$，
在Rt△BCD中，$∠CBD=30°$，
∴$BD=2CD=12$，即圆的直径为12，
∴圆的半径为$12÷2=6$。
【答案】
(1) $\boxed{90°}$
(2) $\boxed{6}$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了圆的基础性质和特殊三角形的相关知识，解题的核心是通过角度推导得到直角和特殊角，再结合直角三角形的性质计算线段长度，对角度转化的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6