登录
1. ·如图，△ABC的面积为1，第1次操作：分别延长AB，BC，CA至点A₁，B₁，C₁，使A₁B=AB，B₁C=BC，C₁A=CA，顺次连接A₁，B₁，C₁，得到△A₁B₁C₁；第2次操作：分别延长A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁至点A₂，B₂，C₂，使A₂B₁=A₁B₁，B₂C₁=B₁C₁，C₂A₁=C₁A₁，顺次连接A₂，B₂，C₂，得到△A₂B₂C₂……按此规律，第n次操作后，得到△AₙBₙCₙ。若要使△AₙBₙCₙ的面积超过2025，则至少需要操作
4
次。答案
1. 4 解析:连接$A_{1}C$.因为$A_{1}B=AB$,所以$S_{△ A_{1}BC}=S_{△ ABC}=1$.因为$B_{1}C=BC$,所以$S_{△ A_{1}BB_{1}}=2S_{△ A_{1}BC}=2$.同理可得$S_{△ A_{1}AC_{1}}=2$,$S_{△ B_{1}CC_{1}}=2$,所以$S_{△ A_{1}B_{1}C_{1}}=S_{△ ABC}+S_{△ A_{1}BB_{1}}+S_{△ A_{1}AC_{1}}+S_{△ B_{1}CC_{1}}=7$.同理可得$S_{△ A_{2}B_{2}C_{2}}=7S_{△ A_{1}B_{1}C_{1}}=49$,$S_{△ A_{3}B_{3}C_{3}}=7S_{△ A_{2}B_{2}C_{2}}=343$,$S_{△ A_{4}B_{4}C_{4}}=7S_{△ A_{3}B_{3}C_{3}}=2401$.故要使$△ A_{n}B_{n}C_{n}$的面积超过2025,则至少需要操作4次.
2. 如图，把图①称为二环三角形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠A₁+∠B₁+∠C₁=
$360°$
；把图②称为二环四边形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠A₁+∠B₁+∠C₁+∠D₁=$720°$
……依此类推，二环n边形的内角和为$(n-2)· 360°$
(用含n的式子表示)。答案
2. $360°$ $720°$ $(n-2)· 360°$ 解析:如图①,连接$BB_{1}$,则$∠A_{1}+∠C=∠BB_{1}A_{1}+∠B_{1}BC$,所以$∠A+∠ABC+∠C+∠A_{1}+∠A_{1}B_{1}C_{1}+∠C_{1}=∠A+∠ABC+∠BB_{1}A_{1}+∠B_{1}BC+∠A_{1}B_{1}C_{1}+∠C_{1}=∠A+∠ABB_{1}+∠BB_{1}C_{1}+∠C_{1}=(4-2)× 180°=360°$;如图②,取点$E$,连接$AE$,$A_{1}E$,则$∠B_{1}+∠C_{1}+∠D_{1}=∠EAD_{1}+∠E+∠EA_{1}B_{1}$,所以$∠BAD_{1}+∠B+∠C+∠D+∠DA_{1}B_{1}+∠B_{1}+∠C_{1}+∠D_{1}=∠BAD_{1}+∠B+∠C+∠D+∠DA_{1}B_{1}+∠EAD_{1}+∠E+∠EA_{1}B_{1}=∠BAE+∠B+∠C+∠D+∠DA_{1}E+∠E=(6-2)× 180°=720°$……依此类推,二环$n$边形的内角和为$[2(n-1)-2]· 180°=(n-2)· 360°$.
3. 综合实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动。已知两直线a，b且a//b，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠BAC=30°。
（1）如图①，直线a分别与边BC，AC交于点D，E，直线b经过点C。若∠1=42°，求∠2的度数；
（2）如图②，直线a分别与边AB，AC交于点F，G，直线b经过点C，请探究∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，直线a分别与边AB，AC交于点H，K，直线b分别与边BC，AC交于点M，N。若∠2=4∠1，求∠1的度数。
（1）如图①，直线a分别与边BC，AC交于点D，E，直线b经过点C。若∠1=42°，求∠2的度数；
（2）如图②，直线a分别与边AB，AC交于点F，G，直线b经过点C，请探究∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，直线a分别与边AB，AC交于点H，K，直线b分别与边BC，AC交于点M，N。若∠2=4∠1，求∠1的度数。
答案
3. (1)因为$a// b$,$∠1=42°$,$∠ACB=90°$,所以$∠2=∠1+∠ACB=132°$.
(2)$∠2-∠1=120°$.理由如下:因为$a// b$,$∠ACB=90°$,所以$∠AGF=∠1+∠ACB=∠1+90°$.因为$∠BAC=30°$,所以$∠2=∠BAC+∠AGF=∠1+120°$,所以$∠2-∠1=120°$.
(3)因为$a// b$,$∠ACB=90°$,所以$∠2=∠ANM=∠ACB+∠CMN=90°+∠1$.又$∠2=4∠1$,所以$4∠1=90°+∠1$,所以$∠1=30°$.
(2)$∠2-∠1=120°$.理由如下:因为$a// b$,$∠ACB=90°$,所以$∠AGF=∠1+∠ACB=∠1+90°$.因为$∠BAC=30°$,所以$∠2=∠BAC+∠AGF=∠1+120°$,所以$∠2-∠1=120°$.
(3)因为$a// b$,$∠ACB=90°$,所以$∠2=∠ANM=∠ACB+∠CMN=90°+∠1$.又$∠2=4∠1$,所以$4∠1=90°+∠1$,所以$∠1=30°$.
4. 如图，已知AB//CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作。第1次操作：分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E₁；第2次操作：分别作∠ABE₁和∠DCE₁的平分线，交点为E₂；第3次操作：分别作∠ABE₂和∠DCE₂的平分线，交点为E₃……第n次操作：分别作$∠ABE_{n - 1}$和$∠DCE_{n - 1}$的平分线，交点为Eₙ。
（1）求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）求证：$∠BE₁C=\frac{1}{2}∠BEC$；
（3）若∠BEₙC=α，求∠BEC的度数。（用含α，n的式子表示）
（1）求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）求证：$∠BE₁C=\frac{1}{2}∠BEC$；
（3）若∠BEₙC=α，求∠BEC的度数。（用含α，n的式子表示）
答案
4. (1)过点$E$作$EF// AB$(点$F$在点$E$的左侧),则$∠BEF=∠ABE$.因为$AB// CD$,所以$EF// CD$,所以$∠CEF=∠DCE$,所以$∠BEC=∠BEF+∠CEF=∠ABE+∠DCE$.
(2)因为$BE_{1}$,$CE_{1}$分别平分$∠ABE$,$∠DCE$,所以$∠ABE_{1}=\frac {1}{2}∠ABE$,$∠DCE_{1}=\frac {1}{2}∠DCE$.由(1)可得$∠BE_{1}C=∠ABE_{1}+∠DCE_{1}=\frac {1}{2}(∠ABE+∠DCE)=\frac {1}{2}∠BEC$.
(3)由(2)可得$∠BE_{1}C=\frac {1}{2}∠BEC$,$∠BE_{2}C=\frac {1}{2}∠BE_{1}C=\frac {1}{2^{2}}∠BEC$,…,依此类推可得$∠BE_{n}C=\frac {1}{2^{n}}∠BEC$.因为$∠BE_{n}C=α$,所以$∠BEC=2^{n}· α$.
(2)因为$BE_{1}$,$CE_{1}$分别平分$∠ABE$,$∠DCE$,所以$∠ABE_{1}=\frac {1}{2}∠ABE$,$∠DCE_{1}=\frac {1}{2}∠DCE$.由(1)可得$∠BE_{1}C=∠ABE_{1}+∠DCE_{1}=\frac {1}{2}(∠ABE+∠DCE)=\frac {1}{2}∠BEC$.
(3)由(2)可得$∠BE_{1}C=\frac {1}{2}∠BEC$,$∠BE_{2}C=\frac {1}{2}∠BE_{1}C=\frac {1}{2^{2}}∠BEC$,…,依此类推可得$∠BE_{n}C=\frac {1}{2^{n}}∠BEC$.因为$∠BE_{n}C=α$,所以$∠BEC=2^{n}· α$.
