1. [2025 南通] 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan A=\frac{1}{2}$，$AC=2\sqrt{5}$，则$BC$的长为（）

A.1
B.2
C.$\sqrt{5}$
D.5

1.C

2. 如图，$△ ABC$的顶点是正方形网格的格点，则$\cos∠ ABC$的值为 （）

A.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

2.B

3. [2025长春] 如图,已知某山峰的海拔高度为$m$米,一位登山者到达海拔高度为$n$米的点$A$处.测得山峰顶端$B$的仰角为$α$.则$A,B$两点之间的距离为（）

A.$(m-n)\sinα$米
B.$\dfrac{m-n}{\sinα}$米
C.$(m-n)\cosα$米
D.$\dfrac{m-n}{\cosα}$米

3.B

4.如图，点A(2,t)在第一象限，OA与x轴所夹锐角为α，tan α=2，则t的值为（）

A.1
B.2
C.4
D.$\sqrt{3}$

4.C

5. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$均为锐角，且$|\tan^2 B - 3| + (2\sin A - \sqrt{3})^2 = 0$，则下列对$△ ABC$的形状的描述中，最准确的是（）

A.$△ ABC$是直角三角形
B.$△ ABC$是等边三角形
C.$△ ABC$是等腰三角形
D.$△ ABC$是等腰直角三角形

5.B 【点拨】由$|\tan^2 B-3|+(2\sin A-\sqrt{3})^2=0$,得$\tan^2 B-3=0,2\sin A-\sqrt{3}=0$. 由$∠A,∠B$均为锐角,得$\tan B=\sqrt{3}$,$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2},\therefore ∠A=60°,∠B=60°. \therefore ∠C=180°-∠A-∠B=60°. \therefore △ABC$是等边三角形. 故选 B.

6. 在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，点$D$是$BC$上一点，$∠ BAD=∠ C$，$\tan∠ ADB=3$，则$\sin C$的值为（）

A.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
C.$\frac{1}{3}$
D.3

6.B

7.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,矩形$OABC$的顶点$B$的坐标为$(10,4)$,四边形$ABEF$是菱形,且$\tan∠ ABE=\frac{4}{3}$,若直线$l$把矩形$OABC$和菱形$ABEF$组成的图形的面积分成相等的两部分,则直线$l$的表达式为（）

A.$y=3x$
B.$y=-\frac{3}{4}x+\frac{15}{2}$
C.$y=-2x+11$
D.$y=-2x+12$

7.D

8. [2025宜宾] 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=5$，过点$A$作直线$l// BC$，点$E$是直线$l$上一动点，连接$EC$，过点$E$作$EF⊥ CE$，连接$CF$使$\tan∠ ECF=\dfrac{1}{2}$。当$BF$最短时，$AE$的长度为（）

A.$\sqrt{5}$
B.$4$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{13}$

8.B 【点拨】 如图①,在点 A 的右侧取一点 G,使得 $AG=\frac{1}{2}AC=2$,连接 CG,GF,过点 F 作 $FH⊥l$ 于点 H,
$\because$ 直线 $l// BC,∠ACB=90°,∴∠CAG=90°,∵EF⊥CE$,
$\tan∠ECF=\frac{1}{2},∴\tan∠ECF=\frac{EF}{CE}=\frac{1}{2},∴\frac{EF}{CE}=\frac{AG}{AC}=\frac{1}{2}$,
即 $\frac{EF}{AG}=\frac{CE}{AC}. ∵∠CEF=∠CAG=90°,∴△CEF∽△CAG$,
$\therefore \frac{CF}{CG}=\frac{CE}{CA},∠ECF=∠ACG,∴\frac{CF}{CE}=\frac{CG}{CA},∠GCF=∠ACE,∴△GCF∽△ACE,∴∠CGF=∠CAE=90°$,
$\therefore ∠AGC+∠HGF=90°$. 又 $\because ∠ACG+∠AGC=90°$,
$\therefore ∠HGF=∠ACG,∴\tan∠HGF=\tan∠ACG=\frac{AG}{AC}=\frac{1}{2}$,
$\therefore ∠HGF$ 是定值,
∴点 F 在射线 GF 上运动. 易知当 $BF⊥GF$ 时,BF 最短(如图②所示),延长 HF,CB 相交于点 N,
$\because ∠ACB=∠CAH=∠AHN=90°,∴$ 四边形 ACNH 是矩形,
$\therefore ∠FNB=90°,HN=AC=4,AH=CN. ∵BF⊥GF$,
$∠CGF=90°,∴BF// CG,∴∠FBN=∠GCN,∴$ 易得 $∠ACG=∠NFB$. 又 $\because ∠FNB=∠CAG=90°,∴△FNB∽△CAG,∴\frac{FN}{CA}=\frac{BN}{GA}. ∵AG=\frac{1}{2}AC,∴FN=2BN$. 设 $BN=x$,则 $FN=2x,AH=CN=5+x,∴FH=4-2x,GH=(x+5)-2=x+3. ∵\tan∠ACG=\tan∠HGF,∴\frac{AG}{AC}=\frac{FH}{GH}$,
即 $\frac{2}{4}=\frac{4-2x}{x+3}$,解得 $x=1,∴BN=1,FN=2,FH=2,GH=4,∴GF=\sqrt{FH^2+GH^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}. ∵△GCF∽△ACE,∴\frac{GF}{AE}=\frac{GC}{AC}. ∵CG=\sqrt{AG^2+AC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5},∴\frac{2\sqrt{5}}{AE}=\frac{2\sqrt{5}}{4}$,解得 $AE=4,∴$ 当 BF 最短时,AE 的长度为 4.

9. 关于x的一元二次方程$x^2 - 2x + \tanα = 0$有两个相等的实数根，则锐角$α=$。

9.$45°$

10. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$为$AB$边的中点，连接$CD$，若$BC=4$，$CD=3$，则$\cos ∠ DCB$的值为。

10.$\frac{2}{3}$

11. 如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB, CD于点E, F. 若AD=8，BE=10，则$\tan∠ ABD=$.

11.$\frac{1}{2}$

12. [2025成都] 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$在$AC$边上，$AD=3$，$CD=2$，$∠ CBD=45°$，则$\tan∠ ACB$的值为________；点$E$在$BC$的延长线上，连接$DE$，若$∠ CED=∠ ABD$，则$CE$的长为________。

12.$4;\frac{2\sqrt{17}}{3}$ 【点拨】 如图,过点 A 作 $AH⊥BC$,过点 D 作 $DG⊥BC,DF⊥AH$,垂足分别为 H,G,F,则四边形 DFHG 为矩形,
$\therefore DG=FH,DF=HG,DF// HG,DG// AH. ∵∠DBC=45°,∴△BDG$ 为等腰直角三角形,
∴BG=DG. $∵AB=AC,∴BH=CH,∠ABC=∠ACB. ∵DF// BC$,
$\therefore △ADF∽△ACH,∴\frac{DF}{CH}=\frac{AD}{AC}=\frac{AD}{AD+CD}=\frac{3}{5},∴$ 设 $DF=3x,CH=5x$,则 $HG=DF=3x,BH=CH=5x,∴DG=BG=BH+HG=8x,CG=CH-HG=2x,∴BD=8\sqrt{2}x,∴$ 在 $Rt△CGD$ 中, $\tan∠ACB=\frac{DG}{CG}=\frac{8x}{2x}=4$,由勾股定理,得 $(2x)^2+(8x)^2=2^2,∴x=\frac{\sqrt{17}}{17}$(负值已舍去),$∴BD=8\sqrt{2}x=\frac{8\sqrt{34}}{17},BC=2CH=10x=\frac{10\sqrt{17}}{17}. ∵∠CED=∠ABD,∠ACB=∠E+∠CDE,∠ABC=∠ABD+∠CBD,∠ABC=∠ACB,∴∠CDE=∠CBD=45°$. 又 $∵∠E=∠E$,
$\therefore △DEC∽△BED,∴\frac{DE}{BE}=\frac{CE}{DE}=\frac{CD}{DB}=\frac{2}{\frac{8\sqrt{34}}{17}}=\frac{\sqrt{34}}{8}$,
$\therefore DE=\frac{\sqrt{34}}{8}BE,DE^2=BE·CE,∴(\frac{\sqrt{34}}{8}BE)^2=BE·CE$,即 $\frac{17}{32}BE=CE,∴\frac{17}{32}(BC+CE)=CE$,
$\therefore \frac{17}{32}(\frac{10\sqrt{17}}{17}+CE)=CE$,解得 $CE=\frac{2\sqrt{17}}{3}$.