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1[2026江苏南通期末,中]已知$m$是关于$x$的方程$3x - n = 1$的解,若$a = m - t$,$b = \frac{t}{2} - \frac{n}{6}$,则$a + 2b$的值为（
A.$-1$
B.$\frac{1}{3}$
C.$1$
D.$3$
B
）A.$-1$
B.$\frac{1}{3}$
C.$1$
D.$3$
答案
1.B 【解析】因为 m 是关于 x 的方程 3x-n=1 的解,所以 3m-n=1. 因为$a=m-t,b=\frac{t}{2}-\frac{n}{6}$,所以$a+2b=m-t+2(\frac{t}{2}-\frac{n}{6})=m-t+t-\frac{n}{3}=m-\frac{n}{3}=\frac{3m-n}{3}=\frac{1}{3}$. 故选 B.
2[2025江苏盐城期末,中]整式$mx-n$的值随$x$取值的变化而变化,下表是当$x$取不同值时对应的整式的值.
则关于$x$的方程$-mx+n=9$的解为 (
A.$x=-5$
B.$x=-4$
C.$x=-2$
D.$x=1$
则关于$x$的方程$-mx+n=9$的解为 (
D
)A.$x=-5$
B.$x=-4$
C.$x=-2$
D.$x=1$
答案
2.D 【解析】关于 x 的方程 -mx+n=9 两边同乘-1 得 mx-n=-9,由表格中的数据可知,此时 x=1. 故选 D.
3[2025江苏南通期末,中]已知$x=4$是关于$x$的方程$ax-5=9x-a$的解,那么关于$y$的方程$a(y-1)-5=9(y-1)-a$的解是$y=$
5
.答案
3.5 【解析】因为 x=4 是关于 x 的方程 ax-5=9x-a 的解,所以 a(y-1)-5=9(y-1)-a 中 y-1=4,所以 y=5. 故答案为 5.
4[2026江苏盐城质检,中]若关于x的方程|2x−2024|+m=0无解,|3x−2025|+n=0只有一个解,|4x−2026|+k=0有两个解.请用“＜”将m,n,k由小到大排列.
答案
【解】因为方程|2x-2024|+m=0无解,所以-m＜0,即m＞0. 因为|3x-2025|+n=0只有一个解,所以n=0.
因为|4x-2026|+k=0有两个解,所以-k＞0,即k＜0. 所以k＜n＜m.
因为|4x-2026|+k=0有两个解,所以-k＞0,即k＜0. 所以k＜n＜m.
5[中]某市收取水费按以下规定:若每月每户用水不超过20立方米,则每立方米按1.2元收费;若超过20立方米,则超过部分按每立方米2元收费.
(1)如果某户居民在某月用水x立方米,且x≤20,则所交水费为
(2)如果某户居民在某月用水x立方米,且x＞20,则所交水费为
(3)如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元,设这户居民这个月共用了x立方米的水,请写出x的范围,并列出方程.
刷素养 走向重高
(1)如果某户居民在某月用水x立方米,且x≤20,则所交水费为
1.2x
元;(2)如果某户居民在某月用水x立方米,且x＞20,则所交水费为
(2x-16)
元;(3)如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元,设这户居民这个月共用了x立方米的水,请写出x的范围,并列出方程.
刷素养 走向重高
答案
5.【解】(1)由题意得x≤20时,所交水费为1.2x元,故答案为1.2x.
(2)由题意得x＞20时,所交水费为20×1.2+2(x-20)=(2x-16)元,故答案为(2x-16).
(3)由题意可得x＞20,根据题意得20×1.2+2(x-20)=1.5x,即2x-16=1.5x.
(2)由题意得x＞20时,所交水费为20×1.2+2(x-20)=(2x-16)元,故答案为(2x-16).
(3)由题意可得x＞20,根据题意得20×1.2+2(x-20)=1.5x,即2x-16=1.5x.
6 核心素养推理能力[2025江苏宿迁质检,较难]已知关于x的方程$x+\frac{2}{x}=3+\frac{2}{3}$的两个解是$x_1=3,x_2=\frac{2}{3}$；
关于x的方程$x+\frac{2}{x}=4+\frac{2}{4}$的两个解是$x_1=4,x_2=\frac{2}{4}$；
关于x的方程$x+\frac{2}{x}=5+\frac{2}{5}$的两个解是$x_1=5,x_2=\frac{2}{5}$；
……
小王认真分析和研究上述方程的特征,提出了如下的猜想:
关于x的方程$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$(c是常数)的两个解是$x_1=c,x_2=\frac{2}{c}$.小王在老师的帮助下完成了严谨的验证(验证过程略),他向同学提出如下的问题.
(1)关于x的方程$x+\frac{2}{x}=11+\frac{2}{11}$的两个解是$x_1=$
(2)已知关于x的方程$x+\frac{2}{x-1}=12+\frac{2}{11}$,则方程的两个解是多少？
关于x的方程$x+\frac{2}{x}=4+\frac{2}{4}$的两个解是$x_1=4,x_2=\frac{2}{4}$；
关于x的方程$x+\frac{2}{x}=5+\frac{2}{5}$的两个解是$x_1=5,x_2=\frac{2}{5}$；
……
小王认真分析和研究上述方程的特征,提出了如下的猜想:
关于x的方程$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$(c是常数)的两个解是$x_1=c,x_2=\frac{2}{c}$.小王在老师的帮助下完成了严谨的验证(验证过程略),他向同学提出如下的问题.
(1)关于x的方程$x+\frac{2}{x}=11+\frac{2}{11}$的两个解是$x_1=$
11
和$x_2=$$\frac{2}{11}$
；(2)已知关于x的方程$x+\frac{2}{x-1}=12+\frac{2}{11}$,则方程的两个解是多少？
答案
6.【解】(1)因为关于x的方程$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$(c是常数)的两个解是$x_1=c,x_2=\frac{2}{c}$,所以方程$x+\frac{2}{x}=11+\frac{2}{11}$的两个解是$x_1=11,x_2=\frac{2}{11}$,故答案为$11,\frac{2}{11}$.
(2)因为$x+\frac{2}{x-1}=12+\frac{2}{11}$,所以$x-1+\frac{2}{x-1}=12+\frac{2}{11}-1$,所以$x-1+\frac{2}{x-1}=11+\frac{2}{11}$,所以$x_1-1=11,x_2-1=\frac{2}{11}$,所以$x_1=12,x_2=\frac{13}{11}$.
(2)因为$x+\frac{2}{x-1}=12+\frac{2}{11}$,所以$x-1+\frac{2}{x-1}=12+\frac{2}{11}-1$,所以$x-1+\frac{2}{x-1}=11+\frac{2}{11}$,所以$x_1-1=11,x_2-1=\frac{2}{11}$,所以$x_1=12,x_2=\frac{13}{11}$.
