1[2025浙江温州期中,中]如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,AD⊥BC交CB的延长线于点D,∠ABD的平分线BF所在直线与射线AE相交于点G,若∠ABC=3∠C,且∠G=20°,则∠DFB的度数为 ()

A.50°
B.55°
C.60°
D.65°

(第1题图)
(第2题图)

1.C 【解析】如图,因为AE平分∠BAC,BF平分∠ABD,所以∠CAE = ∠BAE, ∠1 = ∠2. 设∠CAE = ∠BAE = x, ∠C = y,则∠ABC = 3y. 由外角的性质得∠1 = ∠BAE + ∠G = x + 20°, ∠2 = 1/2∠ABD = 1/2(2x+y) = x + 1/2 y,所以x+20°=x+1/2 y,所以y=40°,所以∠ABC = 120°,所以∠1 = ∠2 = 1/2(180°-∠ABC) = 1/2×(180°-120°) = 30°. 因为AD⊥BC,所以∠FDB = 90°,所以∠DFB = 60°.故选C.
思路分析
由角平分线的定义得出∠CAE=∠BAE,∠ABF=∠DBF,设∠CAE = ∠BAE = x,∠C = y,则∠ABC = 3y,根据三角形外角的性质用含x和y的代数式表示∠ABF和∠DBF即可解决问题.

2[中]如图,在$△ ABC$中,AD是高,$∠ DAC=10°$,
AE是$△ ABC$外角$∠ MAC$的平分线,BF平分
$∠ ABC$交AE于点F,交AC于点G,若$∠ ABC=$
$46°$,则$∠ AFB$的度数为.

2.40° 【解析】因为AD是高,所以∠ADB = 90°,所以∠BAD = 90°-∠ABC = 44°. 又因为∠DAC = 10°,所以∠BAC = 54°,所以∠MAC = 126°. 因为AE是△ABC外角∠MAC的平分线,所以∠MAE = 1/2∠MAC = 63°. 因为BF平分∠ABC,所以∠ABF = 1/2∠ABC = 23°,所以∠AFB = ∠MAE - ∠ABF = 40°.故答案为40°.
思路分析
根据直角三角形的性质求出∠BAD的度数,进而得到∠BAC的度数,根据邻补角的定义求出∠CAM的度数,由角平分线的定义求出∠MAE和∠ABF的度数,最后根据三角形的外角的性质计算即可.

3[2025浙江杭州期中,中]如图,在△ABC中,三个内角的平分线交于点D,其中∠CAB = n°,∠CBA = m°,延长DB至点G,∠FCB与∠CBG的平分线交于点E,若BE//AC,则$\frac{4}{7}n + \frac{3}{7}m =$.

3.$\frac{360}{7}$ 【解析】因为BD平分∠CBA,且∠CBA = m°,所以∠CBD = 1/2∠CBA = 1/2 m°. 因为延长DB至点G,所以∠CBD + ∠CBG = 180°,所以∠CBG = 180°-∠CBD = 180°-1/2 m°. 因为BE平分∠CBG,所以∠CBE = 1/2∠CBG = 1/2(180°-1/2 m°) = 90°-1/4 m°. 因为∠FCB是△ABC的一个外角,且∠CAB = n°,所以∠FCB = ∠CBA + ∠CAB = m°+n°. 因为BE//AC,所以∠FCB + ∠CBE = 180°,所以m°+n°+90°-1/4 m° = 180°,所以3/4 m + n = 90,所以4/7 n + 3/7 m = 4/7×(3/4 m + n) = 4/7×90 = 360/7,故答案为360/7.

4[2026安徽安庆期中,中]在△ABC中,∠A=60°,点D,E分别是△ABC边AC,AB上的点,点F是直线BC上一动点,设∠CDF=∠1,∠BEF=∠2,∠DFE=∠α.
(1)如图(1),若点F在线段BC上,且∠α=45°,求∠1+∠2的度数.
(2)若点F在线段BC的延长线上.
①如图(2),当点D位于EF上方时,探究∠1,∠2与∠α之间的数量关系,并说明理由;
②如图(3),当点D位于EF下方时,探究∠1,∠2与∠α之间的数量关系,并说明理由.

刷素养
走向重高

4.【解】(1)如图(1),连结AF.
由三角形外角的性质,得∠1 = ∠DAF + ∠DFA,∠2 = ∠EAF + ∠EFA,所以∠1 + ∠2 = ∠DAF + ∠EAF + ∠DFA + ∠EFA = ∠DAE + ∠DFE = 60°+45° = 105°.
(2)①∠2 = ∠1 + ∠α + 60°.
理由:如图(2),设AC与EF相交于点G.
因为∠AGE = ∠1 + ∠α, ∠2 = ∠A + ∠AGE,
所以∠2 = ∠A + ∠1 + ∠α = ∠1 + ∠α + 60°.
②∠2 = ∠1 - ∠α + 60°.
理由:如图(3),设AC与EF相交于点H.
因为∠2 = ∠A + ∠AHE, ∠1 = ∠DHF + ∠α,
所以∠AHE = ∠2 - ∠A, ∠DHF = ∠1 - ∠α.
因为∠AHE = ∠DHF,所以∠2 - ∠A = ∠1 - ∠α,
所以∠2 = ∠A + ∠1 - ∠α = ∠1 - ∠α + 60°.

5 核心素养推理能力[较难](1)如图(1)的图形我们把它称为“8字形”，证明：$∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D$.
(2)如图(2),AP,CP分别平分$∠ BAD,∠ BCD$,若$∠ ABC=36°,∠ ADC=16°$,求$∠ P$的度数.
(3)如图(3),AP平分$∠ BAD$,CP平分$△ OCD$的外角$∠ BCE$,猜想$∠ P$与$∠ B,∠ D$的数量关系并证明.

5.(1)【证明】设AD,BC交于点O. 因为∠A+∠B+∠AOB = 180°, ∠C + ∠D + ∠COD = 180°,所以∠A+ ∠B + ∠AOB = ∠C + ∠D + ∠COD. 因为∠AOB=∠COD,所以∠A+∠B = ∠C+∠D.
(2)【解】因为AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,所以∠BAP = ∠PAD,∠BCP = ∠PCD.
由(1)的结论得,∠P + ∠BCP = ∠ABC + ∠BAP,①
∠P+∠PAD = ∠ADC+∠PCD,②
① + ② 得,2∠P+ ∠BCP + ∠PAD = ∠BAP + ∠PCD+∠ABC + ∠ADC,所以2∠P = ∠ABC + ∠ADC. 因为∠ABC = 36°, ∠ADC = 16°,所以2∠P = 36°+16° = 52°,所以∠P = 26°.
(3)猜想:∠P = 90°+$\frac{1}{2}$(∠B+∠D). 证明如下:
因为AP平分∠BAD,CP平分△OCD的外角∠BCE,所以∠PAB = ∠PAD,∠PCB = ∠PCE.
因为∠BAO + ∠B = ∠BCD + ∠D,所以2∠PAB + ∠B = 180°-2∠PCB+∠D,所以180°-2(∠PAB+∠PCB)+∠D = ∠B.
因为∠P+∠PAD = ∠PCB + ∠AOC = ∠PCB + ∠B+2∠PAD,所以∠P = ∠PAD + ∠B + ∠PCB = ∠PAB+∠B+∠PCB,所以∠PAB+∠PCB = ∠P-∠B,所以180°-2(∠P-∠B)+∠D = ∠B,即∠P = 90°+$\frac{1}{2}$(∠B+∠D).