1[2026江苏宿迁期中,中]如图是一个港湾,港湾两岸有A,B两个码头,OA=2千米,OB=1千米,现有一艘货船从码头A出发,根据计划,货船应先停靠OB岸的D处装货,再停靠OA岸的C处装货,最后到达码头B.小明根据所学的知识,合理安排两岸的装货地点,发现使货船行驶的水路最短路程为$\sqrt{3}$千米,那么这个港湾两岸的夹角$∠ AOB$的度数是 ()

A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
(第1题图)
(第2题图)

1.B 【解析】如图,分别作点 A 关于 OB 的对称点 A',点 B 关于 OA 的对称点 B',连接 A'B',交射线 OB 于 D,交射线 OA 于 C,则 C,D 为两岸的装货地点,A'B' 的长是货船行驶的水路最短路程.
∵ OA=OA'=2,OB=OB'=1,A'B'=$\sqrt{3}$,
∴ $OA'^2=OB'^2+A'B'^2$,
∴ ∠OB'A' = 90°. 延长 OB' 至点 E,使 B'E=OB',连接 A'E,
∴ A'B' 是 OE 的垂直平分线,
∴ OA'=EA'.
∵ OA'=2OB',
∴ OE=2OB'=OA',
∴ OA'=EA'=OE,则△OEA' 为等边三角形,
∴ ∠A'OB' = 60°.
∴ 由对称的性质知∠AOB=∠A'OB=∠B'OA=$\frac{1}{3}×60°=20°$. 故选 B.

2[2025甘肃武威凉州区期中,较难]如图所示,已知△ABC中,BC=16 cm,AC=20 cm,AB=12 cm,点P是BC边上的一个动点,点P从点B开始沿B→C→A方向运动,速度为每秒2 cm,设运动的时间为t秒,若△ABP是以AB为腰的等腰三角形,则t=.

2.6或12或10.8 【解析】
∵ BC = 16 cm, AC = 20 cm, AB = 12 cm,
∴ $BC^2+AB^2=AC^2$,
∴ ∠B = 90°. 点 P 在 BC 上时,当以 AB,PB 为腰时,如图(1),此时 AB=PB=12 cm,
∴ t=12÷2=6.
点 P 在 AC 上时,当以 AB,PA 为腰时,如图(2),此时 AP=AB=12 cm,
∴ BC+PC=16+20-12=24(cm),
∴ t=24÷2=12;
当以 AB,PB 为腰时,如图(3),此时 AB=BP=12 cm,过点 B 作 BD ⊥ AC 于 D,则 AD=PD.
∵ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×BC=\frac{1}{2}×AC×BD$,
∴ 12×16=20BD,
∴ BD = 9.6 cm. 由勾股定理得 $AD^2=AB^2-BD^2=12^2-9.6^2=7.2^2$,
∴ AD = 7.2 cm,
∴ AP=2AD=14.4 cm,
∴ t=(16+20-14.4)÷2=10.8.
综上所述,t 的值是 6 或 12 或 10.8. 故答案为 6 或 12 或 10.8.

3[2026山东日照期中,中]阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题:如图(1),在正三角形ABC内有一点P,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.
小伟是这样思考的:如图(2),利用旋转构造△AP'C,连接PP',得到两个特殊的三角形,从而将问题解决.
(1)图(1)中∠APB的度数等于.(直接写答案)
如图(3),在正方形ABCD内有一点P,且PA=2√2,PB=1,PD=√17.
参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:
(2)求∠APB的度数.

3.【解】(1)
∵ △ABC 是正三角形,
∴ AB=AC,∠BAC=60°. 将△APB 绕点 A 逆时针旋转 60°至△AP'C,连接 PP'. 由旋转得 AP=AP'=3,P'C=PB=4,∠PAP' = ∠BAC = 60°,
∴ △APP' 是等边三角形,
∴ ∠AP'P = 60°,PP' = AP = AP'=3. 在△PP'C 中,PP' = 3,P'C = 4,PC = 5,
∵ $3^2+4^2=5^2$,即 $PP'^2+P'C^2=PC^2$,
∴ △PP'C 是直角三角形,且∠PP'C=90°,
∴ ∠AP'C=∠AP'P+∠PP'C=60°+90°=150°. 由旋转得∠APB = ∠AP'C,
∴ ∠APB = 150°,故答案为 150°.
(2)
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠DAB = 90°. 如图,将△APB 绕点 A 逆时针旋转 90°至△AP'D,连接 PP',
∴ AP=AP',∠PAP'=90°,P'D=PB=1,
∴ ∠AP'P=∠APP'=45°.
∵ PA=$2\sqrt{2}$,
∴ $PP'^2=PA^2+P'A^2=(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=16$,
∴ PP' = 4.
∵ PD=$\sqrt{17}$,P'D = 1,
∴ $PP'^2+P'D^2=16+1=17=PD^2$,
∴ △PDP' 是直角三角形,且∠PP'D = 90°.
∵ ∠AP'P = 45°,
∴ ∠AP'D = ∠AP'P + ∠PP'D = 45° + 90° = 135°,
∴ ∠APB = ∠AP'D=135°.
思路分析
(1) 把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP'C,由旋转的性质可得P'A = PA,P'C= PB,∠PAP' = 60°,可得△APP'是等边三角形,由等边三角形的性质求出PP' = PA = 3,∠AP'P = 60°,再由勾股定理的逆定理求出∠PP'C=90°,即可求出∠AP'C 的度数,即为∠APB的度数;
(2) 把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AP'D,由旋转的性质可得P'A = PA,P'D= PB,∠PAP' = 90°,则∠AP'P = 45°,由勾股定理求出PP',再利用勾股定理的逆定理求出∠PP'D = 90°,进而求出∠AP'D 的度数,即为∠APB的度数.

4 核心素养 几何直观 [2026江苏宿迁期中,较难]在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是AB,BC上的点,连接DE.
(1)若点E为BC的中点,BC=8,DE=3,BD=5,则△BDE是三角形.(填“等腰”“等边”或“直角”)
(2)如图(1),连接AE,若AE平分∠BAC,DE⊥AB,BD=4,BC=8,则BE=.
(3)如图(2),若AD=AC,DE⊥AB,求证:点E在∠BAC的平分线上.
(4)如图(3),点P在AC上运动,PD始终保持与PA相等,EF是BD的垂直平分线,交BD于点F.
①判断DE与DP的位置关系,并说明理由.
②若AC=4,BC=6,PA=1,求线段DE的长.

4.(1)【解】
∵ 点 E 为 BC 的中点,BC=8,
∴ $BE=\frac{1}{2}BC=4$.
∵ DE = 3,BD = 5,且 $3^2+4^2=5^2$,
∴ $DE^2+BE^2=BD^2$,
∴ △BDE 是直角三角形,故答案为直角.
(2)【解】
∵ AE 平分∠BAC,DE⊥AB,∠ACB = 90°,
∴ CE=DE. 设 BE=a,则 DE=CE=8-a. 在Rt△BDE 中,$BD^2+DE^2=BE^2$,
∴ 16 + $(8-a)^2=a^2$,
∴ a=5,即 BE=5,故答案为 5.
(3)【证明】如图(1),连接 AE.
∵ DE ⊥ AB,
∴ ∠ADE=∠C=90°. 在 Rt△ADE 和 Rt△ACE 中,$\begin{cases} AE=AE, \\ AD=AC, \end{cases}$
∴ Rt△ADE ≌ Rt△ACE (HL),
∴ ∠CAE = ∠DAE,
∴ AE 平分∠CAB,
∴ 点 E 在∠BAC 的平分线上.
(4)【解】①DE ⊥ DP. 理由如下:
由题意知,PD = PA,
∴ ∠A = ∠PDA.
∵ EF 是 BD 的垂直平分线,
∴ DE = BE,
∴ ∠EDB = ∠B.
∵ ∠A+∠B = 180°-∠C = 90°,
∴ ∠PDA+∠EDB = ∠A+∠B = 90°,
∴ ∠PDE = 180°-(∠PDA+∠EDB)=90°,
∴ DE ⊥ DP.
②如图(2),连接 PE. 设 DE=BE=x,则 CE = 6 - x.
∵ PA = 1,AC = 4,
∴ PD = 1,PC = 3. 由勾股定理,得 $PE^2=PC^2+CE^2=3^2+(6-x)^2$,$PE^2=PD^2+DE^2=1^2+x^2$,
∴ $3^2+(6-x)^2=1^2+x^2$,
∴ $x=\frac{11}{3}$,
∴ 线段 DE 的长为$\frac{11}{3}$.