利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）：
(1)$x^2 - 3x + 1 = 0$；
(2)$-x^2 - x + 1 = 0$。

1. (1) $x_1≈0.4$，$x_2≈2.6$；(2) $x_1≈-1.6$，$x_2≈0.6$

【分析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，本质是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，因此解题思路为：①先写出每个方程对应的二次函数；②画出二次函数的大致图象，确定图象与x轴交点的大致区间；③通过试值或读取图象坐标，得到交点横坐标的近似值，保留一位小数即可。
【解析】
(1) 设二次函数$y=x^2-3x+1$。
该函数开口向上，对称轴为$x=\frac{3}{2}=1.5$，顶点纵坐标为$\frac{4×1×1-(-3)^2}{4×1}=-1.25$。取点计算得：$x=0$时$y=1$，$x=1$时$y=-1$，$x=2$时$y=-1$，$x=3$时$y=1$，可知图象与x轴的两个交点分别在$(0,1)$和$(2,3)$区间内。
试值验证：区间$(0,1)$内，$x=0.4$时$y=0.4^2-3×0.4+1=-0.04$，接近0，对应根约为0.4；区间$(2,3)$内，$x=2.6$时$y=2.6^2-3×2.6+1=-0.04$，接近0，对应根约为2.6。
(2) 设二次函数$y=-x^2-x+1$。
该函数开口向下，对称轴为$x=-\frac{1}{2}=-0.5$，顶点纵坐标为$\frac{4×(-1)×1-(-1)^2}{4×(-1)}=1.25$。取点计算得：$x=-2$时$y=-1$，$x=-1$时$y=1$，$x=0$时$y=1$，$x=1$时$y=-1$，可知图象与x轴的两个交点分别在$(-2,-1)$和$(0,1)$区间内。
试值验证：区间$(-2,-1)$内，$x=-1.6$时$y=-(-1.6)^2+1.6+1\approx-0.04$，接近0，对应根约为-1.6；区间$(0,1)$内，$x=0.6$时$y=-0.6^2-0.6+1\approx0.04$，接近0，对应根约为0.6。
【答案】
(1) $x_1≈0.4$，$x_2≈2.6$；(2) $x_1≈-1.6$，$x_2≈0.6$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；函数图象应用；近似值估算
【点评】
本题核心是理解一元二次方程的根与对应二次函数图象和x轴交点横坐标的对应关系，通过绘制大致图象、确定交点区间、试值验证即可得到近似结果，是二次函数实际应用的基础题型。
【难度系数】
0.7

1.如图,点$A(2.26,-0.32)$,$B(2.56,0.41)$在二次函数$y=ax^2+bx+c$($a≠0$)的图象上,则方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的近似值可能是()

A.2.67
B.2.56
C.2.39
D.2.26

1. C

【分析】
要解决这道题，首先需明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根和对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的关系：方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标。接下来结合已知的A、B两点的坐标，根据两点纵坐标的正负，判断出x轴交点对应的横坐标的取值范围，最后对比选项选出符合范围的近似根即可。
【解析】
解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。
已知点$A(2.26,-0.32)$，当$x=2.26$时，$y=-0.32＜0$，函数图象在x轴下方；
点$B(2.56,0.41)$，当$x=2.56$时，$y=0.41＞0$，函数图象在x轴上方。
因为二次函数的图象是连续的曲线，因此图象在$x=2.26$和$x=2.56$之间必然与x轴有一个交点，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个根$x$满足$2.26＜x＜2.56$。
逐一分析选项：
A. $2.67＞2.56$，不符合范围；
B. $x=2.56$时$y=0.41≠0$，不是方程的根；
C. $2.26＜2.39＜2.56$，符合取值范围；
D. $x=2.26$时$y=-0.32≠0$，不是方程的根。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，估算一元二次方程近似根，二次函数图象性质
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的内在联系，解题关键是理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，结合函数值的符号即可快速判断根的取值范围，是此类题型的常规考法。
【难度系数】
0.7

2. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的取值范围为（）


A.$2.01＜x＜2.02$
B.$2.02＜x＜2.03$
C.$2.03＜x＜2.04$
D.$x＞2.04$

2. C

【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时对应的自变量$x$的值。又因为二次函数的图像是连续的曲线，当两个相邻自变量对应的函数值符号相反时，这两个自变量之间必然存在一个值使得函数值为0，即对应方程的一个根落在这个区间内。因此我们只需要找到函数值由负变正（或正变负）对应的$x$区间即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系可知，方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时$x$的取值。
结合表格中的对应数据可得：当$x=2.03$时，$y＜0$；当$x=2.04$时，$y＞0$。由于二次函数图像是连续的，因此在$2.03＜x＜2.04$的范围内，必然存在一个$x$使得$y=ax^2+bx+c=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的取值范围是$2.03＜x＜2.04$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图像性质；估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题重点考查利用二次函数的函数值符号变化估算一元二次方程近似根的方法，核心是理解二次函数连续性带来的函数值变号与方程根的对应关系，属于对基础概念应用的考查，掌握核心逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.7

3. 如图是函数$y=x^2 -4x +3$的图象，则方程$x^2 -4x +3=0$的近似解是。

3. $x_1=1，x_2=3$

【分析】
要得到方程$x^2 -4x +3=0$的近似解，首先明确二次函数与对应一元二次方程的关系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标，就是$y=0$时对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解。因此只需观察$y=x^2 -4x +3$的图象，找到它与$x$轴交点的横坐标，即可得到所求方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系，方程$x^2 -4x +3=0$的解就是二次函数$y=x^2 -4x +3$的图象与$x$轴交点的横坐标。
观察图象可知，抛物线与$x$轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$，对应横坐标分别为1和3，因此方程$x^2 -4x +3=0$的解为$x_1=1$，$x_2=3$。
【答案】
$x_1=1，x_2=3$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象
【点评】
本题考查二次函数图象与对应一元二次方程的联系，解题关键是理解一元二次方程的根对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，结合图象可直接得到结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

4. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 的顶点坐标$(-1, -3.2)$及部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两个根分别是 $ x_1 = 1.3 $ 和 $ x_2 = (\quad) $

A.-1.3
B.-2.3
C.-0.3
D.-3.3

D

【分析】
要解决这个问题，首先明确两个核心关系：一是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标；二是二次函数的抛物线图象关于过顶点的对称轴对称，因此两个交点（即方程的两个根）关于对称轴对称。已知顶点坐标可得对称轴，再利用对称轴与两根的关系即可求出未知的根。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(-1,-3.2)$
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=-1$
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是抛物线与x轴两个交点的横坐标，且两个交点关于对称轴对称
∴ 两个根的平均值等于对称轴的横坐标，即$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$
将$x_1=1.3$代入得：$\frac{1.3+x_2}{2}=-1$
解得$x_2=-2-1.3=-3.3$
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题，利用抛物线的对称性求解方程的根，避免了复杂的代入计算，解题关键是牢记抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质。
【难度系数】
0.7