25. (2025·连云港东海期末)[习题再现]
(1)苏科版初中数学教材七上第 194 页第 10 题:
如图(1),$AB// CD$,点 E 在 AB,CD 之间. 写出$∠ AEC,∠ A,∠ C$之间的数量关系,并说明理由；
[迁移思考]
(2)小明在完成第 10 题的探究后,对该页的第5题又作了探究与变式思考:
①如图(2),在长方体盒子底部有一面平面镜,点 A 处有一个光源,光线的入射角等于反射角,法线 OE 与平面镜$l$垂直,即$OE⊥$BC,垂足为 O,入射光线经过镜面反射后,恰好经过点 D. 小明认为,图中$∠ AOB=∠ COD$,请帮小明说明理由；
②如图(3),在长方体盒子里放置 4 块平面镜AB,BC,CD,DA,其中$AD// CB$,若光线从AD 上的 E 处射出,在平面镜 AB 上经点 F反射后,到达 BC 上的点 G,其传播路径为 E$\to F\to G\to H\to E\to F···$,请判断$∠ EFG$与$∠ GHE$的数量关系,并说明理由.

25.(1)∠AEC,∠A,∠C之间的数量关系是∠AEC=∠A+∠C.理由如下：
过点E作EM//AB,如图所示。

∵AB//CD，
∴AB//EM//CD，
∴∠AEM=∠A,∠CEM=∠C，
∴∠AEM+∠CEM=∠A+∠C。
∵∠AEC=∠AEM+∠CEM，
∴∠AEC=∠A+∠C。
(2)①∠AOB=∠COD.理由如下：
∵OE⊥BC,
∴∠EOC=∠EOB=90°，
∴∠AOE+∠AOB=∠DOE+∠COD=90°。
∵光线的入射角等于反射角，
∴∠AOE=∠DOE,
∴∠AOB=∠COD。
②∠EFG与∠GHE的数量关系是∠EFG=∠GHE.理由如下：
由①的结论得∠AEF=∠DEH,∠BGF=∠CGH，
∴∠AEF+∠BGF=∠DEH+∠CGH。
∵AD//CB,由(1)的结论,得∠EFG=∠AEF+∠BGF,∠EHG=∠DEH+∠CGH，
∴∠EFG=∠EHG。

26. 如图(1),已知两条直线 $AB,CD$ 被直线 $EF$ 所截,分别交于点 $E,F,EM$ 平分$∠ AEF$ 交$CD$ 于点 $M$,且$∠ FEM=∠ FME$.

(1)判断直线 $AB$ 与直线 $CD$ 是否平行,并说明理由.
(2)如图(2),点 $G$ 是射线 $MD$ 上一动点(不与点 $M,F$ 重合),$EH$ 平分$∠ FEG$ 交 $CD$ 于点 $H$,过点 $H$ 作 $HN⊥ EM$ 于点 $N$,设$∠ EHN=α,∠ EGF=β$.
①当点 $G$ 在点 $F$ 的右侧时,若 $β=50°$,求 $α$的度数.
②当点 $G$ 在运动过程中,$α$ 和 $β$ 之间有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以说明.

26.(1)AB//CD,理由如下：
∵EM平分∠AEF,
∴∠AEM=∠MEF。
又∠FEM=∠FME,
∴∠AEM=∠EMF，
∴AB//CD。
(2)①
∵AB//CD,β=50°,
∴∠AEG=130°。
又EH平分∠FEG,EM平分∠AEF，
∴$∠ HEF=\dfrac{1}{2}∠ FEG$,$∠ MEF=\dfrac{1}{2}∠ AEF$，
∴$∠ MEH=\dfrac{1}{2}∠ AEG=65°$。
又HN⊥ME,
∴∠EHN=90°-65°=25°,即α=25°；
②$α=\dfrac{1}{2}β$或$α=90°-\dfrac{1}{2}β$.理由如下:分两种情况讨论：
当点G在点F的右侧时,$α=\dfrac{1}{2}β$。
∵AB//CD,
∴∠AEG=180°-β。
又EH平分∠FEG,EM平分∠AEF，
∴$∠ HEF=\dfrac{1}{2}∠ FEG$,$∠ MEF=\dfrac{1}{2}∠ AEF$，
∴$∠ MEH=\dfrac{1}{2}∠ AEG=\dfrac{1}{2}(180°-β)$。
又HN⊥ME，
∴$∠ EHN=90°-∠ MEH=90°-\dfrac{1}{2}(180°-β)=\dfrac{1}{2}β$，
即$α=\dfrac{1}{2}β$；
如图,当点G在点F的左侧时,$α=90°-\dfrac{1}{2}β$。

∵AB//CD,
∴∠AEG=∠EGF=β。
又EH平分∠FEG,EM平分∠AEF，
∴$∠ HEF=\dfrac{1}{2}∠ FEG$,$∠ MEF=\dfrac{1}{2}∠ AEF$，
∴$∠ MEH=∠ MEF-∠ HEF=\dfrac{1}{2}(∠ AEF-∠ FEG)=\dfrac{1}{2}∠ AEG=\dfrac{1}{2}β$。
又HN⊥ME,
∴∠EHN=90°-∠MEH，
即$α=90°-\dfrac{1}{2}β$。
综上所述,$α=\dfrac{1}{2}β$或$α=90°-\dfrac{1}{2}β$。