9. 学科特色 一线三垂直模型「2026广东广州期末，★☆」如图，将等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$放置于平面直角坐标系中，直角顶点$A$位于$x$轴上的点$(1,0)$处，点$B$的坐标为$(-3,1)$，则点$C$的坐标是（）

A.$(1,4)$
B.$(2,3)$
C.$(2,4)$
D.$(3,4)$

9.C 如图,过点 $B$ 作 $BE ⊥ x$ 轴于点 $E$,
过点 $C$ 作 $CF ⊥ x$ 轴于点 $F$,$\therefore ∠ AEB= ∠ CFA=90^{ \circ }$,
$\therefore ∠ ABE+ ∠ BAE=90^{ \circ }$,
$\because ∠ BAC=90^{ \circ }$,$\therefore ∠ BAE+ ∠ CAF=90^{ \circ }$,$\therefore ∠ ABE= ∠ CAF$,
又$\because AB=AC$,$\therefore △ ABE≌ △ CAF( \mathrm{AAS} )$,
$\therefore CF=AE$,$AF=BE$,
$\because A(1,0)$,$B(-3,1)$,$\therefore AE=4$,$BE=1$,
$\therefore CF=4$,$AF=1$,$\therefore OF=2$,$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为$(2,4).$

10.「2026重庆渝北期末，★☆」如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=BC$，$D$是线段$BC$上一点，连接$AD$，过点$A$作$AE ⊥ AD$，且$AE=AD$，连接$EC$交$AB$于点$F$，若$BD=3.6$，$BF=3$，则$AB$的长为（）

A.10.2
B.9.6
C.9
D.6.6

10.B 如图,过点 $E$ 作 $EG ⊥ AB$ 于点 $G$,
则$∠ AGE= ∠ EGB=90^{ \circ }$,$\therefore ∠ EAG+ ∠ AEG=90^{ \circ }$,
$\because AE ⊥ AD$,$\therefore ∠ EAD=90^{ \circ }$,$\therefore ∠ EAG+ ∠ DAB=90^{ \circ }$,
$\therefore ∠ AEG= ∠ DAB$,又$\because AE=AD$,$∠ AGE= ∠ DBA=90^{ \circ }$,
$\therefore △ AEG≌ △ DAB( \mathrm{AAS} )$,$\therefore EG=AB$,$AG=BD=3.6$,
$\because AB=BC$,$\therefore EG=BC$,
又$\because ∠ EFG= ∠ CFB$,$∠ EGF= ∠ CBF=90^{ \circ }$,
$\therefore △ EFG≌ △ CFB( \mathrm{AAS} )$,$\therefore GF=BF=3$,
$\therefore AB=AG+GF+BF=3.6+3+3=9.6$.故选 B.

11.「2026山东烟台期末，★☆」如图，BD是$△ ABC$的角平分线，$AE ⊥ BD$，垂足为$F$，交边$BC$于点$E$，连接$DE$。若$∠ ABC=40°$，$∠ C=50°$，则$∠ CDE$的度数为。

11.答案 $40^{ \circ }$
解析 $\because ∠ ABC=40^{ \circ }$,$∠ C=50^{ \circ }$,$\therefore ∠ BAC=90^{ \circ }$.
$\because BD$ 是$△ ABC$ 的角平分线,$\therefore ∠ ABF= ∠ EBF$.
$\because AE ⊥ BD$,$\therefore ∠ BFA= ∠ BFE=90^{ \circ }$,又$\because BF=BF$,
$\therefore △ BFA≌ △ BFE( \mathrm{ASA} )$,$\therefore BA=BE$,
在$△ BDA$ 和$△ BDE$ 中,$\begin{cases} BA=BE, \\ ∠ ABD= ∠ EBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
$\therefore △ BDA≌ △ BDE( \mathrm{SAS} )$,$\therefore ∠ BED= ∠ BAD=90^{ \circ }$,
$\therefore ∠ CED=90^{ \circ }$,$\therefore ∠ CDE=90^{ \circ }- ∠ C=40^{ \circ }$.故答案为 $40^{ \circ }$.

12.「2026 四川绵阳期末，★★」如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ ABC$的平分线和与$∠ BAC$共顶点的外角$∠ MAC$的平分线相交于点$P$,分别交$AC$和$BC$的延长线于$E$,$D$.过$P$作$PF ⊥ AD$交$AC$的延长线于点$H$,交$BC$的延长线于点$F$,连接$AF$并延长交$DH$于点$G$.则下列结论:①$∠ APB=45°$;②$AB=FB$;③$BD=AB+AH$.其中正确的是________(填序号).

12.答案 ①②③
解析 $\because BP$ 和 $AP$ 分别是$∠ ABC$ 和$∠ MAC$ 的平分线,
$\therefore ∠ ABP=\dfrac{1}{2} ∠ ABC$,$∠ MAP=\dfrac{1}{2} ∠ MAC=\dfrac{1}{2}( ∠ ABC+ ∠ ACB)= ∠ ABP+ ∠ APB$,$\therefore ∠ APB=\dfrac{1}{2} ∠ ACB=45^{ \circ }$,故①结论正确;$\because PF ⊥ AD$,$\therefore ∠ FPA=90^{ \circ }$,$\therefore ∠ FPB=45^{ \circ }= ∠ APB$,
$\because BP$ 是$∠ ABC$ 的平分线,$\therefore ∠ ABP= ∠ FBP$,
在$△ ABP$ 和$△ FBP$ 中,$\begin{cases} ∠ ABP= ∠ FBP, \\ BP=BP, \\ ∠ APB= ∠ FPB, \end{cases}$
$\therefore △ ABP≌ △ FBP( \mathrm{ASA} )$,$\therefore AB=FB$,$AP=FP$,故②结论正确;
$\because ∠ ACB=90^{ \circ }$,$\therefore ∠ FDP+ ∠ HAP=90^{ \circ }$,
$\because PF ⊥ AD$,$\therefore ∠ APH= ∠ FPD=90^{ \circ }$,
$\therefore ∠ AHP+ ∠ HAP=90^{ \circ }$,$\therefore ∠ AHP= ∠ FDP$,
在$△ AHP$ 与$△ FDP$ 中,$\begin{cases} ∠ AHP= ∠ FDP, \\ ∠ APH= ∠ FPD, \\ AP=FP, \end{cases}$
$\therefore △ AHP≌ △ FDP( \mathrm{AAS} )$,$\therefore DF=AH$,
$\because BD=BF+DF$,$\therefore BD=AB+AH$,故③结论正确.
综上所述,结论正确的是①②③.

13.「2026湖北恩施州期末，★☆」如图,在$△ ABC$中,AD是BC边上的高,$∠ CAD$的平分线AE与$∠ ACB$的平分线交于点F,与BC交于点E,BF交AD于点G,且$BF ⊥ AE$.
(1)求$∠ AFC$的度数.
(2)求证:$BE=AG$.

13.解析 (1)$\because AD$ 是 $BC$ 边上的高,$\therefore ∠ ADC=90^{ \circ }$,
$\therefore ∠ DAC+ ∠ DCA=90^{ \circ }$,
$\because ∠ CAD$ 的平分线 $AE$ 与$∠ ACB$ 的平分线交于点 $F$,
$\therefore ∠ FAC=\dfrac{1}{2} ∠ DAC$,$∠ FCA=\dfrac{1}{2} ∠ DCA$,
$\therefore ∠ FAC+ ∠ FCA=\dfrac{1}{2}( ∠ DAC+ ∠ DCA)=45^{ \circ }$,
$\therefore ∠ AFC=180^{ \circ }-( ∠ FAC+ ∠ FCA)=180^{ \circ }-45^{ \circ }=135^{ \circ }$.
(2)证明:$\because BF ⊥ AE$,$\therefore ∠ AFB=90^{ \circ }$,$\because ∠ AFC=135^{ \circ }$,$\therefore ∠ BFC=360^{ \circ }- ∠ AFC- ∠ AFB=135^{ \circ }$,
在$△ ACF$ 和$△ BCF$ 中,$\begin{cases} ∠ ACF= ∠ BCF, \\ CF=CF, \\ ∠ AFC= ∠ BFC=135^{ \circ }, \end{cases}$
$\therefore △ ACF≌ △ BCF( \mathrm{ASA} )$,$\therefore AF=BF$,
$\because ∠ GAF+ ∠ AFG+ ∠ AGF=180^{ \circ }= ∠ GBD+ ∠ GDB+ ∠ BGD$,$∠ AFG= ∠ GDB=90^{ \circ }$,$∠ AGF= ∠ BGD$,
$\therefore ∠ GAF= ∠ GBD$,又$\because AF=BF$,$∠ AFG= ∠ BFE=90^{ \circ }$,
$\therefore △ AFG≌ △ BFE( \mathrm{ASA} )$,$\therefore BE=AG$.

14. 核心素养 推理能力 「2026 四川德阳月考」【教材呈现】
（1）数学教材中有这样一道习题：“如图1，∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=2.5,DE=1.7,求BE的长.”请写出此题的解答过程.
【类比探究】
（2）如图2,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角,已知:AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.猜想:线段CF,EF,BE之间的数量关系,并说明理由.

14.解析 (1)$\because AD ⊥ CE$,$BE ⊥ CE$,
$\therefore ∠ E= ∠ ADC=90^{ \circ }$,$\therefore ∠ CBE+ ∠ BCE=90^{ \circ }$.
$\because ∠ BCE+ ∠ ACD=90^{ \circ }$,
$\therefore ∠ ACD= ∠ CBE$.
在$△ CEB$ 和$△ ADC$ 中,$\begin{cases} ∠ E= ∠ ADC, \\ ∠ CBE= ∠ ACD, \\ BC=CA, \end{cases}$
$\therefore △ CEB≌ △ ADC( \mathrm{AAS} )$,$\therefore CE=AD=2.5$,$BE=CD$,
$\because DE=1.7$,
$\therefore BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8$.
(2)$CF+EF=BE$.理由如下:
$\because ∠ 1= ∠ BAE+ ∠ ABE$,$∠ 1= ∠ 2= ∠ BAC$,
$∠ BAC= ∠ BAE+ ∠ CAF$,$∠ 2= ∠ FCA+ ∠ CAF$,
$\therefore ∠ ABE= ∠ CAF$,$∠ BAE= ∠ FCA$,
在$△ ABE$ 和$△ CAF$ 中,$\begin{cases} ∠ ABE= ∠ CAF, \\ AB=AC, \\ ∠ BAE= ∠ ACF, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌ △ CAF( \mathrm{ASA} )$,$\therefore CF=AE$,$BE=AF$,
$\therefore CF+EF=AE+EF=AF=BE.$