21.(6分)如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$O$，点$E$在边$CD$的延长线上，且$OE=OA$，连接$AE$。
(1)求$∠ AEC$的度数。
(2)若$OE⊥ AD$，求证：$AE· CA=AD· CE$。

(1)解:
∵四边形ABCD是平行四边形,$\therefore OA=OC.$
∵$OE=OA,\therefore OE=OA=OC,\therefore A,E,C$在以O为圆心、AC为直径的圆上,$\therefore∠ AEC=90°.$
(2)证明:由(1)知$∠ AEC=90°,\therefore∠ AEO+∠ OED=90°.$
∵$OE⊥ AD,\therefore∠ AEO+∠ EAD=90°,\therefore∠ OED=∠ EAD.$又
∵$OA=OE=OC,\therefore∠ ACE=∠ OED,\therefore∠ ACE=∠ EAD.$又
∵$∠ AED=∠ CEA,\therefore△ AED∽△ CEA,\therefore\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{CA},即AE· CA=AD· CE.$

22.(6分)数学实践小组把测量某古建筑的南门与北门的距离作为一项实践活动,请你根据活动报告计算该建筑的南门与北门的距离.
课题 测量古建筑的南门与北门的距离
测量工具 皮尺、无人机等
测量方案 利用无人机在P处测出北门上方标志物C和南门上方标志物B的俯角;测量南门高度AB和北门高度CD.
数据整理 根据测量数据绘制示意图,并整理数据如下.
点A,B,C,D,E,F,P在同一个竖直平面内,EF//AD,BA⊥AD,CD⊥AD,AB=6米,DC=4米,点P到地面的距离为15米,∠EPB=37°,∠FPC=22°.
参考数据 sin37°≈0.60,sin22°≈0.37,cos37°≈0.80,cos22°≈0.93,tan37°≈0.75,tan22°≈0.40.
计算结果 根据活动报告计算南门与北门的距离.(结果精确到1米)

22. 解:如图所示,延长AB,DC分别交EF于点G、点H.
∵$EF// AD,BA⊥ AD,CD⊥ AD,\therefore AG⊥ EF,DH⊥ EF.$
∵$EF// AD$,点P到地面的距离为15米,
∴点G和点H到地面的距离都为15米,即$AG=DH=15$米.
∵$AB=6$米,$DC=4$米,$\therefore BG=AG-AB=15-6=9$(米),$CH=DH-DC=15-4=11$(米).在$Rt△ BPG$中,$\tan∠ BPG=\frac{BG}{PG},\therefore PG=\frac{BG}{\tan∠ BPG}=\frac{9}{\tan37°}\approx\frac{9}{0.75}=12$(米).在$Rt△ CPH$中,$\tan∠ CPH=\frac{CH}{PH},\therefore PH=\frac{CH}{\tan∠ CPH}=\frac{11}{\tan22°}\approx\frac{11}{0.40}\approx28$(米),$\therefore GH=PG+PH=12+28=40$(米).答:南门与北门的距离约为40米.

23.(7分)如图,在△ABC中,分别以AB,AC为边向外作Rt△ADB和Rt△AEC,其中∠ADB=∠AEC=90°,∠ABD=∠ACE=α,F,G,H分别是边BC,AB,AC的中点,连接DF,DG,EF,EH.
(1)求证:△ADG∽△AEH.
(2)求证:DF=FE.
(3)∠DFE的度数为.(用含α的代数式表示)

23. (1)证明:
∵$∠ ADB=∠ AEC=90°,∠ ABD=∠ ACE=α,\therefore∠ ABD+∠ BAD=∠ ACE+∠ CAE=90°$,即$∠ BAD=∠ CAE.$又
∵G,H分别是边AB,AC的中点,$\therefore GD=BG=AG=\frac{1}{2}AB,HE=CH=AH=\frac{1}{2}AC,\therefore∠ ABD=∠ BDG,∠ ACE=∠ HEC,\therefore∠ DGA=∠ ABD+∠ BDG=2∠ ABD,∠ EHA=∠ ACE+∠ HEC=2∠ ACE,\therefore∠ DGA=∠ EHA,\therefore△ ADG∽△ AEH.$
(2)证明:如图,连接FG,FH.
∵F,G,H分别是边BC,AB,AC的中点,$\therefore GF=\frac{1}{2}AC,GF// AC,HF=\frac{1}{2}AB,HF// AB,\therefore∠ AGF+∠ BAC=180°,∠ AHF+∠ BAC=180°,\therefore∠ AGF=∠ AHF.$
∵$GD=\frac{1}{2}AB,HE=\frac{1}{2}AC,∠ DGA=∠ EHA,∠ DGF=∠ DGA+∠ AGF,∠ FHE=∠ EHA+∠ AHF,\therefore GF=HE,∠ DGF=∠ FHE,GD=HF,\therefore△ DGF≌△ FHE(\mathrm{SAS}),\therefore DF=FE.$
(3) $2α$ 解析 由(2)可知,$△ DGF≌△ FHE,HF// AB,\therefore∠ GDF=∠ HFE,∠ HFC=∠ GBF,\therefore∠ GDF+∠ GFD+∠ DGF=∠ HFE+∠ GFD+∠ DGA+∠ AGF=180°,∠ AGF=∠ GBF+∠ GFB=∠ HFC+∠ GFB,\therefore∠ DGA=180°-∠ AGF-∠ GFD-∠ HFE$,由(1)可知$∠ DGA=2∠ ABD=2α,\therefore∠ DFE=180°-(∠ GFB+∠ HFC)-∠ GFD-∠ HFE=180°-∠ AGF-∠ GFD-∠ HFE=∠ DGA=2α$,故答案为$2α.$