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【学以致用1】找出下列各式中的单项式，并写出它们的系数和次数.
(1)$-x^4y^2z$； (2)$\frac{7xy}{2}$； (3)$\frac{-3π r^2}{4}$； (4)$a$； (5)$\frac{2}{5}(a+1)$； (6)$\frac{2}{x}$.
(1)$-x^4y^2z$； (2)$\frac{7xy}{2}$； (3)$\frac{-3π r^2}{4}$； (4)$a$； (5)$\frac{2}{5}(a+1)$； (6)$\frac{2}{x}$.
答案
解:单项式为(1)(2)(3)(4);单项式的系数分别为$-1,\frac{7}{2},-\frac{3π}{4},1$;单项式的次数分别为7,2,2,1.
解析
【分析】
解题时先回忆单项式的相关概念：由数和字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式。第一步先根据定义逐个判定式子是否为单项式，判定时注意两个排除规则：一是含有加减运算的式子不是单项式，二是分母含字母的式子不是单项式。确定单项式后，再计算每个单项式的系数和次数：系数是单项式中的数字因数，次数是单项式里所有字母的指数之和，注意π是常数，不属于字母，计算时不要把它当成字母处理。
【解析】
1. 判定单项式：
（1）$-x^4y^2z$是数字$-1$与字母$x、y、z$的乘积，属于单项式；
（2）$\frac{7xy}{2}$是数字$\frac{7}{2}$与字母$x、y$的乘积，属于单项式；
（3）$\frac{-3π r^2}{4}$是数字$-\frac{3π}{4}$与字母$r$的乘积，π是常数，属于单项式；
（4）$a$是单独的字母，属于单项式；
（5）$\frac{2}{5}(a+1)$含有加法运算，不是数与字母的乘积，不属于单项式；
（6）$\frac{2}{x}$分母含字母$x$，不是数与字母的乘积，不属于单项式。
因此单项式为(1)(2)(3)(4)。
2. 计算各单项式的系数和次数：
（1）$-x^4y^2z$的数字因数是$-1$，所有字母指数和为$4+2+1=7$，即系数为$-1$，次数为7；
（2）$\frac{7xy}{2}$的数字因数是$\frac{7}{2}$，所有字母指数和为$1+1=2$，即系数为$\frac{7}{2}$，次数为2；
（3）$\frac{-3π r^2}{4}$的数字因数是$-\frac{3π}{4}$，字母$r$的指数为2，即系数为$-\frac{3π}{4}$，次数为2；
（4）$a$的数字因数是省略的$1$，字母$a$的指数为1，即系数为$1$，次数为1。
【答案】
单项式为(1)(2)(3)(4);单项式的系数分别为$-1,\frac{7}{2},-\frac{3π}{4},1$;单项式的次数分别为7,2,2,1。
【知识点】
单项式的定义；单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于整式章节的基础题型，主要考查对单项式相关概念的掌握，易错点为误将π看作字母计算次数、忽略单独字母的系数为1、错把分母含字母或含加减运算的式子判定为单项式，熟记概念即可避免丢分。
【难度系数】
0.75
解题时先回忆单项式的相关概念：由数和字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式。第一步先根据定义逐个判定式子是否为单项式，判定时注意两个排除规则：一是含有加减运算的式子不是单项式，二是分母含字母的式子不是单项式。确定单项式后，再计算每个单项式的系数和次数：系数是单项式中的数字因数，次数是单项式里所有字母的指数之和，注意π是常数，不属于字母，计算时不要把它当成字母处理。
【解析】
1. 判定单项式：
（1）$-x^4y^2z$是数字$-1$与字母$x、y、z$的乘积，属于单项式；
（2）$\frac{7xy}{2}$是数字$\frac{7}{2}$与字母$x、y$的乘积，属于单项式；
（3）$\frac{-3π r^2}{4}$是数字$-\frac{3π}{4}$与字母$r$的乘积，π是常数，属于单项式；
（4）$a$是单独的字母，属于单项式；
（5）$\frac{2}{5}(a+1)$含有加法运算，不是数与字母的乘积，不属于单项式；
（6）$\frac{2}{x}$分母含字母$x$，不是数与字母的乘积，不属于单项式。
因此单项式为(1)(2)(3)(4)。
2. 计算各单项式的系数和次数：
（1）$-x^4y^2z$的数字因数是$-1$，所有字母指数和为$4+2+1=7$，即系数为$-1$，次数为7；
（2）$\frac{7xy}{2}$的数字因数是$\frac{7}{2}$，所有字母指数和为$1+1=2$，即系数为$\frac{7}{2}$，次数为2；
（3）$\frac{-3π r^2}{4}$的数字因数是$-\frac{3π}{4}$，字母$r$的指数为2，即系数为$-\frac{3π}{4}$，次数为2；
（4）$a$的数字因数是省略的$1$，字母$a$的指数为1，即系数为$1$，次数为1。
【答案】
单项式为(1)(2)(3)(4);单项式的系数分别为$-1,\frac{7}{2},-\frac{3π}{4},1$;单项式的次数分别为7,2,2,1。
【知识点】
单项式的定义；单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于整式章节的基础题型，主要考查对单项式相关概念的掌握，易错点为误将π看作字母计算次数、忽略单独字母的系数为1、错把分母含字母或含加减运算的式子判定为单项式，熟记概念即可避免丢分。
【难度系数】
0.75
【学以致用2】已知单项式$6xy^5$与$-\dfrac{1}{3}y^4z^m$的次数相同，求$-\dfrac{1}{2}m+2$的值.
答案
解:由题意,得$1+5=4+m$,解得$m=2$,则$-\frac{1}{2}m+2=-\frac{1}{2}×2+2=1$.
解析
【分析】
首先要明确单项式次数的定义：一个单项式中，所有字母的指数之和就是这个单项式的次数。已知两个单项式的次数相同，我们可以先分别算出两个单项式的次数，根据次数相等列等式求出m的值，最后把m代入到待求的代数式中计算就能得到结果。
【解析】
先计算单项式$6xy^5$的次数：x的指数是1，y的指数是5，所以次数为$1+5=6$。
再计算单项式$-\dfrac{1}{3}y^4z^m$的次数：y的指数是4，z的指数是m，所以次数为$4+m$。
因为两个单项式次数相同，可列等式：
$1+5=4+m$
解得$m=2$。
将$m=2$代入$-\dfrac{1}{2}m+2$计算：
$-\dfrac{1}{2}×2 + 2 = -1 + 2 = 1$
【答案】
$1$
【知识点】
单项式的次数、代数式求值
【点评】
本题是整式章节的基础题型，核心考查对单项式次数概念的掌握，解题时要注意计算单项式次数时只加所有字母的指数，不要把系数算入，先求出参数m后代入求值即可。
【难度系数】
0.8
首先要明确单项式次数的定义：一个单项式中，所有字母的指数之和就是这个单项式的次数。已知两个单项式的次数相同，我们可以先分别算出两个单项式的次数，根据次数相等列等式求出m的值，最后把m代入到待求的代数式中计算就能得到结果。
【解析】
先计算单项式$6xy^5$的次数：x的指数是1，y的指数是5，所以次数为$1+5=6$。
再计算单项式$-\dfrac{1}{3}y^4z^m$的次数：y的指数是4，z的指数是m，所以次数为$4+m$。
因为两个单项式次数相同，可列等式：
$1+5=4+m$
解得$m=2$。
将$m=2$代入$-\dfrac{1}{2}m+2$计算：
$-\dfrac{1}{2}×2 + 2 = -1 + 2 = 1$
【答案】
$1$
【知识点】
单项式的次数、代数式求值
【点评】
本题是整式章节的基础题型，核心考查对单项式次数概念的掌握，解题时要注意计算单项式次数时只加所有字母的指数，不要把系数算入，先求出参数m后代入求值即可。
【难度系数】
0.8
