1. 某自来水管道改造工程如果由甲工程队单独改造需要 12 天,由乙工程队单独改造需要24 天.现要求甲、乙两个工程队一起合作完成这项改造工程,但是中途乙工程队因事离开几天,一共用了9天把这项工程做完.则乙工程队中途离开了天.

设乙工程队中途离开了x天,根据题意,得$\frac{9}{12}+\frac{9-x}{24}=1$,解得x=3,所以乙工程队中途离开了3天.

2. 综合与实践:设计完成工程的最短工期方案(最短工期是指完成某项工程所需的最短时间).
【背景素材】某公司要生产某大型产品60件,已知甲、乙、丙三家工厂单独完成一件产品的时间分别为4天、6天、5天.现计划:①三家工厂同时开始生产;②分配给甲工厂的数量是丙的2倍.
【问题解决】为设计方案,可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究.
思考1(特值分析):若该公司将20件产品分配给甲工厂,则最短工期为多少天?
思考2(减少要素):若不考虑素材②,仅由甲、乙两工厂完成,则当两家工厂同时完成生产时工期最短,求如何分配产品件数与最短工期.
思考3(方案探究):如何分配三家工厂的生产任务使得工期最短?并求出最短工期.

思考1(特值分析):甲完成的时间为20×4=80(天),分配给丙工厂的数量为20÷2=10(件),乙完成的时间为(60-20-10)×6=180(天),丙完成的时间为10×5=50(天),所以该公司完成60件产品的最短工期为180天.
思考2(减少要素):设分配给甲工厂产品x件,则分配给乙工厂(60-x)件.由题意,得4x=6(60-x),解得x=36,则60-x=24,4x=4×36=144,所以此时公司分配给甲、乙工厂的产品数量分别为36件、24件,最短工期为144天.
思考3(方案探究):设分配给丙工厂的产品有m件,则甲工厂为2m件,乙工厂为(60-3m)件.甲完成的时间为4×2m=8m(天),乙完成的时间为[6(60-3m)]天,丙完成的时间为5m天,因为8m＞5m,所以当甲、乙同时完成时,工期最短,则8m=6(60-3m),解得$m=\frac{180}{13}=13\frac{11}{13}$.因为m为整数,所以当m=14时,即甲比同时完成时多分配了,完成时间为8×14=112(天);当m=13时,即乙比同时完成时多分配了,完成时间为6×(60-3×13)=126(天).因为112＜126,所以当m=14时,工期最短,为112天,即分配给甲、乙、丙工厂的产品数量分别为28件、18件、14件,最短工期为112天.

3. 某中学计划加工一批校服,现有甲、乙两个工厂能加工这批校服.已知甲工厂每天能加工这种校服16件,乙工厂每天能加工这种校服24件,且单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天.
(1)求这批校服共有多少件.
(2)若由甲、乙两个工厂合作完成这批校服,则需天完成.
(3)若先由甲、乙两个工厂按原来的速度合作一段时间后,乙厂引进了新设备,使乙厂每天的加工效率提高了25%,剩下的部分由乙厂单独完成.如果乙厂全部工作时间是甲厂全部工作时间的2倍还多4天,则乙厂全部工作时间是多少天?
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P89 专题5~P98 专题13

(1)设这批校服共有x件,由题意得,甲工厂加工这批校服用的天数为$\frac{x}{16}$,乙工厂加工这批校服用的天数为$\frac{x}{24}$,因为单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天,所以$\frac{x}{16}=\frac{x}{24}+20$,解得x=960,所以这批校服共有960件.
(2)24 【解析】因为甲、乙两个工厂每天总共加工的数量为16+24=40(件),所以甲、乙两个工厂合作完成这批校服需要的天数为960÷40=24(天).
(3)乙厂引进了新设备后每天加工的数量为24+24×25%=30(件),设甲厂全部工作时间为x天,则乙厂全部工作时间为(2x+4)天,由题意得16x+24x+(2x+4-x)×30=960,解得x=12,2x+4=28,所以乙厂全部工作时间为28天.