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6.一项工作,甲单独做8天可以完成,乙单独做4天可以完成,现在甲先做2天,剩下的工作由乙继续完成,乙还需要多少天可以完成这项工作? 设乙还需x天可以完成这项工作,可列方程为
$2×\frac{1}{8}+\frac{1}{4}x=1$
.答案
6. $2×\frac{1}{8}+\frac{1}{4}x=1$
解析
【分析】
这是典型的工程类一元一次方程应用题，解题时先把总工作量看作单位“1”，根据“工作效率=总工作量÷单独完成的总时间”分别算出甲、乙的工作效率；再找等量关系：甲先做的工作量 + 乙后续完成的工作量 = 总工作量，最后将对应数值和未知数代入等量关系即可列出方程。
【解析】
我们将这项工作的总工作量记为单位“1”：
1. 计算工作效率：甲单独做8天完成，所以甲的工作效率为$\frac{1}{8}$；乙单独做4天完成，所以乙的工作效率为$\frac{1}{4}$。
2. 计算各部分工作量：甲先做2天，完成的工作量为$2×\frac{1}{8}$；乙做$x$天，完成的工作量为$\frac{1}{4}x$。
3. 根据等量关系“甲完成的工作量 + 乙完成的工作量 = 总工作量1”，可列方程：$2×\frac{1}{8}+\frac{1}{4}x=1$。
【答案】
$2×\frac{1}{8}+\frac{1}{4}x=1$
【知识点】
1. 工程问题数量关系
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于工程问题的基础题型，核心是掌握将总工作量设为单位“1”的常用思路，明确工作效率、工作时间、工作量三者的对应关系，准确找到总量与各部分量之间的等量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程类一元一次方程应用题，解题时先把总工作量看作单位“1”，根据“工作效率=总工作量÷单独完成的总时间”分别算出甲、乙的工作效率；再找等量关系：甲先做的工作量 + 乙后续完成的工作量 = 总工作量，最后将对应数值和未知数代入等量关系即可列出方程。
【解析】
我们将这项工作的总工作量记为单位“1”：
1. 计算工作效率：甲单独做8天完成，所以甲的工作效率为$\frac{1}{8}$；乙单独做4天完成，所以乙的工作效率为$\frac{1}{4}$。
2. 计算各部分工作量：甲先做2天，完成的工作量为$2×\frac{1}{8}$；乙做$x$天，完成的工作量为$\frac{1}{4}x$。
3. 根据等量关系“甲完成的工作量 + 乙完成的工作量 = 总工作量1”，可列方程：$2×\frac{1}{8}+\frac{1}{4}x=1$。
【答案】
$2×\frac{1}{8}+\frac{1}{4}x=1$
【知识点】
1. 工程问题数量关系
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于工程问题的基础题型，核心是掌握将总工作量设为单位“1”的常用思路，明确工作效率、工作时间、工作量三者的对应关系，准确找到总量与各部分量之间的等量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7.某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织七年级200名学生搬桌椅.规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，则七年级学生最多可搬桌椅的套数(一桌一椅为一套)为
80
套.答案
7. 80
解析
【分析】
要让搬的桌椅套数最多，首先要保证搬的桌子数和椅子数相等（一桌一椅为一套），且搬桌椅的总人数恰好等于200人时，套数最多。我们可以设最多可搬x套桌椅，分别计算搬x张桌子、x把椅子需要的人数，根据总人数为200人的条件列方程求解即可。
【解析】
设七年级学生最多可搬$x$套桌椅，则需要搬$x$张桌子和$x$把椅子。
搬桌子的人数：两人一次搬1张桌子，搬$x$张桌子需要$2x$人；
搬椅子的人数：一人一次搬2把椅子，搬$x$把椅子需要$\frac{x}{2}$人。
根据总人数为200人，可列方程：
$2x + \frac{x}{2} = 200$
合并同类项得：$\frac{5x}{2}=200$
系数化为1得：$x=80$
【答案】
80
【知识点】
一元一次方程的实际应用，配套问题
【点评】
本题是常见的生活类配套应用题，解题核心是抓住配套关系和总人数的限制条件，将实际问题转化为一元一次方程求解，有助于提升学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
要让搬的桌椅套数最多，首先要保证搬的桌子数和椅子数相等（一桌一椅为一套），且搬桌椅的总人数恰好等于200人时，套数最多。我们可以设最多可搬x套桌椅，分别计算搬x张桌子、x把椅子需要的人数，根据总人数为200人的条件列方程求解即可。
【解析】
设七年级学生最多可搬$x$套桌椅，则需要搬$x$张桌子和$x$把椅子。
搬桌子的人数：两人一次搬1张桌子，搬$x$张桌子需要$2x$人；
搬椅子的人数：一人一次搬2把椅子，搬$x$把椅子需要$\frac{x}{2}$人。
根据总人数为200人，可列方程：
$2x + \frac{x}{2} = 200$
合并同类项得：$\frac{5x}{2}=200$
系数化为1得：$x=80$
【答案】
80
【知识点】
一元一次方程的实际应用，配套问题
【点评】
本题是常见的生活类配套应用题，解题核心是抓住配套关系和总人数的限制条件，将实际问题转化为一元一次方程求解，有助于提升学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
8.某城市下水管道工程由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要10天和15天完成，如果两队从两端同时施工2天，剩下的由乙单独完成，则还需
10
天完成.答案
8. 10
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时首先将总工作量看作单位“1”，根据“工作效率=1÷单独完成总工作的时间”可算出甲、乙两队各自的工作效率。本题的等量关系为：两队合作2天的工作量 + 乙单独完成剩余部分的工作量 = 总工作量1，我们设还需x天完成，根据等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设剩下的工程由乙单独完成还需x天，把总工作量看作单位“1”。
由题意得，甲队的工作效率为$\frac{1}{10}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{15}$，根据等量关系列方程：
$2×(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}) + \frac{1}{15}x = 1$
先计算括号内的部分：$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3+2}{30}=\frac{1}{6}$
代入方程化简得：$\frac{1}{3} + \frac{x}{15}=1$
移项得：$\frac{x}{15}=\frac{2}{3}$
解得：$x=10$
【答案】
10
【知识点】
工程问题解法；一元一次方程的应用；工作量计算公式
【点评】
本题是工程类应用题的基础题型，解题核心是将总工作量默认为单位“1”，准确找到各部分工作量与总工作量的等量关系，考查学生对基础数量关系的掌握和列方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程问题，解题时首先将总工作量看作单位“1”，根据“工作效率=1÷单独完成总工作的时间”可算出甲、乙两队各自的工作效率。本题的等量关系为：两队合作2天的工作量 + 乙单独完成剩余部分的工作量 = 总工作量1，我们设还需x天完成，根据等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设剩下的工程由乙单独完成还需x天，把总工作量看作单位“1”。
由题意得，甲队的工作效率为$\frac{1}{10}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{15}$，根据等量关系列方程：
$2×(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}) + \frac{1}{15}x = 1$
先计算括号内的部分：$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3+2}{30}=\frac{1}{6}$
代入方程化简得：$\frac{1}{3} + \frac{x}{15}=1$
移项得：$\frac{x}{15}=\frac{2}{3}$
解得：$x=10$
【答案】
10
【知识点】
工程问题解法；一元一次方程的应用；工作量计算公式
【点评】
本题是工程类应用题的基础题型，解题核心是将总工作量默认为单位“1”，准确找到各部分工作量与总工作量的等量关系，考查学生对基础数量关系的掌握和列方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
9.用硬纸制作圆柱形茶叶筒，每张硬纸可制筒身15个或筒底36个（硬纸恰好无剩余），一个筒身和两个筒底配成一个茶叶筒.现有110张硬纸，用多少张硬纸制作筒身、多少张硬纸制作筒底可以正好制成整套茶叶筒且无剩余硬纸？共能做几套？
答案
9. 用60张硬纸制作筒身,用50张硬纸制作筒底,可正好制成整套茶叶筒且无剩余.共能做900套茶叶筒.
解析
【分析】
这是典型的一元一次方程配套类应用题，解题思路如下：首先明确已知条件：总共有110张硬纸，每张硬纸可做15个筒身或36个筒底，1个筒身需要搭配2个筒底才能组成一套。其次找等量关系：①制作筒身的硬纸张数+制作筒底的硬纸张数=110；②要刚好配套，筒底的总数量=2×筒身的总数量。最后设未知数列方程求解，再验证结果是否符合无剩余、刚好配套的要求，进而计算总套数。
【解析】
解：设用$ x $张硬纸制作筒身，则用$ (110-x) $张硬纸制作筒底。
根据配套时筒底数量是筒身数量的2倍，列方程：
$ 36(110 - x) = 2 × 15x $
展开计算得：
$ 3960 - 36x = 30x $
移项合并同类项得：
$ 66x = 3960 $
解得：$ x = 60 $
制作筒底的硬纸张数为：$ 110 - 60 = 50 $（张）
总套数等于筒身的总数量：$ 15 × 60 = 900 $（套）
验证：筒底总数量为$ 36 × 50 = 1800 $个，$ 1800 = 2 × 900 $，符合配套要求，且$ 60+50=110 $，硬纸无剩余，结果正确。
【答案】
用60张硬纸制作筒身,用50张硬纸制作筒底,可正好制成整套茶叶筒且无剩余.共能做900套茶叶筒.
【知识点】
一元一次方程应用，配套问题
【点评】
本题是典型的配套类实际应用题，解题的核心是准确找到配套部件之间的数量比例关系，同时结合总材料的数量关系设未知数列方程求解，求解后可通过反向验证判断结果是否符合题意。
【难度系数】
0.7
这是典型的一元一次方程配套类应用题，解题思路如下：首先明确已知条件：总共有110张硬纸，每张硬纸可做15个筒身或36个筒底，1个筒身需要搭配2个筒底才能组成一套。其次找等量关系：①制作筒身的硬纸张数+制作筒底的硬纸张数=110；②要刚好配套，筒底的总数量=2×筒身的总数量。最后设未知数列方程求解，再验证结果是否符合无剩余、刚好配套的要求，进而计算总套数。
【解析】
解：设用$ x $张硬纸制作筒身，则用$ (110-x) $张硬纸制作筒底。
根据配套时筒底数量是筒身数量的2倍，列方程：
$ 36(110 - x) = 2 × 15x $
展开计算得：
$ 3960 - 36x = 30x $
移项合并同类项得：
$ 66x = 3960 $
解得：$ x = 60 $
制作筒底的硬纸张数为：$ 110 - 60 = 50 $（张）
总套数等于筒身的总数量：$ 15 × 60 = 900 $（套）
验证：筒底总数量为$ 36 × 50 = 1800 $个，$ 1800 = 2 × 900 $，符合配套要求，且$ 60+50=110 $，硬纸无剩余，结果正确。
【答案】
用60张硬纸制作筒身,用50张硬纸制作筒底,可正好制成整套茶叶筒且无剩余.共能做900套茶叶筒.
【知识点】
一元一次方程应用，配套问题
【点评】
本题是典型的配套类实际应用题，解题的核心是准确找到配套部件之间的数量比例关系，同时结合总材料的数量关系设未知数列方程求解，求解后可通过反向验证判断结果是否符合题意。
【难度系数】
0.7
10.某制衣厂计划若干天完成一批服装的订单任务，如果每天生产服装20套，那么就比订单任务少生产100套；如果每天生产服装23套，那么就可超过订单任务20套，这批订单任务有多少套？
答案
10. 900套
解析
【分析】
这是典型的盈亏类一元一次方程应用题，解题时首先要找到题目中的不变量：这批订单的总套数和原计划的生产天数是固定不变的。我们可以先设原计划生产天数为未知数x，分别用含x的式子表示出两种生产情况对应的订单总套数，根据订单总套数相等建立等量关系，列方程求解出天数后，再代入计算出订单总套数即可。
【解析】
解：设原计划x天完成这批订单任务。
根据订单总套数不变，可列方程：
$20x + 100 = 23x - 20$
移项得：$23x - 20x = 100 + 20$
合并同类项得：$3x = 120$
系数化为1得：$x = 40$
将$x=40$代入$20x + 100$，可得订单总套数为：
$20×40 + 100 = 900$（套）
检验：如果每天生产23套，40天可生产$23×40=920$套，比900套多20套，符合题意。
【答案】
900套
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 等量关系构建
【点评】
本题属于基础类实际应用问题，解题核心是抓住题目中不变的量建立等量关系，只要准确梳理不同生产方案下数量的对应关系，就能顺利列方程求解。
【难度系数】
0.8
这是典型的盈亏类一元一次方程应用题，解题时首先要找到题目中的不变量：这批订单的总套数和原计划的生产天数是固定不变的。我们可以先设原计划生产天数为未知数x，分别用含x的式子表示出两种生产情况对应的订单总套数，根据订单总套数相等建立等量关系，列方程求解出天数后，再代入计算出订单总套数即可。
【解析】
解：设原计划x天完成这批订单任务。
根据订单总套数不变，可列方程：
$20x + 100 = 23x - 20$
移项得：$23x - 20x = 100 + 20$
合并同类项得：$3x = 120$
系数化为1得：$x = 40$
将$x=40$代入$20x + 100$，可得订单总套数为：
$20×40 + 100 = 900$（套）
检验：如果每天生产23套，40天可生产$23×40=920$套，比900套多20套，符合题意。
【答案】
900套
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 等量关系构建
【点评】
本题属于基础类实际应用问题，解题核心是抓住题目中不变的量建立等量关系，只要准确梳理不同生产方案下数量的对应关系，就能顺利列方程求解。
【难度系数】
0.8
11.甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，若完不成视为违约，甲、乙两人经过商量后签订了该合同.
(1)正常情况下，甲、乙两人合作能否履行该合同？为什么？
(2)现在两人合作了9天，因别处有急事，必须调走1人，问：两人调走谁可以不违约？说明理由.
(1)正常情况下，甲、乙两人合作能否履行该合同？为什么？
(2)现在两人合作了9天，因别处有急事，必须调走1人，问：两人调走谁可以不违约？说明理由.
答案
11. (1)能履行该合同,理由如下：
设甲、乙两人合作需要x天完成,根据题意$(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})x=1$,解得$x=12$,
因为$12＜15$,所以甲、乙两人能履行该合同；
(2)调走甲不违约,理由如下:设两人合作了9天后,甲继续完成此项工程还需a天,则$\frac{9}{30}+\frac{9}{20}+\frac{a}{30}=1$,
解得,$a=7.5$,此时,$9+7.5=16.5＞15$,违约；
设两人合作了9天后,乙继续完成此项工程还需b天,则$\frac{9}{30}+\frac{9}{20}+\frac{b}{20}=1$,
解得$b=5$,此时,$9+5=14＜15$,不违约.综上所述:调走甲不违约.
设甲、乙两人合作需要x天完成,根据题意$(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})x=1$,解得$x=12$,
因为$12＜15$,所以甲、乙两人能履行该合同；
(2)调走甲不违约,理由如下:设两人合作了9天后,甲继续完成此项工程还需a天,则$\frac{9}{30}+\frac{9}{20}+\frac{a}{30}=1$,
解得,$a=7.5$,此时,$9+7.5=16.5＞15$,违约；
设两人合作了9天后,乙继续完成此项工程还需b天,则$\frac{9}{30}+\frac{9}{20}+\frac{b}{20}=1$,
解得$b=5$,此时,$9+5=14＜15$,不违约.综上所述:调走甲不违约.
解析
【分析】
本题是工程类的一元一次方程实际应用题，解题时先把总工作量看作单位“1”，依据“工作量=工作效率×工作时间”的等量关系列方程计算。
(1) 要判断两人合作能否履行合同，需先计算两人合作完成工程的总时长，再和15天对比：先得出甲、乙的工作效率分别为$\frac{1}{30}$、$\frac{1}{20}$，设合作共需x天完成，根据“合作效率×合作时间=总工作量1”列方程求解，再将计算出的x和15比较即可得到结论。
(2) 要确定调走谁不违约，需分两种情况讨论：先算出两人合作9天完成的工作量，再分别计算剩余工作量由甲单独完成、乙单独完成的时长，将“已工作的9天+单独完成剩余工作的时长”与15天比较，总时长≤15天则不违约，反之违约。
【解析】
(1) 能履行该合同，理由如下：
设甲、乙两人合作需要$x$天完成全部工程，根据题意列方程：
$(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})x=1$
解得$x=12$。
因为$12＜15$，所以正常情况下甲、乙两人能履行该合同。
(2) 调走甲可以不违约，理由如下：
若两人合作9天后调走乙，剩下的由甲单独完成，设甲还需$a$天完成，根据题意列方程：
$\frac{9}{30}+\frac{9}{20}+\frac{a}{30}=1$
解得$a=7.5$，此时总时长为$9+7.5=16.5＞15$，属于违约。
若两人合作9天后调走甲，剩下的由乙单独完成，设乙还需$b$天完成，根据题意列方程：
$\frac{9}{30}+\frac{9}{20}+\frac{b}{20}=1$
解得$b=5$，此时总时长为$9+5=14＜15$，不违约。
综上，调走甲可以不违约。
【答案】
(1) 能履行该合同，甲、乙合作12天即可完成工程，小于合同规定的15天；
(2) 调走甲不违约，合作9天后剩余工作由乙单独完成仅需5天，总时长14天不超过15天，若调走乙总时长达16.5天，超出规定期限违约。
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 工程问题
3. 工作量计算公式
【点评】
本题是工程问题的常规考法，核心是将总工作量设为单位“1”，结合工作量的等量关系列一元一次方程求解，第二问需要分两种情况分别计算后对比判断，考查学生分类讨论的意识和用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是工程类的一元一次方程实际应用题，解题时先把总工作量看作单位“1”，依据“工作量=工作效率×工作时间”的等量关系列方程计算。
(1) 要判断两人合作能否履行合同，需先计算两人合作完成工程的总时长，再和15天对比：先得出甲、乙的工作效率分别为$\frac{1}{30}$、$\frac{1}{20}$，设合作共需x天完成，根据“合作效率×合作时间=总工作量1”列方程求解，再将计算出的x和15比较即可得到结论。
(2) 要确定调走谁不违约，需分两种情况讨论：先算出两人合作9天完成的工作量，再分别计算剩余工作量由甲单独完成、乙单独完成的时长，将“已工作的9天+单独完成剩余工作的时长”与15天比较，总时长≤15天则不违约，反之违约。
【解析】
(1) 能履行该合同，理由如下：
设甲、乙两人合作需要$x$天完成全部工程，根据题意列方程：
$(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})x=1$
解得$x=12$。
因为$12＜15$，所以正常情况下甲、乙两人能履行该合同。
(2) 调走甲可以不违约，理由如下：
若两人合作9天后调走乙，剩下的由甲单独完成，设甲还需$a$天完成，根据题意列方程：
$\frac{9}{30}+\frac{9}{20}+\frac{a}{30}=1$
解得$a=7.5$，此时总时长为$9+7.5=16.5＞15$，属于违约。
若两人合作9天后调走甲，剩下的由乙单独完成，设乙还需$b$天完成，根据题意列方程：
$\frac{9}{30}+\frac{9}{20}+\frac{b}{20}=1$
解得$b=5$，此时总时长为$9+5=14＜15$，不违约。
综上，调走甲可以不违约。
【答案】
(1) 能履行该合同，甲、乙合作12天即可完成工程，小于合同规定的15天；
(2) 调走甲不违约，合作9天后剩余工作由乙单独完成仅需5天，总时长14天不超过15天，若调走乙总时长达16.5天，超出规定期限违约。
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 工程问题
3. 工作量计算公式
【点评】
本题是工程问题的常规考法，核心是将总工作量设为单位“1”，结合工作量的等量关系列一元一次方程求解，第二问需要分两种情况分别计算后对比判断，考查学生分类讨论的意识和用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
