请根据以下素材，完成探究任务。
探究“等角三角形”
定义
定义1
如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”。
定义2
从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来的三角形互为“等角三角形”，那么这条线段叫作这个三角形的“等角分割线”。
任务图
① ② 备用图
任务1
如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则△BCD和△ACD是否为“等角三角形”？（填“是”或“不是”）。
任务2
如图②，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°。求证：CD为△ABC的“等角分割线”。
任务3
在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的“等角分割线”，若△ACD是等腰三角形，请求出∠ACB的度数。

任务1:是
任务2:证明:在△ABC 中,∠A=40°,∠B=60°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-60°=80°.
∵CD 为△ABC 的角平分线,
∴∠ACD=∠BCD=1/2∠ACB=40°.
∴∠A=∠ACD=∠BCD.
∴CD=AD.
∴△ADC 是等腰三角形.
∵∠BDC=180°-∠BCD-∠B=180°-40°-60°=80°,
∴∠BDC=∠ACB.
又
∵∠BCD=∠A,∠B=∠B,
∴△CBD 和△ABC 互为“等角三角形”.
∴CD 为△ABC 的“等角分割线”.
任务3:解:分三种情况讨论:
①当AD=CD 时,如图③,∠ACD=∠A=42°.
∵CD 是△ABC 的“等角分割线”,
∴∠ACB=∠BDC=∠A+∠ACD=42°+42°=84°.

②当AD=AC 时,如图④,∠ACD=∠ADC=1/2(180°-∠A)
=1/2×(180°-42°)=69°.
∵CD 是△ABC 的“等角分割线”,
∴∠BCD=∠A=42°.
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=69°+42°=111°.
③当AC=DC 时,∠ADC=∠A=42°.
∵CD 是△ABC 的“等角分割线”,
∴∠ACB=∠BDC=180°-∠ADC=180°-42°=138°,
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-42°-138°=0°(舍去).
综上所述,∠ACB 的度数为 84°或 111°.

【分析】
1. 任务1：紧扣“等角三角形”三个角对应相等的定义，结合直角三角形两锐角互余的性质，推导两个小三角形的内角对应关系即可判断。
2. 任务2：要证明CD是等角分割线，需同时满足两个要求：①分割出的一个小三角形为等腰三角形；②另一个小三角形与原三角形互为等角三角形。先通过三角形内角和算出原三角形∠ACB的度数，结合角平分线性质得到等角，先证△ACD为等腰三角形，再证明△BCD与△ABC三个角对应相等即可。
3. 任务3：△ACD为等腰三角形但未明确腰和底，需分AD=CD、AD=AC、AC=DC三种情况分类讨论，每种情况结合等腰三角形等边对等角的性质计算角度，再根据等角分割线的定义推导∠ACB的度数，最后验证结果是否符合三角形内角和定理，舍去不合理的情况。
【解析】
任务1
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，因此∠ADC=∠CDB=90°。由∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°可得∠A=∠BCD，同理可得∠B=∠ACD，△BCD和△ACD三个角对应相等，因此二者是等角三角形。
任务2
证明：在△ABC 中，∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-60°=80°。
∵CD 为△ABC 的角平分线，
∴∠ACD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=40°，
∴∠A=∠ACD=40°，
∴CD=AD，即△ADC 是等腰三角形。
∵∠BDC=180°-∠BCD-∠B=180°-40°-60°=80°，
∴∠BDC=∠ACB，
又
∵∠BCD=∠A，∠B=∠B，
∴△CBD 和△ABC 互为“等角三角形”，
∴CD 为△ABC 的“等角分割线”。
任务3
解：CD是△ABC的等角分割线，且△ACD为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当AD=CD 时，如图③，∠ACD=∠A=42°，
∵CD 是△ABC 的“等角分割线”，
∴∠ACB=∠BDC=∠A+∠ACD=42°+42°=84°。

②当AD=AC 时，如图④，∠ACD=∠ADC=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°-42°)=69°，
∵CD 是△ABC 的“等角分割线”，
∴∠BCD=∠A=42°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=69°+42°=111°。
③当AC=DC 时，∠ADC=∠A=42°，
∵CD 是△ABC 的“等角分割线”，
∴∠ACB=∠BDC=180°-∠ADC=180°-42°=138°，
此时∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-42°-138°=0°，不符合三角形定义，舍去。
综上所述，∠ACB 的度数为 84°或 111°。
【答案】
任务1：是
任务2：
证明:在△ABC 中,∠A=40°,∠B=60°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-60°=80°.
∵CD 为△ABC 的角平分线,
∴∠ACD=∠BCD=1/2∠ACB=40°.
∴∠A=∠ACD=∠BCD.
∴CD=AD.
∴△ADC 是等腰三角形.
∵∠BDC=180°-∠BCD-∠B=180°-40°-60°=80°,
∴∠BDC=∠ACB.
又
∵∠BCD=∠A,∠B=∠B,
∴△CBD 和△ABC 互为“等角三角形”.
∴CD 为△ABC 的“等角分割线”.
任务3：
解:分三种情况讨论:
①当AD=CD 时,如图③,∠ACD=∠A=42°.
∵CD 是△ABC 的“等角分割线”,
∴∠ACB=∠BDC=∠A+∠ACD=42°+42°=84°.

②当AD=AC 时,如图④,∠ACD=∠ADC=1/2(180°-∠A)
=1/2×(180°-42°)=69°.
∵CD 是△ABC 的“等角分割线”,
∴∠BCD=∠A=42°.
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=69°+42°=111°.
③当AC=DC 时,∠ADC=∠A=42°.
∵CD 是△ABC 的“等角分割线”,
∴∠ACB=∠BDC=180°-∠ADC=180°-42°=138°,
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-42°-138°=0°(舍去).
综上所述,∠ACB 的度数为 84°或 111°.
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的性质，新定义问题处理
【点评】
本题以新定义为背景考查三角形的核心性质，解题时需严格紧扣定义，处理等腰三角形未明确腰的问题时要完整分类讨论，同时注意验证结果是否符合三角形的基本特征，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6