1. 如图,已知直径与等边三角形$ABC$的高相等的圆分别与边$AB$,$BC$相切于点$D$,$E$,与边$AC$相交于点$F$,$G$,则$∠ DEF$的度数为.

上分秘籍

1. 105° 解析:过点 E 作$EH ⊥ BC$,分别与圆及 AC 交于点 H,O,连接 AH,DH,过点 A 作$AM ⊥ BC$于点M,则$EH// AM$,所以$∠ EOF=∠ CAM$. 因为圆与 BC相切于点 E,所以 EH 为圆的直径,所以$∠ EDH=90°$. 因为$EH=AM$,所以四边形 AMEH 为矩形,所以$∠ HAM=∠ AHE=90°$,所以$AH ⊥ EH$,所以 AH与圆相切于点 H. 因为圆与 AB 相切于点 D,所以$AD=AH$. 因为$△ ABC$为等边三角形,所以$∠ BAC=60°$,$∠ CAM=\dfrac{1}{2}∠ BAC$,所以$∠ CAM=30°$,所以$∠ EOF=30°$,$∠ HAC=∠ HAM-∠ CAM=60°$,所以$∠ BAC=∠ HAC$,所以 AC 垂直平分 DH,所以 O为圆心,所以$OE=OF$,所以$∠ OEF=∠ OFE=\dfrac{1}{2}(180°-∠ EOF)=75°$. 因为$DE ⊥ DH$,所以$AC// DE$,所以$∠ DEO=∠ EOF=30°$,所以$∠ DEF=∠ OEF+∠ DEO=105°$.

2. 已知 A B 是$\odot O$的直径,A T 是$\odot O$的切线,$∠ ABT=50°$,$BT$交$\odot O$于点$C$,$E$是$AB$上一点,延长$CE$交$\odot O$于点$D$.
(1) 如图①,连接$BD$,求$∠ T$和$∠ CDB$的度数;
(2) 如图②,连接$OD$.当$BE=BC$时,求$∠ CDO$的度数.

(1) 连接 AC. 因为 AT 是$\odot O$的切线,所以$AT ⊥ AB$,所以$∠ TAB=90°$. 因为$∠ ABT=50°$,所以$∠ T=90°-∠ ABT=40°$. 因为 AB 是$\odot O$的直径,所以$∠ ACB=90°$,所以$∠ CAB=90°-∠ ABT=40°$,所以$∠ CDB=∠ CAB=40°$.
(2) 连接 AD. 因为$∠ ABT=50°$,$BE=BC$,所以$∠ BCE=∠ BEC=\dfrac{1}{2}(180°-∠ ABT)=65°$,所以$∠ BAD=∠ BCE=65°$. 因为$OA=OD$,所以$∠ ODA=∠ BAD=65°$. 因为$∠ ADC=∠ ABT=50°$,所以$∠ CDO=∠ ODA-∠ ADC=15°$.

3. 如图,半圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上,且与其他三边都相切.若$AB=10$,$AD=6$,则BC的长为（）


A.4
B.5
C.6
D.无法确定

A 解析:设半圆 O 与 AD,CD,BC 的切点分别为 E,F,G 三点,连接 OC,OD,OE,OF,OG,则$DE=DF$,$CF=CG$. 又$OE=OF$,$OD=OD$,所以$\mathrm{Rt}△ ODE ≌ \mathrm{Rt}△ ODF$,所以$∠ ODE=∠ ODF$. 因为$AB// CD$,所以$∠ AOD=∠ ODF$,所以$∠ ODE=∠ AOD$,所以$AO=AD=6$,同理得$BC=BO$. 因为$AB=10$,所以$BC=BO=AB-AO=4$.

4. (2025·江苏宿迁二模)如图,AB是$\odot O$的直径,一直尺的顶点M在BA的延长线上,使边MN与$\odot O$相切,C为切点,连接BC,$∠ BCN=$$2∠ B$.
(1) 求$∠ B$的度数;
(2) 若$AM=2$,求 AB 的长.

(1) 连接 OC. 因为$OB=OC$,所以$∠ OCB=∠ B$. 因为$∠ BCN=2∠ B$,所以$∠ OCN=∠ BCN+∠ OCB=3∠ B$. 因为$\odot O$与 MN 相切于点 C,所以$OC ⊥ MN$,所以$∠ OCN=90°$,所以$3∠ B=90°$,所以$∠ B=30°$.
(2) 设$OA=OC=r$. 因为$AM=2$,所以$OM=OA+AM=r+2$. 因为$OC ⊥ MN$,所以$∠ OCM=90°$. 因为$∠ B=30°$,所以$∠ AOC=2∠ B=60°$,所以$∠ OMN=90°-∠ AOC=30°$,所以$OC=\dfrac{1}{2}OM$,所以$r=\dfrac{1}{2}(r+2)$,解得$r=2$,所以$OA=2$,所以$AB=2OA=4$.

5. 新素养 几何直观 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ BAC=30°$,$BC=2\sqrt{3}$,半径为1的$\odot O$在$\mathrm{Rt}△ ABC$内平移,则点$A$到$\odot O$上的点的距离的最大值为.

$2\sqrt{7}+1$ 解析:因为$∠ C=90°$,$∠ BAC=30°$,$BC=2\sqrt{3}$,所以$AB=2BC=4\sqrt{3}$,所以$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=6$. 如图,设$\odot O$分别与边 AB,BC 相切于点 D,E,连接 OB,OD,AO,延长 AO 交$\odot O$于点 F,则 AF 的长即为点 A 到$\odot O$上的点的距离的最大值,且$OD ⊥ AB$,所以$∠ ODA=∠ ODB=90°$. 因为$∠ ABC=90°-∠ BAC=60°$,所以$∠ OBD=\dfrac{1}{2}∠ ABC=30°$,所以$OB=2OD$. 因为$\odot O$的半径为 1,所以$OD=OF=1$,所以$OB=2$,所以$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{3}$,所以$AD=AB-BD=3\sqrt{3}$,所以$OA=\sqrt{OD^2+AD^2}=2\sqrt{7}$,所以$AF=OA+OF=2\sqrt{7}+1$,所以点 A 到$\odot O$上的点的距离的最大值为$2\sqrt{7}+1$.

6. 如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,A,B两点的坐标分别是$(0,6)$,$(8,0)$,$C$ 是$△ ABO$的内心. 直线$a_1,b_1$分别经过$A,B$两点,且$a_1// b_1$. 若直线$a_1$关于$AC$对称的直线为$a_2$,直线$b_1$关于$BC$对称的直线为$b_2$,直线$a_2$,$b_2$交于点$P$,则$CP$长的最大值为.

$\sqrt{5}+5$ 解析:如图,过点 C 分别作$CD ⊥ OA$于点 D,$CE ⊥ OB$于点 E. 因为 C 是$△ ABO$的内心,所以$∠ CAO=∠ CAB$,$∠ CBA=∠ CBO$. 因为直线$a_2$与直线$a_1$关于 AC 对称,所以$∠ CAG=∠ CAP$,所以$∠ CAG-∠ CAO=∠ CAP-∠ CAB$,所以$∠ GAO=∠ PAB$. 同理可得$∠ GBH=∠ PBA$. 因为$a_1// b_1$,所以$∠ AGO=∠ GBH$,所以$∠ AGO=∠ PBA$. 因为$∠ AOG=90°$,所以$∠ GAO+∠ AGO=90°$,所以$∠ PAB+∠ PBA=90°$,所以$∠ APB=90°$. 因为$A(0,6)$,$B(8,0)$,所以$OA=6$,$OB=8$,所以$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=10$. 取 AB 的中点$I(4,3)$,连接 PI,CI,CP,则$PI=\dfrac{1}{2}AB=5$. 易知$△ ABO$内切圆的半径为$\dfrac{1}{2}×(6+8-10)=2$,所以$CD=CE=2$,所以$C(2,2)$,所以$CI=\sqrt{(4-2)^2+(3-2)^2}=\sqrt{5}$. 当点 I 在线段 CP 上时,CP 的长取最大值,且最大值为$\sqrt{5}+5$.