1 如图，在$\odot O$中，$AB ⊥ OC$，垂足为$D$，$AB=8$，$CD=2$. 若$P$是优弧$AB$上的任意一点，则$\sin ∠ APB$的值为 （）

A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

B

连接OA、OB，设⊙O半径为r。
1. 由垂径定理，AB⊥OC，得AD=BD=½AB=4。
2. OD=OC-CD=r-2，在Rt△ODA中，由勾股定理：$r^2=4^2+(r-2)^2$，解得r=5，即OA=5，OD=3。
3. 由圆周角定理，∠APB=½∠AOB，又OC⊥AB，OA=OB，故∠AOD=½∠AOB，因此∠APB=∠AOD。
4. 计算$\sin∠AOD=\frac{AD}{OA}=\frac{4}{5}$，即$\sin∠APB=\frac{4}{5}$。

2 如图，在$4×4$的正方形网格中，点$A$，$B$，$C$，$D$，$O$均在格点上，其中点$A$，$B$，$D$在$\odot O$上，$E$是线段$CD$与$\odot O$的交点，则$∠ BAE$的正切值为。

$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$

解：由圆周角定理可知，同弧所对的圆周角相等，因此$∠ BAE = ∠ BDC$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ DBC=90°$，$BC=1$，$BD=2$，
则$\tan∠ BDC = \frac{BC}{BD} = \frac{1}{2}$，
因此$\tan∠ BAE = \frac{1}{2}$。

3 [2025 苏州]如图,在四边形ABCD中,BD=CD,∠C=∠BAD.以AB为直径的⊙O经过点D,且与边CD交于点E,连接AE,BE.
（1）求证:BC为⊙O的切线;
（2）若$AB=\sqrt{10}$,$\sin∠ AED=\frac{\sqrt{10}}{10}$,求BE的长.

（1）证明：
∵ $BD=CD$，
∴ $∠ DBC=∠ C$。
∵ $∠ C=∠ BAD$，
∴ $∠ DBC=∠ BAD$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ ABD = 90°$，
∴ $∠ DBC + ∠ ABD = 90°$，即$∠ ABC=90°$，
∴ $AB⊥ BC$。
又∵ $OB$是$\odot O$的半径，
∴ $BC$为$\odot O$的切线。
---
（2）解：
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AEB=90°$。
∵ $∠ ABD$和$∠ AED$都是弧$AD$所对的圆周角，
∴ $∠ ABD=∠ AED$，
∴ $\sin∠ ABD = \sin∠ AED = \frac{\sqrt{10}}{10}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$\sin∠ ABE = \frac{AE}{AB} = \frac{\sqrt{10}}{10}$，
∵ $AB=\sqrt{10}$，
∴ $AE = AB · \sin∠ ABE = \sqrt{10} × \frac{\sqrt{10}}{10} = 1$，
由勾股定理得：
$BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - 1^2} = \sqrt{10-1}=3$。
最终结论：$BE$的长为$\boldsymbol{3}$。

4 [2026 福建]如图，AB是$\odot O$的直径，BC是$\odot O$的切线，AC交$\odot O$于点D.若$AD=CD$，则$\tan A$的值是（）

A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$

B

连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC。
又∵AD=CD，
∴BD垂直平分线段AC，得AB=BC。
∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠A=45°，
∴tanA=1。

5 如图，P是$\odot O$的直径AB的延长线上一点，过点P作直线交$\odot O$于C，D两点.若$OA=3$，$PB=2$，则$\tan∠ PAC·\tan∠ PAD$的值为.

$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$

解：
连接BC，BD。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=∠ADB=90°。
在Rt△ABC中，$\tan∠ PAC = \tan∠ BAC = \frac{BC}{AC}$，
在Rt△ABD中，$\tan∠ PAD = \tan∠ BAD = \frac{BD}{AD}$，
∴ $\tan∠ PAC · \tan∠ PAD = \frac{BC}{AC} · \frac{BD}{AD} = \frac{BC · BD}{AC · AD}$。
∵ ∠PBC是圆内接四边形ACBD的外角，
∴ ∠PBC = ∠PDA，
又∵ ∠P = ∠P，
∴ △PBC ∽ △PDA，
∴ $\frac{BC}{DA} = \frac{PB}{PD}$ ①。
同理，∠PDB = ∠PAC，∠P=∠P，
∴ △PBD ∽ △PCA，
∴ $\frac{BD}{CA} = \frac{PB}{PC}$ ②。
①×②得：$\frac{BC · BD}{DA · CA} = \frac{PB^2}{PD · PC}$。
由割线定理得：$PC · PD = PB · PA$，
已知$OA=3$，∴ $AB=2OA=6$，$PA=AB+PB=6+2=8$，
∴ $PC · PD = 2 × 8 = 16$，
∴ $\tan∠ PAC · \tan∠ PAD = \frac{PB^2}{PB · PA} = \frac{PB}{PA} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$。