1. 如图所示为一个按某种规律排列的数阵:
第一行 $1\ \sqrt{2}$
第二行 $\sqrt{3}\ 2\ \sqrt{5}\ \sqrt{6}$
第三行 $\sqrt{7}\ \sqrt{8}\ 3\ \sqrt{10}\ \sqrt{11}\ \sqrt{12}$
第四行 $\sqrt{13}\ \sqrt{14}\ \sqrt{15}\ 4\ \sqrt{17}\ \sqrt{18}\ \sqrt{19}\ \sqrt{20}$
…………
根据数阵规律,第八行倒数第三个数是()
A. $\sqrt{72}$
B. $\sqrt{71}$
C. $\sqrt{70}$
D. $\sqrt{69}$

C 解析:第一行的最后一个数是$\sqrt {2}=\sqrt {1×2}$,第二行的最后一个数是$\sqrt {6}=\sqrt {2×3}$,第三行的最后一个数是$\sqrt {12}=\sqrt {3×4},... $,第八行最后一个数为$\sqrt {8×(8+1)}=\sqrt {72}$,∴ 第八行倒数第三个数是$\sqrt {8×9-2}=\sqrt {70}$,故选 C.

2. (2024·泰州月考)观察下表,并解决问题.

(1)随着数$a$的小数点的移动,它的算术平方根的小数点是怎样移动的?请归纳总结这一规律.
(2)①已知$\sqrt{2}\approx1.414$,$\sqrt{20}\approx4.47$,则$\sqrt{0.2}\approx$____.
②已知$\sqrt{4.24}\approx2.059$,$\sqrt{a}\approx20.59$,则$a= $____.
(3)①猜想数$a$的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系?写出你的猜想.
②已知$\sqrt[3]{m}\approx2024$,$\sqrt[3]{n}\approx20.24$,用含$n的代数式表示m$.

(1)观察表格可知数 a 的小数点每向右(或左)移两位,它的算术平方根$\sqrt {a}$的小数点相应向右(或左)移一位.
(2)① 0.447 ② 424
(3)①$\because \sqrt [3]{0.001}=0.1,\sqrt [3]{1}=1,\sqrt [3]{1000}=10,\sqrt [3]{1000000}=100,... ,$∴ 规律是:被开方数的小数点每向右(或左)移三位,它的立方根的小数点相应向右(或左)移一位.
②$\because \sqrt [3]{n}\approx 20.24,\sqrt [3]{m}=2024,\therefore m=1000000n=n×10^{6}.$

3. (2025·宿迁期中)有一个面积为1的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形(如图①),其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,又生出了4个正方形(如图②).如果按此规律继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”.在“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是()

A. 2022
B. 2023
C. 2024
D. 2025

D 解析:设题图①中直角三角形的两条直角边为 a,b,斜边为 c,$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$,∵ 正方形的边长为 1,$\therefore a^{2}+b^{2}=1$,由题图①可知,“生长”1 次后,以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积,∴ 此时,所有正方形的面积和为$2×1=2$,由题图②可知，“生长”2 次后,所有正方形的面积和为$3×1=3,... ,$∴ 在“生长”了 2024 次后形成的图形中所有正方形的面积和是$2025×1=2025$.故选 D.

4. (2025·徐州期末)如图,在平面直角坐标系中有若干个整数点,其顺序按图中“→”方向排列,如$(1,0)$,$(2,0)$,$(2,1)$,$(3,2)$,$(3,1)$,$(3,0)$,$(4,0)$,…$$,根据这个规律探索可得第2025个点的坐标是()

A. $(63,7)$
B. $(63,8)$
C. $(64,7)$
D. $(64,8)$

D 解析:把第一个点$(1,0)$作为第一列，$(2,0)$和$(2,1)$作为第二列,依此类推,则第一列有 1 个点,第二列有 2 个点,…,第 n 列有n 个点,则 n 列共有$\frac {n(n+1)}{2}$个点,并且在奇数列点的顺序是由上到下,偶数列点的顺序是由下到上,$\because 1+2+3+... +63=2016$,∴ 第2025 个点一定在第 64 列,由下到上是第 9 个点,因而第 2025 个点的坐标是$(64,8)$,故选 D.

5. (2025·扬州月考)如图,在射线$OA$,$OB上分别截取OA_1= OB_1$,连接$A_1B_1$,在$B_1A_1$,$B_1B上分别截取B_1A_2= B_1B_2$,连接$A_2B_2$,…$$,按此规律作下去,若$\angle A_1B_1O= \alpha$,则$\angle A_{2024}B_{2024}O= $____.(用含$\alpha$的代数式表示)

$\frac {1}{2^{2023}}α$ 解析:$\because B_{1}A_{2}=B_{1}B_{2},∠A_{1}B_{1}O=α,\therefore ∠A_{2}B_{2}O=\frac {1}{2}α$,同理$∠A_{3}B_{3}O=\frac {1}{2}×\frac {1}{2}α=\frac {1}{2^{2}}α,\therefore ∠A_{n}B_{n}O=\frac {1}{2^{n-1}}α,\therefore ∠A_{2024}B_{2024}O=\frac {1}{2^{2023}}α$