1. 把方程 $ x + 1 = 4y + \frac{x}{3} $ 化为 $ y = kx + b $ 的形式,正确的是()
A.$ y = \frac{1}{3}x + 1 $
B.$ y = \frac{1}{6}x + \frac{1}{4} $
C.$ y = \frac{1}{6}x + 1 $
D.$ y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{4} $

B

首先，有方程：$x + 1 = 4y + \frac{x}{3}$，
将方程两边同时乘以3，以消去分数：
$3(x + 1) = 3(4y + \frac{x}{3})$，
$3x + 3 = 12y + x$，
将所有项移到等式的一侧，以解出y：
$12y = 2x + 3-x+x-x$ （这一步其实是对上一步的整理，将x的项移到左边，实际上可以直接从$3x + 3 - x = 12y$得出），
$12y = 2x + 3$，
最后，将方程两边同时除以12，得到y关于x的表达式：
$y = \frac{1}{6}x + \frac{1}{4}$。

2. 如图,在平面直角坐标系中,二元一次方程 $ x + y = 1 $ 和 $ x - y = 3 $ 的图象分别是直线 $ l_1 $ 和 $ l_2 $,则方程组 $ \begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 3 \end{cases} $ 的解是()

A.$ \begin{cases} x = 2 \\ y = -1 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x = -1 \\ y = 2 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x = -2 \\ y = 1 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x = 1 \\ y = -2 \end{cases} $

A

联立方程组中的两个方程：
$\begin{cases} x + y = 1, \\ x - y = 3. \end{cases}$
将两个方程相加，得到：
$2x = 4 \implies x = 2$，
将 $x = 2$ 代入第一个方程 $x + y = 1$，得到：
$2 + y = 1 \implies y = -1$，
所以，方程组的解为：
$\begin{cases} x = 2, \\ y = -1. \end{cases}$
根据图像验证，两条直线的交点坐标为 $(2, -1)$，与计算结果一致。

3. 已知方程组 $ \begin{cases} x - y = -5 \\ x + 2y = -2 \end{cases} $ 的解为 $ \begin{cases} x = -4 \\ y = 1 \end{cases} $,则在同一平面直角坐标系中,直线 $ y = x + 5 $ 与直线 $ y = -\frac{1}{2}x - 1 $ 的交点坐标为()
A.$ (4,1) $
B.$ (1,-4) $
C.$ (-1,-4) $
D.$ (-4,1) $

D

本题可先将方程组中的两个方程转化为一次函数的形式，再根据二元一次方程组与一次函数的关系来求解两直线的交点坐标。
步骤一：将方程组中的方程转化为一次函数形式
对于方程$x - y = -5$，移项可得$y = x + 5$。
对于方程$x + 2y = -2$，移项可得$2y=-x - 2$，两边同时除以$2$，得到$y = -\frac{1}{2}x - 1$。
步骤二：根据二元一次方程组与一次函数的关系确定交点坐标
由上述转化可知，直线$y = x + 5$与直线$y = -\frac{1}{2}x - 1$所对应的二元一次方程组为$\begin{cases}x - y = -5\\x + 2y = -2\end{cases}$。
已知该方程组的解为$\begin{cases}x = -4\\y = 1\end{cases}$，根据二元一次方程组与一次函数的关系：二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数的交点坐标，所以直线$y = x + 5$与直线$y = -\frac{1}{2}x - 1$的交点坐标为$(-4,1)$。

4. 如图,直线 $ l_1: y = x + 2 $ 与直线 $ l_2: y = kx + b $ 相交于点 $ P(m,4) $,则方程组 $ \begin{cases} y = x + 2 \\ y = kx + b \end{cases} $ 的解是.

$\begin{cases} x=2 \\ y=4 \end{cases}$

因为点 $ P(m,4) $ 在直线 $ l_1: y = x + 2 $ 上，所以将 $ y = 4 $ 代入 $ y = x + 2 $，得 $ 4 = m + 2 $，解得 $ m = 2 $，即点 $ P $ 的坐标为 $ (2,4) $。由于两直线的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，所以方程组 $ \begin{cases} y = x + 2 \\ y = kx + b \end{cases} $ 的解是 $ \begin{cases} x = 2 \\ y = 4 \end{cases} $。

5. 若方程组 $ \begin{cases} y = ax + b \\ y = cx \end{cases} $ 的解为 $ \begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases} $,则函数 $ y = ax + b $ 与函数 $ y = cx $ 图象的交点坐标为.

(2,1)

因为方程组的解是两个函数图象交点的坐标，已知方程组的解为$\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$，所以函数$y = ax + b$与函数$y = cx$图象的交点坐标为$(2,1)$。

6. 对于方程组 $ \begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ 3x - 3y + 6 = 0 \end{cases} $,它的解的情况是,则直线 $ y = x + 2 $ 与 $ 3y = 3x + 6 $ 在同一平面直角坐标系中的位置关系必然是.

有无数组解；重合

对方程组进行化简，由第一个方程$x - y + 2 = 0$可得$x - y = -2$；第二个方程$3x - 3y + 6 = 0$两边同时除以3，得$x - y + 2 = 0$，即$x - y = -2$。两个方程化简后相同，所以方程组有无数组解。
直线$y = x + 2$的斜率为1，截距为2；直线$3y = 3x + 6$两边同时除以3得$y = x + 2$，与第一条直线完全相同，所以两直线重合。

7. 如图,用图象法解方程组 $ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ x + 3y = -3 \end{cases} $.

对于方程组$\begin{cases}2x + y = 4\\x + 3y = -3\end{cases}$
将第一个方程$2x + y = 4$转化为一次函数形式$y = -2x + 4$，
在平面直角坐标系中，
当$x = 0$时，$y = 4$；
当$y = 0$时，$x = 2$，
则函数$y = -2x + 4$的图象经过点$(0,4)$和$(2,0)$，
过这两点作直线。
将第二个方程$x + 3y = -3$转化为一次函数形式$y =-\frac{1}{3}x - 1$，
在平面直角坐标系中，
当$x = 0$时，$y = -1$；
当$y = 0$时，$x = -3$，
则函数$y = -\frac{1}{3}x - 1$的图象经过点$(0,-1)$和$(-3,0)$，
过这两点作直线。
由图象可知，两条直线的交点坐标为$(3,-2)$，
所以方程组$\begin{cases}2x + y = 4\\x + 3y = -3\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 3\\y = -2\end{cases}$。
故答案为：$\begin{cases}x = 3\\y = -2\end{cases}$。

8. 已知正比例函数 $ y = -2x $ 的图象与一次函数 $ y = x + m $ 的图象交于点 $ A $,且点 $ A $ 的横坐标为 $ -3 $.
(1)求该一次函数的表达式；
(2)直接写出方程组 $ \begin{cases} y = -2x \\ y = x + m \end{cases} $ 的解.

(1)
已知点$A$在正比例函数$y = -2x$上，且横坐标$x = -3$，
将$x = -3$代入$y = -2x$，得$y = -2×(-3)=6$，
所以点$A$的坐标为$(-3,6)$。
因为点$A(-3,6)$在一次函数$y = x + m$上，
将$A(-3,6)$代入$y = x + m$，得$6 = -3 + m$，
解得$m = 9$。
所以一次函数的表达式为$y = x + 9$。
(2)
因为点$A(-3,6)$是两函数图象的交点，
所以方程组$\begin{cases}y = -2x \\ y = x + m \end{cases}$的解为$\begin{cases}x = -3 \\ y = 6 \end{cases}$。