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11. (1) 若点 $ A(-4,1),B(2,-1) $,则 $ AB = $
(2) 若点 $ A(-2,3),B(1,5) $,则 $ AB = $
(3) 若点 $ A(-2,3) $,点 $ B $ 在 $ x $ 轴上,且 $ A,B $ 两点间的距离是 $ 5 $,则点 $ B $ 的坐标为
$2\sqrt{10}$
;(2) 若点 $ A(-2,3),B(1,5) $,则 $ AB = $
$\sqrt{13}$
;(3) 若点 $ A(-2,3) $,点 $ B $ 在 $ x $ 轴上,且 $ A,B $ 两点间的距离是 $ 5 $,则点 $ B $ 的坐标为
$(2,0)$或$(-6,0)$
.答案
(1) $2\sqrt{10}$；
(2) $\sqrt{13}$；
(3) $(2,0)$或$(-6,0)$。
(2) $\sqrt{13}$；
(3) $(2,0)$或$(-6,0)$。
解析
(1) 根据两点间距离公式 $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，
代入点 $A(-4,1)$ 和点 $B(2,-1)$ 的坐标，
得到$AB = \sqrt{(2 - (-4))^2 + ((-1) - 1)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$。
(2) 同样使用两点间距离公式，代入点 $A(-2,3)$ 和点 $B(1,5)$ 的坐标，
得到$AB = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$。
(3) 设点 $B$ 的坐标为 $(x, 0)$，因为点 $B$ 在 $x$ 轴上，所以其 $y$ 坐标为 0。
根据两点间距离公式，代入点 $A(-2,3)$ 和点 $B(x,0)$ 的坐标，且距离为 5，
得到方程$\sqrt{(x - (-2))^2 + (0 - 3)^2} = 5$，
即$(x + 2)^2 + 9 = 25$，
解得$x = 2$ 或 $x = -6$。
因此，点 $B$ 的坐标为 $(2,0)$ 或 $(-6,0)$。
代入点 $A(-4,1)$ 和点 $B(2,-1)$ 的坐标，
得到$AB = \sqrt{(2 - (-4))^2 + ((-1) - 1)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$。
(2) 同样使用两点间距离公式，代入点 $A(-2,3)$ 和点 $B(1,5)$ 的坐标，
得到$AB = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$。
(3) 设点 $B$ 的坐标为 $(x, 0)$，因为点 $B$ 在 $x$ 轴上，所以其 $y$ 坐标为 0。
根据两点间距离公式，代入点 $A(-2,3)$ 和点 $B(x,0)$ 的坐标，且距离为 5，
得到方程$\sqrt{(x - (-2))^2 + (0 - 3)^2} = 5$，
即$(x + 2)^2 + 9 = 25$，
解得$x = 2$ 或 $x = -6$。
因此，点 $B$ 的坐标为 $(2,0)$ 或 $(-6,0)$。
12. 如图, $ \triangle ABC $ 的三个顶点的坐标分别为 $ A(0,2),B(4,0),C(6,4) $,则 $ \triangle ABC $ 的周长为
$4\sqrt{5}+2\sqrt{10}$
, $ \triangle ABC $ 的面积为$10$
.答案
周长为$4\sqrt{5}+2\sqrt{10}$，面积为$10$（由于题目是填空形式，按照要求分别填写周长和面积结果）。
故周长答案填$4\sqrt{5}+2\sqrt{10}$，面积答案填$10$。
故周长答案填$4\sqrt{5}+2\sqrt{10}$，面积答案填$10$。
解析
首先，利用两点间距离公式$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，
计算$AB$的长度：
$AB=\sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 2)^2}=\sqrt{16 + 4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
计算$AC$的长度：
$AC=\sqrt{(6 - 0)^2 + (4 - 2)^2}=\sqrt{36 + 4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，
计算$BC$的长度：
$BC=\sqrt{(6 - 4)^2 + (4 - 0)^2}=\sqrt{4 + 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
所以$\triangle ABC$的周长为$AB + AC+BC = 2\sqrt{5}+2\sqrt{10}+2\sqrt{5}=4\sqrt{5}+2\sqrt{10}$。
然后，求$\triangle ABC$的面积，可通过一个外切矩形的面积减去周围三个三角形的面积得到。
以$A(0,2)$，$B(4,0)$，$C(6,4)$构成的三角形，可构造一个以$(0,0)$，$(6,0)$，$(6,4)$，$(0,4)$为顶点的矩形，其面积为$6×4 = 24$。
周围三个三角形面积分别为：
$\frac{1}{2}×4×2 = 4$，
$\frac{1}{2}×4×2 = 4$（这里两个三角形面积计算是基于矩形分割后的情况），
$\frac{1}{2}×6×2 = 6$，
所以$\triangle ABC$的面积为$24-(4 + 4+6)=10$。
计算$AB$的长度：
$AB=\sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 2)^2}=\sqrt{16 + 4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
计算$AC$的长度：
$AC=\sqrt{(6 - 0)^2 + (4 - 2)^2}=\sqrt{36 + 4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，
计算$BC$的长度：
$BC=\sqrt{(6 - 4)^2 + (4 - 0)^2}=\sqrt{4 + 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
所以$\triangle ABC$的周长为$AB + AC+BC = 2\sqrt{5}+2\sqrt{10}+2\sqrt{5}=4\sqrt{5}+2\sqrt{10}$。
然后，求$\triangle ABC$的面积，可通过一个外切矩形的面积减去周围三个三角形的面积得到。
以$A(0,2)$，$B(4,0)$，$C(6,4)$构成的三角形，可构造一个以$(0,0)$，$(6,0)$，$(6,4)$，$(0,4)$为顶点的矩形，其面积为$6×4 = 24$。
周围三个三角形面积分别为：
$\frac{1}{2}×4×2 = 4$，
$\frac{1}{2}×4×2 = 4$（这里两个三角形面积计算是基于矩形分割后的情况），
$\frac{1}{2}×6×2 = 6$，
所以$\triangle ABC$的面积为$24-(4 + 4+6)=10$。
13. 如图,在平面直角坐标系中,点 $ B $ 的坐标为 $ (a,b) $,且 $ a,b $ 满足 $ \sqrt{a + b - 4} + (a - 2)^2 = 0 $.
(1) 求点 $ B $ 的坐标;
(2) 点 $ A $ 为 $ y $ 轴上一动点,过点 $ B $ 作 $ BC \perp AB $ 交 $ x $ 轴正半轴于点 $ C $,求证: $ BA = BC $.
(1) 求点 $ B $ 的坐标;
(2) 点 $ A $ 为 $ y $ 轴上一动点,过点 $ B $ 作 $ BC \perp AB $ 交 $ x $ 轴正半轴于点 $ C $,求证: $ BA = BC $.
答案
(1)
因为$\sqrt{a + b - 4}+(a - 2)^2 = 0$，且$\sqrt{a + b - 4}\geq0$，$(a - 2)^2\geq0$。
所以$\begin{cases}a + b - 4 = 0\\a - 2 = 0\end{cases}$
由$a - 2 = 0$得$a = 2$，
把$a = 2$代入$a + b - 4 = 0$，得$2 + b - 4 = 0$，$b = 2$。
所以点$B$的坐标为$(2,2)$。
(2)
过点$B$作$BD\perp y$轴于$D$，$BE\perp x$轴于$E$。
则$D(0,2)$，$E(2,0)$，$\angle DBE = 90^{\circ}$，$BD = BE = 2$。
因为$\angle ABC = 90^{\circ}$，即$\angle ABD+\angle DBC = 90^{\circ}$。
又因为$\angle DBE = 90^{\circ}$，所以$\angle DBC+\angle CBE = 90^{\circ}$，所以$\angle ABD=\angle CBE$。
因为$\angle ADB=\angle BEC = 90^{\circ}$，
在$\triangle ABD$和$\triangle CBE$中，$\begin{cases}\angle ABD=\angle CBE\\BD = BE\\\angle ADB=\angle BEC\end{cases}$
所以$\triangle ABD\cong\triangle CBE(ASA)$。
所以$BA = BC$。
因为$\sqrt{a + b - 4}+(a - 2)^2 = 0$，且$\sqrt{a + b - 4}\geq0$，$(a - 2)^2\geq0$。
所以$\begin{cases}a + b - 4 = 0\\a - 2 = 0\end{cases}$
由$a - 2 = 0$得$a = 2$，
把$a = 2$代入$a + b - 4 = 0$，得$2 + b - 4 = 0$，$b = 2$。
所以点$B$的坐标为$(2,2)$。
(2)
过点$B$作$BD\perp y$轴于$D$，$BE\perp x$轴于$E$。
则$D(0,2)$，$E(2,0)$，$\angle DBE = 90^{\circ}$，$BD = BE = 2$。
因为$\angle ABC = 90^{\circ}$，即$\angle ABD+\angle DBC = 90^{\circ}$。
又因为$\angle DBE = 90^{\circ}$，所以$\angle DBC+\angle CBE = 90^{\circ}$，所以$\angle ABD=\angle CBE$。
因为$\angle ADB=\angle BEC = 90^{\circ}$，
在$\triangle ABD$和$\triangle CBE$中，$\begin{cases}\angle ABD=\angle CBE\\BD = BE\\\angle ADB=\angle BEC\end{cases}$
所以$\triangle ABD\cong\triangle CBE(ASA)$。
所以$BA = BC$。
14. 阅读材料:
已知点 $ P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2) $,则其两点间的距离为 $ P_1P_2 = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $.
回答问题:
(1) 已知点 $ A(-2,3),B(4,-5) $,试求 $ A,B $ 两点间的距离;
(2) 已知一个三角形各顶点坐标为 $ A(0,6),B(-3,2),C(3,2) $,请判断此三角形的形状,并说明理由;
(3) 已知一个三角形各顶点坐标为 $ A(-1,3),B(0,1),C(2,2) $,请判断此三角形的形状,并说明理由;
(4) 已知点 $ M(-4,2),N(2,-6) $,点 $ P $ 在 $ y $ 轴上,且 $ PM = PN $,求点 $ P $ 的坐标.
已知点 $ P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2) $,则其两点间的距离为 $ P_1P_2 = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $.
回答问题:
(1) 已知点 $ A(-2,3),B(4,-5) $,试求 $ A,B $ 两点间的距离;
(2) 已知一个三角形各顶点坐标为 $ A(0,6),B(-3,2),C(3,2) $,请判断此三角形的形状,并说明理由;
(3) 已知一个三角形各顶点坐标为 $ A(-1,3),B(0,1),C(2,2) $,请判断此三角形的形状,并说明理由;
(4) 已知点 $ M(-4,2),N(2,-6) $,点 $ P $ 在 $ y $ 轴上,且 $ PM = PN $,求点 $ P $ 的坐标.
答案
(1) ∵A(-2,3)，B(4,-5)，∴AB=√[(-2-4)²+(3-(-5))²]=√[(-6)²+8²]=√(36+64)=√100=10.
(2) 计算各边长：
AB=√[(0-(-3))²+(6-2)²]=√[3²+4²]=5，
AC=√[(0-3)²+(6-2)²]=√[(-3)²+4²]=5，
BC=√[(-3-3)²+(2-2)²]=√[(-6)²+0²]=6.
∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.
(3) 计算各边长：
AB=√[(-1-0)²+(3-1)²]=√[(-1)²+2²]=√5，
BC=√[(0-2)²+(1-2)²]=√[(-2)²+(-1)²]=√5，
AC=√[(-1-2)²+(3-2)²]=√[(-3)²+1²]=√10.
∵AB=BC，且AB²+BC²=(√5)²+(√5)²=10=AC²，∴△ABC是等腰直角三角形.
(4) 设P(0,y)，∵PM=PN，
∴√[(-4-0)²+(2-y)²]=√[(2-0)²+(-6-y)²]，
两边平方得16+(2-y)²=4+(-6-y)²，
展开得16+4-4y+y²=4+36+12y+y²，
化简得20-4y=40+12y，
移项得-16y=20，解得y=-5/4，
∴P(0,-5/4).
(2) 计算各边长：
AB=√[(0-(-3))²+(6-2)²]=√[3²+4²]=5，
AC=√[(0-3)²+(6-2)²]=√[(-3)²+4²]=5，
BC=√[(-3-3)²+(2-2)²]=√[(-6)²+0²]=6.
∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.
(3) 计算各边长：
AB=√[(-1-0)²+(3-1)²]=√[(-1)²+2²]=√5，
BC=√[(0-2)²+(1-2)²]=√[(-2)²+(-1)²]=√5，
AC=√[(-1-2)²+(3-2)²]=√[(-3)²+1²]=√10.
∵AB=BC，且AB²+BC²=(√5)²+(√5)²=10=AC²，∴△ABC是等腰直角三角形.
(4) 设P(0,y)，∵PM=PN，
∴√[(-4-0)²+(2-y)²]=√[(2-0)²+(-6-y)²]，
两边平方得16+(2-y)²=4+(-6-y)²，
展开得16+4-4y+y²=4+36+12y+y²，
化简得20-4y=40+12y，
移项得-16y=20，解得y=-5/4，
∴P(0,-5/4).
