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1. 在下列图形中，$∠ AOB$ 是圆心角的是（
C
）答案
1. C
解析
【分析】
要判断∠AOB是否为圆心角，需先明确圆心角的判定条件：一是角的顶点必须为圆的圆心，二是角的两条边均为圆的半径（即两边都与圆相交）。解题时只需对照这两个条件逐一分析各选项即可得出正确答案。
【解析】
根据圆心角的定义逐一判断：
选项A：∠AOB的顶点O在圆上，不是圆心，不符合圆心角的判定条件，不是圆心角；
选项B：∠AOB的顶点O在圆上，不是圆心，不符合圆心角的判定条件，不是圆心角；
选项C：∠AOB的顶点O是圆的圆心，且OA、OB均为圆的半径，完全符合圆心角的定义，是圆心角；
选项D：∠AOB的顶点O在圆上，不是圆心，不符合圆心角的判定条件，不是圆心角。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对圆心角定义的掌握程度，只要牢记圆心角的两个判定要素就能快速得出答案，是对基础概念识记、识别能力的常规考查。
【难度系数】
0.9
要判断∠AOB是否为圆心角，需先明确圆心角的判定条件：一是角的顶点必须为圆的圆心，二是角的两条边均为圆的半径（即两边都与圆相交）。解题时只需对照这两个条件逐一分析各选项即可得出正确答案。
【解析】
根据圆心角的定义逐一判断：
选项A：∠AOB的顶点O在圆上，不是圆心，不符合圆心角的判定条件，不是圆心角；
选项B：∠AOB的顶点O在圆上，不是圆心，不符合圆心角的判定条件，不是圆心角；
选项C：∠AOB的顶点O是圆的圆心，且OA、OB均为圆的半径，完全符合圆心角的定义，是圆心角；
选项D：∠AOB的顶点O在圆上，不是圆心，不符合圆心角的判定条件，不是圆心角。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对圆心角定义的掌握程度，只要牢记圆心角的两个判定要素就能快速得出答案，是对基础概念识记、识别能力的常规考查。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$\odot O$中，AB是直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，$∠ AOE=60°$，则$∠ BOC$的度数为（
A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
A
）A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时先从直径的性质入手，直径所对的圆心角为平角即180°，结合已知的∠AOE=60°，可先求出∠BOE的度数。再根据同圆内相等的弧对应的圆心角相等，可知$\overset{\frown}{BC}、\overset{\frown}{CD}、\overset{\frown}{DE}$对应的三个圆心角相等，将∠BOE平均分成3份，每份的度数就是∠BOC的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∵$∠ AOE=60°$，
∴$∠ BOE=∠ AOB-∠ AOE=180°-60°=120°$，
又
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，
∴$∠ BOC=∠ COD=∠ DOE$（同圆中，等弧所对的圆心角相等），
∴$∠ BOC=\frac{1}{3}∠ BOE=\frac{1}{3}×120°=40°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1. 圆心角与弧的关系
2. 平角的性质
【点评】
本题是基础类题型，重点考查同圆中弧和圆心角的对应关系，解题的关键是先求出∠BOE的度数，再结合等弧对等圆心角的性质计算，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从直径的性质入手，直径所对的圆心角为平角即180°，结合已知的∠AOE=60°，可先求出∠BOE的度数。再根据同圆内相等的弧对应的圆心角相等，可知$\overset{\frown}{BC}、\overset{\frown}{CD}、\overset{\frown}{DE}$对应的三个圆心角相等，将∠BOE平均分成3份，每份的度数就是∠BOC的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∵$∠ AOE=60°$，
∴$∠ BOE=∠ AOB-∠ AOE=180°-60°=120°$，
又
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，
∴$∠ BOC=∠ COD=∠ DOE$（同圆中，等弧所对的圆心角相等），
∴$∠ BOC=\frac{1}{3}∠ BOE=\frac{1}{3}×120°=40°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1. 圆心角与弧的关系
2. 平角的性质
【点评】
本题是基础类题型，重点考查同圆中弧和圆心角的对应关系，解题的关键是先求出∠BOE的度数，再结合等弧对等圆心角的性质计算，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图，已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，且$∠ A=60°$，半径$OB=2$，则下列结论错误的是（
A.$∠ ABC=60°$
B.$\overset{\frown}{BC}$所对圆心角的度数为$120°$
C.$\overset{\frown}{ABC}$所对圆心角的度数为$240°$
D.弦$BC=\sqrt{3}$
D
）A.$∠ ABC=60°$
B.$\overset{\frown}{BC}$所对圆心角的度数为$120°$
C.$\overset{\frown}{ABC}$所对圆心角的度数为$240°$
D.弦$BC=\sqrt{3}$
答案
3. D
解析
【分析】
首先根据弧相等推出对应弦相等，结合已知∠A=60°可判断△ABC为等边三角形，验证选项A；再利用圆周角定理求出弧BC对应的圆心角，验证选项B；结合周角为360°求出弧ABC对应的圆心角，验证选项C；最后通过作辅助线，利用垂径定理和勾股定理计算弦BC的长度，判断选项D的正误。
【解析】
解：① 因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，所以弦$AB=AC$，又$∠ A=60°$，因此$△ ABC$是等边三角形，可得$∠ ABC=60°$，故A选项结论正确，不符合题意；
② $∠ A$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角$∠ BOC=2∠ A=2×60°=120°$，故B选项结论正确，不符合题意；
③ 整个圆周对应的圆心角为$360°$，因此$\overset{\frown}{ABC}$所对的圆心角为$360° - 120°=240°$，故C选项结论正确，不符合题意；
④ 过点$O$作$OD⊥ BC$于点$D$，由垂径定理得$BC=2BD$。
已知$OB=OC=2$，$∠ BOC=120°$，因此$∠ OBD=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
在$Rt△ OBD$中，$OD=\frac{1}{2}OB=1$，由勾股定理得$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，因此$BC=2BD=2\sqrt{3}≠\sqrt{3}$，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；圆周角定理；垂径定理
【点评】
本题是圆的性质综合题，需要结合等腰三角形、等边三角形的性质逐一验证选项，解题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的对应关系，以及垂径定理的应用。
【难度系数】
0.7
首先根据弧相等推出对应弦相等，结合已知∠A=60°可判断△ABC为等边三角形，验证选项A；再利用圆周角定理求出弧BC对应的圆心角，验证选项B；结合周角为360°求出弧ABC对应的圆心角，验证选项C；最后通过作辅助线，利用垂径定理和勾股定理计算弦BC的长度，判断选项D的正误。
【解析】
解：① 因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，所以弦$AB=AC$，又$∠ A=60°$，因此$△ ABC$是等边三角形，可得$∠ ABC=60°$，故A选项结论正确，不符合题意；
② $∠ A$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角$∠ BOC=2∠ A=2×60°=120°$，故B选项结论正确，不符合题意；
③ 整个圆周对应的圆心角为$360°$，因此$\overset{\frown}{ABC}$所对的圆心角为$360° - 120°=240°$，故C选项结论正确，不符合题意；
④ 过点$O$作$OD⊥ BC$于点$D$，由垂径定理得$BC=2BD$。
已知$OB=OC=2$，$∠ BOC=120°$，因此$∠ OBD=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
在$Rt△ OBD$中，$OD=\frac{1}{2}OB=1$，由勾股定理得$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，因此$BC=2BD=2\sqrt{3}≠\sqrt{3}$，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；圆周角定理；垂径定理
【点评】
本题是圆的性质综合题，需要结合等腰三角形、等边三角形的性质逐一验证选项，解题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的对应关系，以及垂径定理的应用。
【难度系数】
0.7
4. 如图，AB是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ COD = 52°$，则$∠ AOD$的大小为
76°
。答案
4. 76°
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据同圆内相等的弧所对的圆心角相等，可由$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$得到∠BOC和∠COD相等；再结合AB是⊙O的直径，可知∠AOB为180°的平角；最后用平角的度数减去∠BOC与∠COD的度数，即可计算出∠AOD的大小。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ BOC = ∠ COD = 52°$（同圆中，等弧所对的圆心角相等），
又
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB = 180°$，
∴$∠ AOD = ∠ AOB - ∠ BOC - ∠ COD = 180° - 52° - 52° = 76°$。
【答案】
$76°$
【知识点】
弧与圆心角的关系；平角的定义
【点评】
本题是基础类题目，重点考查圆中弧和圆心角的对应关系，解题的关键是熟练掌握等弧对等圆心角的性质，结合平角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知条件入手：首先根据同圆内相等的弧所对的圆心角相等，可由$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$得到∠BOC和∠COD相等；再结合AB是⊙O的直径，可知∠AOB为180°的平角；最后用平角的度数减去∠BOC与∠COD的度数，即可计算出∠AOD的大小。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ BOC = ∠ COD = 52°$（同圆中，等弧所对的圆心角相等），
又
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB = 180°$，
∴$∠ AOD = ∠ AOB - ∠ BOC - ∠ COD = 180° - 52° - 52° = 76°$。
【答案】
$76°$
【知识点】
弧与圆心角的关系；平角的定义
【点评】
本题是基础类题目，重点考查圆中弧和圆心角的对应关系，解题的关键是熟练掌握等弧对等圆心角的性质，结合平角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
5. 如图，AB是$\odot O$的弦，半径OC，OD与AB分别交于点E，F，且$AE=BF$。求证：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
答案
5. 证明 如图，取AB中点G，连接OG并延长，与$\odot O$交于点H。
因为O是圆心，且G是弦AB的中点，所以$OH⊥AB$，$\overset{\frown}{AH}=\overset{\frown}{BH}$，$AG=BG$。
因为$AE=BF$，所以$AG−AE=BG−BF$。
所以$EG=GF$。
在$△ OEG$和$△ OFG$中，
$\begin{cases} EG=FG, \\ ∠OGE=∠OGF, \\ OG=OG, \end{cases}$
所以$△ OEG≌△ OFG$（SAS）。
所以$∠EOG=∠FOG$。
所以$\overset{\frown}{CH}=\overset{\frown}{DH}$。
所以$\overset{\frown}{AH}−\overset{\frown}{CH}=\overset{\frown}{BH}−\overset{\frown}{DH}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
解析
【分析】
要证明$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，根据同圆中弧相等的判定规则，可通过证明两段弧对应的圆心角相等，或利用等弧的差相等推导。已知$AE=BF$，AB是$\odot O$的弦，可借助垂径定理构造辅助线：过圆心O作AB的垂线，该垂线既平分弦AB，也平分AB所对的弧，由此可得$AG=BG$，结合已知$AE=BF$可推出$EG=FG$，再证明$△ OEG$和$△ OFG$全等，得到对应圆心角相等，即对应的弧$\overset{\frown}{CH}=\overset{\frown}{DH}$，最后通过等弧相减即可得到要证明的结论。
【解析】
证明：如图，取AB中点G，连接OG并延长，与$\odot O$交于点H。
因为O是圆心，且G是弦AB的中点，根据垂径定理可得$OH⊥AB$，$\overset{\frown}{AH}=\overset{\frown}{BH}$，$AG=BG$。
已知$AE=BF$，根据等式的性质可得$AG−AE=BG−BF$，即$EG=GF$。
在$△ OEG$和$△ OFG$中：
$\begin{cases} EG=FG, \\ ∠OGE=∠OGF=90°, \\ OG=OG, \end{cases}$
所以$△ OEG≌△ OFG$（SAS）。
根据全等三角形对应角相等可得$∠EOG=∠FOG$，根据同圆中相等的圆心角对应相等的弧，可得$\overset{\frown}{CH}=\overset{\frown}{DH}$。
所以$\overset{\frown}{AH}−\overset{\frown}{CH}=\overset{\frown}{BH}−\overset{\frown}{DH}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
证明 如图，取AB中点G，连接OG并延长，与$\odot O$交于点H。
因为O是圆心，且G是弦AB的中点，所以$OH⊥AB$，$\overset{\frown}{AH}=\overset{\frown}{BH}$，$AG=BG$。
因为$AE=BF$，所以$AG−AE=BG−BF$。
所以$EG=GF$。
在$△ OEG$和$△ OFG$中，
$\begin{cases} EG=FG, \\ ∠OGE=∠OGF, \\ OG=OG, \end{cases}$
所以$△ OEG≌△ OFG$（SAS）。
所以$∠EOG=∠FOG$。
所以$\overset{\frown}{CH}=\overset{\frown}{DH}$。
所以$\overset{\frown}{AH}−\overset{\frown}{CH}=\overset{\frown}{BH}−\overset{\frown}{DH}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的基本性质的典型应用题，解题的关键是合理构造辅助线，结合垂径定理将已知线段相等的条件转化为三角形全等的条件，进而通过圆心角与弧的对应关系推导结论，能有效考查学生对圆的基础性质和全等三角形知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，根据同圆中弧相等的判定规则，可通过证明两段弧对应的圆心角相等，或利用等弧的差相等推导。已知$AE=BF$，AB是$\odot O$的弦，可借助垂径定理构造辅助线：过圆心O作AB的垂线，该垂线既平分弦AB，也平分AB所对的弧，由此可得$AG=BG$，结合已知$AE=BF$可推出$EG=FG$，再证明$△ OEG$和$△ OFG$全等，得到对应圆心角相等，即对应的弧$\overset{\frown}{CH}=\overset{\frown}{DH}$，最后通过等弧相减即可得到要证明的结论。
【解析】
证明：如图，取AB中点G，连接OG并延长，与$\odot O$交于点H。
因为O是圆心，且G是弦AB的中点，根据垂径定理可得$OH⊥AB$，$\overset{\frown}{AH}=\overset{\frown}{BH}$，$AG=BG$。
已知$AE=BF$，根据等式的性质可得$AG−AE=BG−BF$，即$EG=GF$。
在$△ OEG$和$△ OFG$中：
$\begin{cases} EG=FG, \\ ∠OGE=∠OGF=90°, \\ OG=OG, \end{cases}$
所以$△ OEG≌△ OFG$（SAS）。
根据全等三角形对应角相等可得$∠EOG=∠FOG$，根据同圆中相等的圆心角对应相等的弧，可得$\overset{\frown}{CH}=\overset{\frown}{DH}$。
所以$\overset{\frown}{AH}−\overset{\frown}{CH}=\overset{\frown}{BH}−\overset{\frown}{DH}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
证明 如图，取AB中点G，连接OG并延长，与$\odot O$交于点H。
因为O是圆心，且G是弦AB的中点，所以$OH⊥AB$，$\overset{\frown}{AH}=\overset{\frown}{BH}$，$AG=BG$。
因为$AE=BF$，所以$AG−AE=BG−BF$。
所以$EG=GF$。
在$△ OEG$和$△ OFG$中，
$\begin{cases} EG=FG, \\ ∠OGE=∠OGF, \\ OG=OG, \end{cases}$
所以$△ OEG≌△ OFG$（SAS）。
所以$∠EOG=∠FOG$。
所以$\overset{\frown}{CH}=\overset{\frown}{DH}$。
所以$\overset{\frown}{AH}−\overset{\frown}{CH}=\overset{\frown}{BH}−\overset{\frown}{DH}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的基本性质的典型应用题，解题的关键是合理构造辅助线，结合垂径定理将已知线段相等的条件转化为三角形全等的条件，进而通过圆心角与弧的对应关系推导结论，能有效考查学生对圆的基础性质和全等三角形知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
