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9.若$a ＜ c ＜ 0 ＜ b$，则$abc$与0的大小关系是(
A.$abc ＜ 0$
B.$abc = 0$
C.$abc ＞ 0$
D.无法确定
C
)。A.$abc ＜ 0$
B.$abc = 0$
C.$abc ＞ 0$
D.无法确定
答案
9. C
解析
【分析】
要判断abc与0的大小关系，需先根据有理数乘法的符号法则确定abc的正负。解题第一步先根据已知的大小关系，确定a、b、c三个数的正负性；第二步数出三个数中负因数的个数；第三步根据“几个不为0的数相乘，负因数个数为偶数时积为正，负因数个数为奇数时积为负”的法则判断积的符号，即可得到大小关系。
【解析】
已知$a ＜ c ＜ 0 ＜ b$，由此可得：
$a$是负数，$c$是负数，$b$是正数，三个数都不为0，其中负因数的个数为2，是偶数。
根据有理数乘法的符号规律：几个不为0的数相乘，当负因数的个数为偶数时，乘积为正数。
因此$abc＞0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘法法则；正负数的判定
【点评】
本题重点考查有理数乘法符号规律的应用，解题核心是准确判断每个因数的正负，再通过负因数的个数确定积的符号，属于基础题型，熟练掌握相关法则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要判断abc与0的大小关系，需先根据有理数乘法的符号法则确定abc的正负。解题第一步先根据已知的大小关系，确定a、b、c三个数的正负性；第二步数出三个数中负因数的个数；第三步根据“几个不为0的数相乘，负因数个数为偶数时积为正，负因数个数为奇数时积为负”的法则判断积的符号，即可得到大小关系。
【解析】
已知$a ＜ c ＜ 0 ＜ b$，由此可得：
$a$是负数，$c$是负数，$b$是正数，三个数都不为0，其中负因数的个数为2，是偶数。
根据有理数乘法的符号规律：几个不为0的数相乘，当负因数的个数为偶数时，乘积为正数。
因此$abc＞0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘法法则；正负数的判定
【点评】
本题重点考查有理数乘法符号规律的应用，解题核心是准确判断每个因数的正负，再通过负因数的个数确定积的符号，属于基础题型，熟练掌握相关法则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
10.若$a$，$b$互为相反数，$c$，$d$互为倒数，则$\dfrac{cd}{5} × (a + b)=$
0
。答案
10. 0
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数和倒数的基本性质：互为相反数的两个数之和为0，互为倒数的两个数之积为1。先根据性质求出a+b和cd的值，再代入所求代数式计算即可，注意0乘任何数都得0的运算规律可以帮我们快速得到结果。
【解析】
解：
∵a，b互为相反数，
∴a + b = 0，
∵c，d互为倒数，
∴cd = 1，
将a + b = 0，cd = 1代入代数式得：
$\dfrac{cd}{5} × (a + b) = \dfrac{1}{5} × 0 = 0$
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；有理数乘法运算
【点评】
本题考查基础代数性质的应用，核心是熟练记忆相反数、倒数的定义性质，代入计算时注意0的乘法特性可简化运算，是对基础概念掌握程度的考查。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相反数和倒数的基本性质：互为相反数的两个数之和为0，互为倒数的两个数之积为1。先根据性质求出a+b和cd的值，再代入所求代数式计算即可，注意0乘任何数都得0的运算规律可以帮我们快速得到结果。
【解析】
解：
∵a，b互为相反数，
∴a + b = 0，
∵c，d互为倒数，
∴cd = 1，
将a + b = 0，cd = 1代入代数式得：
$\dfrac{cd}{5} × (a + b) = \dfrac{1}{5} × 0 = 0$
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；有理数乘法运算
【点评】
本题考查基础代数性质的应用，核心是熟练记忆相反数、倒数的定义性质，代入计算时注意0的乘法特性可简化运算，是对基础概念掌握程度的考查。
【难度系数】
0.9
11.计算：
(1)$(0.5 - 2 - \frac{4}{9} + \frac{5}{6} - \frac{7}{12}) × (-36)$；
(2)$(+\frac{22}{7}) × (\frac{22}{7} - \frac{22}{3}) × \frac{7}{22} × \frac{21}{22}$；
(3)$(-370) × (-\frac{1}{4}) + 0.25 × 24.5 + (+\frac{11}{2}) × \frac{1}{4}$。
(1)$(0.5 - 2 - \frac{4}{9} + \frac{5}{6} - \frac{7}{12}) × (-36)$；
(2)$(+\frac{22}{7}) × (\frac{22}{7} - \frac{22}{3}) × \frac{7}{22} × \frac{21}{22}$；
(3)$(-370) × (-\frac{1}{4}) + 0.25 × 24.5 + (+\frac{11}{2}) × \frac{1}{4}$。
答案
11. (1) 61
(2) -4
(3) 100
(2) -4
(3) 100
解析
【分析】
这三道题均为有理数混合运算题，可通过观察算式特征，运用运算律简化计算：
(1) 括号内各数的分母均为36的因数，直接运用乘法分配律将括号内每一项乘-36，可省去通分步骤，同时注意每一项的符号处理；
(2) 观察到有互为倒数的因数$\frac{22}{7}$和$\frac{7}{22}$，先利用乘法交换律、结合律将可约分的数优先计算，剩余部分再用乘法分配律展开约分，降低计算量；
(3) 三个项中均含公因数$\frac{1}{4}$（$0.25=\frac{1}{4}$），先统一形式后提取公因数，再计算剩余部分的和，最后相乘即可。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=0.5×(-36) + (-2)×(-36) + (-\frac{4}{9})×(-36) + \frac{5}{6}×(-36) + (-\frac{7}{12})×(-36)\\&=-18 + 72 + 16 - 30 + 21\\&=(-18-30)+(72+16+21)\\&=-48 + 109\\&=61\end{aligned}$
(2) 利用乘法交换律、结合律和分配律计算：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{22}{7}×\frac{7}{22}) × [(\frac{22}{7}-\frac{22}{3})×\frac{21}{22}]\\&=1×(\frac{22}{7}×\frac{21}{22} - \frac{22}{3}×\frac{21}{22})\\&=3 - 7\\&=-4\end{aligned}$
(3) 统一公因数后提取公因式计算：
$\begin{aligned}原式&=370×\frac{1}{4} + 24.5×\frac{1}{4} + 5.5×\frac{1}{4}\\&=\frac{1}{4}×(370 + 24.5 + 5.5)\\&=\frac{1}{4}×400\\&=100\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{61}$；(2) $\boxed{-4}$；(3) $\boxed{100}$
【知识点】
乘法分配律；乘法交换律与结合律；有理数混合运算
【点评】
这是有理数简便运算的典型题型，核心是观察算式中数字的特征，灵活选用运算律简化计算，可有效避免通分、硬算带来的计算错误，提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
这三道题均为有理数混合运算题，可通过观察算式特征，运用运算律简化计算：
(1) 括号内各数的分母均为36的因数，直接运用乘法分配律将括号内每一项乘-36，可省去通分步骤，同时注意每一项的符号处理；
(2) 观察到有互为倒数的因数$\frac{22}{7}$和$\frac{7}{22}$，先利用乘法交换律、结合律将可约分的数优先计算，剩余部分再用乘法分配律展开约分，降低计算量；
(3) 三个项中均含公因数$\frac{1}{4}$（$0.25=\frac{1}{4}$），先统一形式后提取公因数，再计算剩余部分的和，最后相乘即可。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=0.5×(-36) + (-2)×(-36) + (-\frac{4}{9})×(-36) + \frac{5}{6}×(-36) + (-\frac{7}{12})×(-36)\\&=-18 + 72 + 16 - 30 + 21\\&=(-18-30)+(72+16+21)\\&=-48 + 109\\&=61\end{aligned}$
(2) 利用乘法交换律、结合律和分配律计算：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{22}{7}×\frac{7}{22}) × [(\frac{22}{7}-\frac{22}{3})×\frac{21}{22}]\\&=1×(\frac{22}{7}×\frac{21}{22} - \frac{22}{3}×\frac{21}{22})\\&=3 - 7\\&=-4\end{aligned}$
(3) 统一公因数后提取公因式计算：
$\begin{aligned}原式&=370×\frac{1}{4} + 24.5×\frac{1}{4} + 5.5×\frac{1}{4}\\&=\frac{1}{4}×(370 + 24.5 + 5.5)\\&=\frac{1}{4}×400\\&=100\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{61}$；(2) $\boxed{-4}$；(3) $\boxed{100}$
【知识点】
乘法分配律；乘法交换律与结合律；有理数混合运算
【点评】
这是有理数简便运算的典型题型，核心是观察算式中数字的特征，灵活选用运算律简化计算，可有效避免通分、硬算带来的计算错误，提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
12.【综合与实践】观察下列算式，寻找规律，利用规律解答后面的问题：
$1×3+1=4=2^2$，$2×4+1=9=3^2$，$3×5+1=16=4^2$，$4×6+1=25=5^2$，…。
(1)计算：$7×9+1=64=($
(2)请你用找到的规律计算：$(1+\dfrac{1}{1×3})×(1+\dfrac{1}{2×4})×(1+\dfrac{1}{3×5})×\dots×(1+\dfrac{1}{9×11})$。
$1×3+1=4=2^2$，$2×4+1=9=3^2$，$3×5+1=16=4^2$，$4×6+1=25=5^2$，…。
(1)计算：$7×9+1=64=($
8
$)^2$；(2)请你用找到的规律计算：$(1+\dfrac{1}{1×3})×(1+\dfrac{1}{2×4})×(1+\dfrac{1}{3×5})×\dots×(1+\dfrac{1}{9×11})$。
答案
12. 解:(1)8
(2)原式$=\frac{1×3+1}{1×3}×\frac{2×4+1}{2×4}×\frac{3×5+1}{3×5}×\dots×\frac{9×11+1}{9×11}=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×\dots×\frac{10^2}{9×11}=2×\frac{10}{11}=\frac{20}{11}$。
(2)原式$=\frac{1×3+1}{1×3}×\frac{2×4+1}{2×4}×\frac{3×5+1}{3×5}×\dots×\frac{9×11+1}{9×11}=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×\dots×\frac{10^2}{9×11}=2×\frac{10}{11}=\frac{20}{11}$。
解析
【分析】
首先观察已知算式，总结通用规律：对任意正整数$n$，都有$n×(n+2)+1=(n+1)^2$。
(1)问中$7×9+1$对应$n=7$，直接代入规律即可得到平方项的底数。
(2)问先将每个括号内的式子通分变形，发现分子刚好符合上述规律，将所有项转化为平方形式后，拆分平方项交叉约分即可简化计算得到结果。
【解析】
(1) 根据规律$n×(n+2)+1=(n+1)^2$，当$n=7$时，$7×9+1=(7+1)^2=8^2$，故填$8$。
(2) 先化简每个括号内的式子：
对第$k$个因式，$1+\frac{1}{k(k+2)}=\frac{k(k+2)+1}{k(k+2)}$，代入规律得$k(k+2)+1=(k+1)^2$，因此原式可改写为：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×\dots×\frac{10^2}{9×11}\\&=\frac{2×2}{1×3}×\frac{3×3}{2×4}×\frac{4×4}{3×5}×\dots×\frac{10×10}{9×11}\\&=\frac{2}{1}×(\frac{2}{3}×\frac{3}{2})×(\frac{3}{4}×\frac{4}{3})×\dots×(\frac{9}{10}×\frac{10}{9})×\frac{10}{11}\\&=2×\frac{10}{11}\\&=\frac{20}{11}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{20}{11}}$
【知识点】
数字规律探究，分式乘法，约分
【点评】
本题重点考查规律归纳能力和分式运算技巧，需要先从特殊例子中总结通用规律，再将规律应用到计算中，通过交叉约分可快速简化连乘运算，核心是对规律的准确把握。
【难度系数】
0.7
首先观察已知算式，总结通用规律：对任意正整数$n$，都有$n×(n+2)+1=(n+1)^2$。
(1)问中$7×9+1$对应$n=7$，直接代入规律即可得到平方项的底数。
(2)问先将每个括号内的式子通分变形，发现分子刚好符合上述规律，将所有项转化为平方形式后，拆分平方项交叉约分即可简化计算得到结果。
【解析】
(1) 根据规律$n×(n+2)+1=(n+1)^2$，当$n=7$时，$7×9+1=(7+1)^2=8^2$，故填$8$。
(2) 先化简每个括号内的式子：
对第$k$个因式，$1+\frac{1}{k(k+2)}=\frac{k(k+2)+1}{k(k+2)}$，代入规律得$k(k+2)+1=(k+1)^2$，因此原式可改写为：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×\dots×\frac{10^2}{9×11}\\&=\frac{2×2}{1×3}×\frac{3×3}{2×4}×\frac{4×4}{3×5}×\dots×\frac{10×10}{9×11}\\&=\frac{2}{1}×(\frac{2}{3}×\frac{3}{2})×(\frac{3}{4}×\frac{4}{3})×\dots×(\frac{9}{10}×\frac{10}{9})×\frac{10}{11}\\&=2×\frac{10}{11}\\&=\frac{20}{11}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{20}{11}}$
【知识点】
数字规律探究，分式乘法，约分
【点评】
本题重点考查规律归纳能力和分式运算技巧，需要先从特殊例子中总结通用规律，再将规律应用到计算中，通过交叉约分可快速简化连乘运算，核心是对规律的准确把握。
【难度系数】
0.7
13.【数学游戏】某数学小组的10位同学站成一列做报数游戏，规则：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数的2倍加1，第1位同学报$(\dfrac{2}{1}+1)$，第2位同学报$(\dfrac{2}{2}+1)$，第3位同学报$(\dfrac{2}{3}+1)$……则得到的10个数的积为
66
。答案
13. 66
解析
【分析】
首先根据报数规则推导第n位同学报的数的通用表达式，将表达式通分化简后，写出10个数的乘积算式，观察算式分子分母的特点，找到可交叉约分的项，约分后计算剩余部分即可得到结果，无需逐个计算每个数再相乘，避免运算量过大。
【解析】
根据题意，第$n$位同学报的数为：
$\frac{2}{n} + 1 = \frac{n+2}{n}$
则10位同学报的数的积为：
$\begin{aligned}&\frac{1+2}{1}×\frac{2+2}{2}×\frac{3+2}{3}×\dots×\frac{10+2}{10}\\=&\frac{3}{1}×\frac{4}{2}×\frac{5}{3}×\frac{6}{4}×\dots×\frac{12}{10}\\=&\frac{11×12}{1×2}\\=&66\end{aligned}$
【答案】
66
【知识点】
规律探究，分数乘法，代数式化简
【点评】
本题属于规律探究类运算题，解题核心是先对每个报数的表达式进行化简，再观察乘积运算中分子分母的约分规律，通过交叉约分大幅简化运算，主要考察学生的规律观察能力和简便运算能力。
【难度系数】
0.7
首先根据报数规则推导第n位同学报的数的通用表达式，将表达式通分化简后，写出10个数的乘积算式，观察算式分子分母的特点，找到可交叉约分的项，约分后计算剩余部分即可得到结果，无需逐个计算每个数再相乘，避免运算量过大。
【解析】
根据题意，第$n$位同学报的数为：
$\frac{2}{n} + 1 = \frac{n+2}{n}$
则10位同学报的数的积为：
$\begin{aligned}&\frac{1+2}{1}×\frac{2+2}{2}×\frac{3+2}{3}×\dots×\frac{10+2}{10}\\=&\frac{3}{1}×\frac{4}{2}×\frac{5}{3}×\frac{6}{4}×\dots×\frac{12}{10}\\=&\frac{11×12}{1×2}\\=&66\end{aligned}$
【答案】
66
【知识点】
规律探究，分数乘法，代数式化简
【点评】
本题属于规律探究类运算题，解题核心是先对每个报数的表达式进行化简，再观察乘积运算中分子分母的约分规律，通过交叉约分大幅简化运算，主要考察学生的规律观察能力和简便运算能力。
【难度系数】
0.7
