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20.(本题8分)浙江新能源汽车数量不断上升,据相关信息,2025年全省将建成公共充电桩超230万个。某小区为优化公共充电桩管理,随机记录了某日50辆新能源汽车的充电情况。
(1)填空:$a=$
(2)本次调查的50辆新能源汽车用电价格的众数为
(3)若该地区每天需要充电的新能源汽车数量约为10万辆,请估计在6时至10时时间段内进行充电的新能源汽车数量。
(1)填空:$a=$
4
;(2)本次调查的50辆新能源汽车用电价格的众数为
0.6
元/度,中位数为0.6
元/度;(3)若该地区每天需要充电的新能源汽车数量约为10万辆,请估计在6时至10时时间段内进行充电的新能源汽车数量。
答案
(1)4
(2)0.6 0.6
(3)$4÷50=8\%$,$8\%×10=0.8$(万辆)。答:在6时至10时时间段内进行充电的新能源汽车数量是0.8万辆。
(2)0.6 0.6
(3)$4÷50=8\%$,$8\%×10=0.8$(万辆)。答:在6时至10时时间段内进行充电的新能源汽车数量是0.8万辆。
解析
【分析】
本题是统计相关的题目，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知总共有50辆新能源汽车，各时间段数量之和为50，用总数减去其他时间段的数量即可求出a的值；
2. 第(2)问：众数是一组数据中出现次数最多的数，找到对应数量最多的价格即可；中位数是将数据排序后中间位置的数（偶数个时取中间两个的平均数），需确定排序后第25、26个数据对应的价格；
3. 第(3)问：利用样本估计总体，先计算6时至10时时间段内充电车辆在样本中的占比，再乘以总体数量10万辆，得到该时间段的估计数量。
【解析】
(1) 总共有50辆新能源汽车，因此：
$a = 50 - 4 - 20 - 10 - 12 = 4$；
(2) 各价格对应的数量：1.15元/度有4辆，0.60元/度有20辆，1.20元/度有4辆，0.90元/度有10辆，0.55元/度有12辆。
出现次数最多的价格是0.60元/度，故众数为0.6；
将所有数据从小到大排列，前4个是1.15，接下来20个是0.6，因此第25、26个数据均为0.6，中位数为0.6；
(3) 样本中6时至10时充电车辆的占比为：$\frac{4}{50}=8\%$，
估计该时间段内的车辆数量为：$10×8\% = 0.8$（万辆）。
【答案】
(1)4；(2)0.6，0.6；(3)0.8万辆
【知识点】
众数与中位数、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计的基础知识点，包括总数计算、众数和中位数的确定，以及用样本估计总体的方法，属于基础统计应用题，难度较低。
【难度系数】
0.3
本题是统计相关的题目，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知总共有50辆新能源汽车，各时间段数量之和为50，用总数减去其他时间段的数量即可求出a的值；
2. 第(2)问：众数是一组数据中出现次数最多的数，找到对应数量最多的价格即可；中位数是将数据排序后中间位置的数（偶数个时取中间两个的平均数），需确定排序后第25、26个数据对应的价格；
3. 第(3)问：利用样本估计总体，先计算6时至10时时间段内充电车辆在样本中的占比，再乘以总体数量10万辆，得到该时间段的估计数量。
【解析】
(1) 总共有50辆新能源汽车，因此：
$a = 50 - 4 - 20 - 10 - 12 = 4$；
(2) 各价格对应的数量：1.15元/度有4辆，0.60元/度有20辆，1.20元/度有4辆，0.90元/度有10辆，0.55元/度有12辆。
出现次数最多的价格是0.60元/度，故众数为0.6；
将所有数据从小到大排列，前4个是1.15，接下来20个是0.6，因此第25、26个数据均为0.6，中位数为0.6；
(3) 样本中6时至10时充电车辆的占比为：$\frac{4}{50}=8\%$，
估计该时间段内的车辆数量为：$10×8\% = 0.8$（万辆）。
【答案】
(1)4；(2)0.6，0.6；(3)0.8万辆
【知识点】
众数与中位数、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计的基础知识点，包括总数计算、众数和中位数的确定，以及用样本估计总体的方法，属于基础统计应用题，难度较低。
【难度系数】
0.3
21.(本题8分)如图,已知在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$D$是$BC$的中点,$E$是$AD$的中点,过点$A$作$AF// BC$交$BE$的延长线于点$F$,连结$CF$。
(1)求证:四边形$ADCF$是菱形;
(2)若$AC=8$,菱形$ADCF$的面积为40,求$AB$的长。
(1)求证:四边形$ADCF$是菱形;
(2)若$AC=8$,菱形$ADCF$的面积为40,求$AB$的长。
答案
(1)证明:因为$AF// BC$,所以$∠AFE=∠DBE$。因为E是AD的中点,所以$AE=DE$。在$△ AEF$ 和 $△ DEB$ 中,
$\begin{cases}∠AFE=∠DBE,\\∠AEF=∠DEB,\\AE=DE,\end{cases}$所以$△ AEF ≌ △ DEB$（AAS）,所以$AF=DB$。因为AD为BC边上的中线,所以$DB=DC$,所以$AF=CD$。因为$AF// BC$,所以四边形ADCF是平行四边形。因为$∠BAC=90°$,D是BC的中点,所以$AD=\frac{1}{2}BC=CD$,所以平行四边形ADCF是菱形；
(2)因为D是BC的中点,所以$S_{\mathrm{菱形}ADCF}=2S_{△ ADC}=S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· AB=\frac{1}{2}×8AB=40$,所以$AB=10$。
$\begin{cases}∠AFE=∠DBE,\\∠AEF=∠DEB,\\AE=DE,\end{cases}$所以$△ AEF ≌ △ DEB$（AAS）,所以$AF=DB$。因为AD为BC边上的中线,所以$DB=DC$,所以$AF=CD$。因为$AF// BC$,所以四边形ADCF是平行四边形。因为$∠BAC=90°$,D是BC的中点,所以$AD=\frac{1}{2}BC=CD$,所以平行四边形ADCF是菱形；
(2)因为D是BC的中点,所以$S_{\mathrm{菱形}ADCF}=2S_{△ ADC}=S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· AB=\frac{1}{2}×8AB=40$,所以$AB=10$。
解析
【分析】
要解决本题，分两小问逐步推导：
(1) 证明四边形ADCF是菱形，需先证其为平行四边形，再证邻边相等。首先由AF//BC得到内错角相等，结合E是AD中点，用AAS证明△AEF≌△DEB，推出AF=DB；再利用D是BC中点，得DB=DC，故AF=CD且AF//CD，从而判定四边形ADCF是平行四边形；最后结合∠BAC=90°，D是BC中点，根据直角三角形斜边中线性质得AD=CD，即可证明平行四边形ADCF是菱形。
(2) 求AB的长，利用D是BC中点的性质，得出菱形ADCF的面积等于△ABC的面积，再结合△ABC的面积公式（直角三角形面积=1/2×直角边乘积），代入已知条件计算AB。
【解析】
(1) 证明：
∵ AF//BC，
∴ ∠AFE=∠DBE。
∵ E是AD的中点，
∴ AE=DE。
在△AEF和△DEB中，
$\begin{cases}∠AFE=∠DBE, \\∠AEF=∠DEB, \\AE=DE,\end{cases}$
∴ △AEF ≌ △DEB（AAS），
∴ AF=DB。
∵ D是BC的中点，
∴ DB=DC，
∴ AF=CD。
又
∵ AF//BC，即AF//CD，
∴ 四边形ADCF是平行四边形。
∵ ∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴ AD=$\frac{1}{2}$BC=CD，
∴ 平行四边形ADCF是菱形。
(2) 解：
∵ D是BC的中点，
∴ $S_{菱形ADCF}=2S_{△ADC}=S_{△ABC}$，
又
∵ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·AB$，
已知AC=8，菱形ADCF的面积为40，
∴ $\frac{1}{2}×8×AB=40$，
解得AB=10。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) AB的长为10。
【知识点】
菱形的判定，直角三角形斜边中线性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查全等三角形、平行四边形、菱形的判定及直角三角形的性质，解题时需熟练运用相关定理逐步推导，逻辑清晰，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.6
要解决本题，分两小问逐步推导：
(1) 证明四边形ADCF是菱形，需先证其为平行四边形，再证邻边相等。首先由AF//BC得到内错角相等，结合E是AD中点，用AAS证明△AEF≌△DEB，推出AF=DB；再利用D是BC中点，得DB=DC，故AF=CD且AF//CD，从而判定四边形ADCF是平行四边形；最后结合∠BAC=90°，D是BC中点，根据直角三角形斜边中线性质得AD=CD，即可证明平行四边形ADCF是菱形。
(2) 求AB的长，利用D是BC中点的性质，得出菱形ADCF的面积等于△ABC的面积，再结合△ABC的面积公式（直角三角形面积=1/2×直角边乘积），代入已知条件计算AB。
【解析】
(1) 证明：
∵ AF//BC，
∴ ∠AFE=∠DBE。
∵ E是AD的中点，
∴ AE=DE。
在△AEF和△DEB中，
$\begin{cases}∠AFE=∠DBE, \\∠AEF=∠DEB, \\AE=DE,\end{cases}$
∴ △AEF ≌ △DEB（AAS），
∴ AF=DB。
∵ D是BC的中点，
∴ DB=DC，
∴ AF=CD。
又
∵ AF//BC，即AF//CD，
∴ 四边形ADCF是平行四边形。
∵ ∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴ AD=$\frac{1}{2}$BC=CD，
∴ 平行四边形ADCF是菱形。
(2) 解：
∵ D是BC的中点，
∴ $S_{菱形ADCF}=2S_{△ADC}=S_{△ABC}$，
又
∵ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·AB$，
已知AC=8，菱形ADCF的面积为40，
∴ $\frac{1}{2}×8×AB=40$，
解得AB=10。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) AB的长为10。
【知识点】
菱形的判定，直角三角形斜边中线性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查全等三角形、平行四边形、菱形的判定及直角三角形的性质，解题时需熟练运用相关定理逐步推导，逻辑清晰，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.6
