1. 一次函数的图象经过点$A(-2,-1)$,且与直线$y = 2x - 3$平行,则此函数的表达式为()
A. $y = x + 1$
B. $y = 2x + 3$
C. $y = 2x - 1$
D. $y = -2x - 5$

B

2. 如图,在平面直角坐标系中,点$A_1(1,1)在直线y = x$上,过点$A_1作y$轴的平行线,交直线$y = -x于点B_1$,以线段$A_1B_1为边在右侧作正方形A_1B_1C_1D_1$,$C_1D_1所在的直线交y = x的图象于点A_2$,交$y = -x的图象于点B_2$,再以线段$A_2B_2为边在右侧作正方形A_2B_2C_2D_2……$以此类推,按照图中反映的规律,第2025个正方形的边长是()

A. $3^{2024}$
B. $3^{2025}$
C. $2×3^{2024}$
D. $2×3^{2025}$

C 解析:由题意,$A_{1}(1,1),B_{1}(1,-1),\therefore A_{1}B_{1}=2,\therefore $第一个正方形的边长为$2,\therefore A_{1}D_{1}=2,\therefore A_{2}(3,3),B_{2}(3,-3),\therefore A_{2}B_{2}=2×3=6,$∴第二个正方形的边长为$6,\therefore A_{2}D_{2}=6,\therefore A_{3}(9,9),B_{3}(9,-9)$,即$A_{3}(3^{2},3^{2}),B_{3}(3^{2},-3^{2}),\therefore A_{3}B_{3}=2×3^{2}=18,\therefore $第三个正方形的边长为$18,...$,可得$A_{n}(3^{n-1},3^{n-1}),B_{n}(3^{n-1},-3^{n-1}),A_{n}B_{n}=2×3^{n-1},$$\therefore $第2025个正方形的边长为$2×3^{2024}$.故选C.

3. (菏泽中考改编)如图①,在平面直角坐标系中,长方形$ABCD$在第一象限,且$BC// x$轴.直线$y = 2x + 1从原点O出发沿x$轴正方向平移,在平移过程中,直线被长方形$ABCD截得的线段长度为a$,直线在$x轴上平移的距离为b$,$a$,$b$的函数图象如图②所示.那么长方形$ABCD$的面积为______.

8 解析:如图,过点B,D分别作直线$y=2x+1$的平行线,交AD,BC于点E,F;由图象和题意可得$AE=4-3=1,CF=8-7=1,BE=DF=\sqrt {5},BF=DE=7-4=3$,则$AB=\sqrt {BE^{2}-AE^{2}}=\sqrt {5-1}=2,BC=BF+CF=3+1=4,\therefore $长方形ABCD的面积为$AB\cdot BC=2×4=8.$

4. 若直线$l_1经过点(0,4)和点(3,-2)$,直线$l_2与l_1关于x$轴对称,则$l_2$的表达式为()
A. $y = -2x - 4$
B. $y = 2x - 4$
C. $y = -\frac{2}{3}x - 4$
D. $y = \frac{2}{3}x - 4$

B

5. 已知直线$l_1的表达式为y = -x + 3$.
(1)若直线$l_2与直线l_1关于直线x = 1$轴对称,则直线$l_2$的表达式为______；
(2)若直线$l_3与直线l_1关于直线y = x$对称,则直线$l_3$的表达式为______.

(1)$y=x+1$ (2)$y=-x+3$
解析:(1)直线$y=-x+3$经过$(0,3),(3,0)$.这两点关于直线$x=1$轴对称的点分别为$(2,3),(-1,0)$,则直线$l_{1}$关于直线$x=1$轴对称的直线$l_{2}$经过这两点,可得直线$l_{2}$表达式为$y=x+1.$
(2)直线$y=-x+3$经过$(0,3),(3,0)$.这两点关于直线$y=x$对称的点为$(3,0),(0,3)$,故对称后的直线仍为$y=-x+3.$

6. (自主招生)某学习小组利用平面直角坐标系研究直线上点的坐标规律时,发现直线$y = kx + b(k≠0)上的任意三点A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,$C(x_3,y_3)(x_1≠x_2≠x_3)$,满足$\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = \frac{y_1 - y_3}{x_1 - x_3} = \frac{y_2 - y_3}{x_2 - x_3} = k$.经学习小组查阅资料得知,以上发现是成立的,即直线$y = kx + b(k≠0)上任意两点的坐标M(x_1,y_1)$,$N(x_2,y_2)(x_1≠x_2)$,都有$\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}的值为k$,其中$k叫直线y = kx + b$的斜率.如：$P(1,3)$,$Q(2,4)为直线y = x + 2$上两点,则$k_{PQ} = \frac{3 - 4}{1 - 2} = 1$,即直线$y = x + 2$的斜率为1.
(1)请你直接写出过$E(2,3)$,$F(4,-2)两点的直线的斜率k_{EF} = $______.
(2)学习小组继续深入研究直线的“斜率”问题,得到如下正确结论：不与坐标轴平行的任意两条直线互相垂直时,这两条直线的斜率之积是定值.
①如图①,直线$GH⊥GI于点G$,$G(1,3)$,$H(-2,1)$,$I(-1,6)$.请求出直线$GH与直线GI$的斜率之积；
②直线$l经过A(2,3)$,且与直线$y = -\frac{1}{3}x + 3$垂直,求直线$l$的表达式.
(3)如图②,已知正方形$OKRS的顶点S的坐标为(6,8)$,点$K$,$R$在第二象限,$OR$为正方形的对角线.过顶点$R作RT⊥OR于点R$.求直线$RT$的表达式.

(1)$-\frac {5}{2}$
(2)①$\because G(1,3),H(-2,1),I(-1,6),\therefore k_{GH}=\frac {3-1}{1-(-2)}=\frac {2}{3},k_{GI}=\frac {3-6}{1-(-1)}=-\frac {3}{2},\therefore k_{GH}\cdot k_{GI}=-1.$
②设直线l的表达式为$y=ax+b,\because $直线l与直线$y=-\frac {1}{3}x+3$垂直,$\therefore -\frac {1}{3}a=-1$,解得$a=3$,则$y=3x+b$.将$A(2,3)$代入$y=3x+b$,得$3=3×2+b$,解得$b=-3,\therefore $直线l的表达式为$y=3x-3.$
(3)如图,过点K作$KM⊥x$轴于点M,过点S作$SN⊥x$轴于点N,连接KS交OR于点J.$\because S(6,8),\therefore ON=6,SN=8.\because $四边形OKRS是正方形,$\therefore OK=OS,∠KRS=∠KOS=∠KMO=∠SNO=90^{\circ },KJ=JS,JR=JO,$$\therefore ∠KOM+∠SON=90^{\circ },∠SON+∠OSN=90^{\circ },\therefore ∠KOM=∠OSN,\therefore △OMK\cong △SNO(AAS),\therefore KM=ON=6,OM=SN=8,\therefore K(-8,6).\because KJ=JS,$$\therefore J(-1,7).\because JR=OJ,\therefore R(-2,14),\therefore k_{OR}=\frac {14}{-2}=-7.\because RT⊥OR,$$\therefore k_{RT}=\frac {1}{7}$.设直线RT的表达式为$y=\frac {1}{7}x+b$.把$(-2,14)$代入可得$14=-\frac {2}{7}+b$,解得$b=\frac {100}{7},\therefore $直线RT的表达式为$y=\frac {1}{7}x+\frac {100}{7}.$