【变式1】(1)若$ A = \{ x | x ^ { 2 } - x = 0 \}, B = \left\{ x \left| x = \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { n } } { 2 }, n \in \mathbf { Z } \right. \right\} $,则集合$ A 与 B $的关系为____.
(2)若$ A = \{ x | x = 2 k + 1, k \in \mathbf { Z } \}, B = \{ x | x = 4 k + 3, k \in \mathbf { Z } \} $,则集合$ A 与 B $的关系为____.
(3)有下列关系式:①$ \{ a, b \} = \{ b, a \} $;②$ \{ a, b \} \subseteq \{ b, a \} $;③$ \varnothing = \{ \varnothing \} $;④$ \{ 0 \} = \varnothing $;⑤$ \varnothing \subseteq \{ 0 \} $;⑥$ 0 \in \{ 0 \} $.其中错误的是____.(填序号)

(1)$A = B$ (2)$B\subsetneqq A$ (3)③④ (1)$A = \{ x|x^{2}-x = 0\} = \{ 0,1\}$。在B中，当n为奇数时，$x = 0$；当n为偶数时，$x = 1$，∴$B = \{ 0,1\}$，∴$A = B$。
(2)∵$B = \{ x|x = 4k + 3,k∈Z\} = \{ x|x = 2(2k + 1)+1,k∈Z\}$，$A = \{ x|x = 2k + 1,k∈Z\}$，∴当$x∈B$时，$x∈A$亦成立，∴$B\subseteq A$。∵$1∈A$且$1∉B$，∴$B\subsetneqq A$。
(3)对于①，因为集合中元素具有无序性，两集合中元素完全相同，故①正确；对于②，集合$\{ a,b\} = \{ b,a\}$，任何一个集合都是它本身的子集，故②正确；对于③，空集∅是一个集合，而集合$\{ \varnothing \}$是以空集为元素的一个集合，因此$\varnothing ≠ \{ \varnothing \}$，故③错误；对于④，$\{ 0\}$是一个集合，仅有一个元素0，故$\{ 0\} ≠ \varnothing $，故④错误；对于⑤，空集是任何集合的子集，故⑤正确；对于⑥，$0∈\{ 0\}$成立，故⑥正确。

【典例2】完成下表:

解题指导 按照元素个数由少到多的顺序一一

写出子集.在子集中将集合本身去掉,剩余的即为真子集.
答案 解:补全表格如下表所示.

【变式2】(1)(多选)已知集合$ A = \{ x | - 1 \leqslant 2 x - 1 \leqslant 5, x \in \mathbf { Z } \} $,则下列说法正确的是()
A.$ 1 \in A $
B.$ \{ 2, 3 \} \subseteq A $
C.$ A 中有 3 $个元素
D.$ A 有 15 $个真子集
(2)已知集合$ A 满足 \{ 1, 2 \} \subseteq A \subsetneqq \{ 0, 1, 2, 3, 5 \} $,则满足条件的集合$ A $的个数为____.

(1)ABD (2)7 (1)由$-1\leq2x - 1\leq5$，得$0\leq x\leq3$。∵$x∈Z$，∴$A = \{ 0,1,2,3\}$。对于A，由$A = \{ 0,1,2,3\}$，知$1∈A$，故A正确；对于B，∵$2∈A$，$3∈A$，∴$\{ 2,3\} \subseteq A$，故B正确；对于C，由$A = \{ 0,1,2,3\}$，知A中有4个元素，故C错误；对于D，∵A中有4个元素，∴A有$2^{4}-1 = 15$（个）真子集，故D正确。
(2)∵集合A满足$\{ 1,2\} \subseteq A\subsetneqq \{ 0,1,2,3,5\}$，∴A中元素必定有1，2，剩余元素从0，3，5中选即可，但不能为$\{ 0,1,2,3,5\}$，
∴满足条件的集合A的个数为集合$\{ 0,3,5\}$的真子集的个数，即为$2^{3}-1 = 7$。