4. 如果单项式 $ xy^{b+1} $ 与 $ -\dfrac{1}{3}x^{a+2}y^3 $ 的差是单项式，则关于 $ x $ 的方程 $ ax + b = 0 $ 的解是 ()

A.$ x=1 $
B.$ x=-1 $
C.$ x=2 $
D.$ x=-2 $

C

【分析】
解题的第一步先理解“两个单项式的差是单项式”的含义：只有两个单项式是同类项时，它们合并（相减）的结果才是单项式。接下来根据同类项“所含字母相同，且相同字母的指数也相等”的特征，分别列出关于a、b的等式，算出a、b的取值后，代入一元一次方程ax+b=0，按照移项、系数化为1的步骤解方程即可得到答案。
【解析】
∵ 单项式$xy^{b+1}$与$-\dfrac{1}{3}x^{a+2}y^3$的差是单项式
∴ 这两个单项式是同类项
根据同类项的定义可得：
$\begin{cases}a + 2 = 1 \\b + 1 = 3\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a = -1 \\b = 2\end{cases}$
将$a=-1$，$b=2$代入方程$ax + b = 0$，得：
$-x + 2 = 0$
移项，得：$-x = -2$
系数化为1，得：$x = 2$
【答案】
C
【知识点】
同类项的定义，解一元一次方程
【点评】
本题是基础综合题，解题核心是通过“差为单项式”判断出两个单项式为同类项，再结合一元一次方程的解法求解，这类题型是整式与方程结合的常考题型。
【难度系数】
0.8

5. 如果代数式$5x+4$的值与-1互为倒数，那么$x$的值是。

解：根据题意，得
$5x + 4 = -1$
移项，得
$5x = -1 - 4$
合并同类项，得
$5x = -5$
系数化为1，得
$x = -1$

【分析】
解题首先要明确倒数的定义：若两个数互为倒数，则它们的乘积为1。先计算出-1的倒数为$1÷(-1)=-1$，由此可列出关于$x$的一元一次方程$5x+4=-1$，再按照解一元一次方程的步骤：移项、合并同类项、系数化为1逐步计算，即可求出$x$的值。
【解析】
根据倒数的定义，与-1互为倒数的数为$\frac{1}{-1}=-1$，结合题意列方程得：
$5x + 4 = -1$
移项，得：
$5x = -1 - 4$
合并同类项，得：
$5x = -5$
系数化为1，得：
$x = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
倒数的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是先根据倒数的性质列出正确的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤求解即可，计算时注意移项要变号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8

6. 解下列方程：
(1) $4x + 1 = 2x - 7$；
(2) $2 - 0.25x = 3$；
(3) $\frac{1}{2}x + \frac{2}{5} = \frac{3}{4} ÷ \frac{1}{4}$。

解：
(1) 移项，得$4x - 2x = -7 - 1$
合并同类项，得$2x = -8$
系数化为1，得$x = -4$
(2) 移项，得$-0.25x = 3 - 2$
合并同类项，得$-0.25x = 1$
系数化为1，得$x = -4$
(3) 先计算方程右侧：$\frac{3}{4} ÷ \frac{1}{4} = 3$
原方程化为$\frac{1}{2}x + \frac{2}{5} = 3$
移项，得$\frac{1}{2}x = 3 - \frac{2}{5}$
合并同类项，得$\frac{1}{2}x = \frac{13}{5}$
系数化为1，得$x = \frac{26}{5}$

【分析】这三道是一元一次方程的基础求解题目，解题思路遵循一元一次方程的标准求解步骤：
1. 先处理方程中能直接计算的部分：比如第(3)题右侧是分数除法，先算出结果化简方程；
2. 移项：把所有含未知数x的项移到方程左边，常数项移到方程右边，注意移项要改变符号；
3. 合并同类项：将方程整理为“ax=b（a≠0）”的形式；
4. 系数化为1：方程两边同时除以x的系数a，即可得到x的解。
【解析】
(1) 移项，得$4x - 2x = -7 - 1$
合并同类项，得$2x = -8$
系数化为1，得$x = -4$
(2) 移项，得$-0.25x = 3 - 2$
合并同类项，得$-0.25x = 1$
系数化为1，得$x = -4$
(3) 先计算方程右侧：$\frac{3}{4} ÷ \frac{1}{4} = 3$
原方程化为$\frac{1}{2}x + \frac{2}{5} = 3$
移项，得$\frac{1}{2}x = 3 - \frac{2}{5}$
合并同类项，得$\frac{1}{2}x = \frac{13}{5}$
系数化为1，得$x = \frac{26}{5}$
【答案】
(1) $x=-4$；(2) $x=-4$；(3) $x=\frac{26}{5}$
【知识点】
一元一次方程解法、移项法则、有理数混合运算
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，核心考查解一元一次方程的常规步骤，解题时需注意移项要变号，涉及小数、分数的运算要仔细计算，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8

7. 观察下列四个方程及它们的变形：
①$4x+8=0$，变形为$x+2=0$； ②$x+7=5-3x$，变形为$4x=-2$； ③$-\dfrac{2}{5}x=3$，变形为$2x=-15$；
④$4x=-2$，变形为$x=-2$。
其中变形正确的是 （）

A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②④

A

【分析】
本题考查等式的基本性质在一元一次方程变形中的应用，解题思路如下：首先牢记等式变形的两个核心规则：1. 等式两边同时加或减同一个数/整式，等式仍然成立；2. 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来逐一验证4个变形是否符合上述规则，排除变形错误的选项，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个判断每个变形的正确性：
① 对于方程$4x+8=0$，等式两边同时除以不为0的数4，每一项都除以4可得$x+2=0$，变形正确；
② 对于方程$x+7=5-3x$，移项（移项要变号）将含$x$的项移到左边、常数项移到右边，得$x+3x=5-7$，合并同类项后得$4x=-2$，变形正确；
③ 对于方程$-\dfrac{2}{5}x=3$，等式两边同时乘$-5$，左边计算得$2x$，右边计算得$3×(-5)=-15$，即$2x=-15$，变形正确；
④ 对于方程$4x=-2$，系数化为1时等式两边要同时除以4，得$x=-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{2}$，题目变形为$x=-2$，未给右边常数项除以4，变形错误。
综上，变形正确的是①②③，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程变形；移项法则
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元一次方程变形的基本规则，解题时需注意移项要变号，系数化为1时要保证等式两边同时除以系数，避免漏除常数项的错误。
【难度系数】
0.8

8. 当x的取值不同时,整式$ax-b$(其中$a,b$是常数)的值也不同,具体情况如下表所示：
则关于$x$的方程$ax=b-2$的解为 ()

A.$x=-2$
B.$x=-1$
C.$x=0$
D.$x=1$

C

【分析】
我们有两种思路解这道题：第一种是先对所求方程变形，将其转化为和表格中整式$ax-b$相关的形式，移项可得$ax-b=-2$，直接查找表格中$ax-b=-2$对应的$x$值，就是方程的解；第二种是先选取表格中两组$x$和对应$ax-b$的值，求出常数$a$、$b$，再代入目标方程求解$x$，两种方法均可得到结果，第一种更简便。
【解析】
方法一：
对原方程$ax = b - 2$移项，可得$ax - b = -2$。
观察表格数据，当$ax-b$的取值为$-2$时，对应的$x$值为$0$，因此方程$ax = b - 2$的解为$x=0$。
方法二：
选取表格中的两组值求参数$a$、$b$：
1. 当$x=0$时，$ax-b=-2$，代入得$0 - b = -2$，解得$b=2$；
2. 当$x=-1$时，$ax-b=0$，将$b=2$代入得$-a -2=0$，解得$a=-2$。
把$a=-2$、$b=2$代入方程$ax = b - 2$，得：
$-2x = 2 - 2$
$-2x = 0$
解得$x=0$。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解，等式的性质，代数式求值
【点评】
本题解法灵活，既可以结合表格数据快速得到答案，也可以通过求参数再解方程得到结果，考查对一元一次方程相关知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8

9. 写出一个满足下列条件的一元一次方程:①未知数的系数是-3;②方程的解是2;③求方程解时,一定要有移项这步运算。则这样的方程可以是。

解：
因为方程未知数的系数是-3，解是2，所以当x=2时，-3x=-6。
为满足求解时必须有移项运算，将常数项拆分到等号两侧，例如在等式-3x=-6两边同时加2，可得：
$-3x + 2 = -4$
验证：该方程x的系数为-3，代入x=2时左边=-3×2+2=-4，等于右边，解方程时需要移项得到-3x=-4-2，符合所有条件。
故答案为：$\boldsymbol{-3x + 2 = -4}$（答案不唯一）。

【分析】
我们可以分步匹配题干要求构造符合条件的方程：第一步先满足“未知数系数为-3、方程的解是2”两个条件，将x=2代入系数为-3的含未知数项，可得-3×2=-6，得到基础等式-3x=-6；第二步满足“解方程时有移项步骤”的要求，若方程两边仅为单独的含未知数项和常数项，解方程无需移项，因此我们可以在等式两边同时加同一个常数，把常数项拆分到等号两侧，这样解方程时就需要先移项，即可得到符合要求的方程。
【解析】
首先根据未知数系数为-3，方程的解是x=2，可得当x=2时，-3x=-3×2=-6，得到基础等式：$-3x=-6$。
为了让解方程时有移项步骤，我们在等式两边同时加同一个常数，例如同时加2，可得：
$-3x + 2 = -6 + 2$，整理得$\boldsymbol{-3x + 2 = -4}$。
验证：①未知数x的系数是-3，符合条件；②把x=2代入方程左边：$-3×2 + 2 = -4$，与右边相等，因此x=2是该方程的解，符合条件；③解方程时，需要先把+2移到等号右侧，得到$-3x = -4 - 2$，存在移项步骤，符合条件。
注：答案不唯一，只要同时满足三个条件即可，例如$-3x-1=-7$等也符合要求。
【答案】
$-3x + 2 = -4$（答案不唯一）
【知识点】
一元一次方程的定义；一元一次方程的解；移项法则
【点评】
本题属于开放性构造类题目，核心考查对一元一次方程相关概念和解法步骤的理解，需要学生反向推导构造方程，构造完成后要逐一核对所有题干条件，避免遗漏要求导致出错。
【难度系数】
0.7