登录
1[2025 南阳期末]若一个三角形的一个内角等于另外两个内角的差,则这个三角形一定是(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
B
)A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
1 B 设∠A=∠B - ∠C,则∠A+∠C=∠B,因为∠A+∠C+∠B=180°,所以∠B=90°,所以△ABC为直角三角形。
2[2024 金华期末]如图,小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了,需要重新配一块。小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据,为了方便表述,将该三角形记为$△ ABC$,提供下列各组元素的数据,配出来的玻璃不一定符合要求的是(
A.$AB,BC,CA$
B.$AB,BC,∠ B$
C.$AB,AC,∠ B$
D.$∠ A,∠ B,BC$
C
)A.$AB,BC,CA$
B.$AB,BC,∠ B$
C.$AB,AC,∠ B$
D.$∠ A,∠ B,BC$
答案
2 C
3[2025 漯河郾城区期中]如图,$BD$是$∠ ABC$的平分线,$AD⊥ BD$,垂足为$D$,$∠ DAC = 20^{\circ}$,$∠ C = 38^{\circ}$,则$∠ BAD =$(
A.$58^{\circ}$
B.$64^{\circ}$
C.$62^{\circ}$
D.$56^{\circ}$
A
)A.$58^{\circ}$
B.$64^{\circ}$
C.$62^{\circ}$
D.$56^{\circ}$
答案
3 A 因为BD是∠ABC的平分线,所以∠ABD=∠DBC,在△ABD中,∠D=90°,所以∠BAD+∠ABD=90°,因为∠BAC+∠ABC+∠C=180°,所以∠BAD+∠DAC+∠ABD+∠DBC+∠C=180°,又因为∠DAC=20°,∠C=38°,所以∠DBC=32°,所以∠BAD=90° - ∠ABD=58°。
4[2025 周口期末]要得知某一池塘两端$A,B$的距离,发现其无法直接测量,两同学提供了如下两种间接测量方案。
方案Ⅰ:如图 1,先过点$B$作$BF⊥ AB$,再在$BF$上取$C,D$两点,使$BC = CD$,接着过点$D$作$BD$的垂线$DE$,交$AC$的延长线于点$E$,则测量$DE$的长即可。
方案Ⅱ:如图 2,过点$B$作$BD⊥ AB$,再由点$D$观测,用测角仪在$AB$的延长线上取一点$C$,使$∠ BDC = ∠ BDA$,则测量$BC$的长即可。
对于方案I,Ⅱ,说法正确的是(
A.只有方案I可行
B.只有方案Ⅱ可行
C.方案I和Ⅱ都可行
D.方案I和Ⅱ都不可行
方案Ⅰ:如图 1,先过点$B$作$BF⊥ AB$,再在$BF$上取$C,D$两点,使$BC = CD$,接着过点$D$作$BD$的垂线$DE$,交$AC$的延长线于点$E$,则测量$DE$的长即可。
方案Ⅱ:如图 2,过点$B$作$BD⊥ AB$,再由点$D$观测,用测角仪在$AB$的延长线上取一点$C$,使$∠ BDC = ∠ BDA$,则测量$BC$的长即可。
对于方案I,Ⅱ,说法正确的是(
C
)A.只有方案I可行
B.只有方案Ⅱ可行
C.方案I和Ⅱ都可行
D.方案I和Ⅱ都不可行
答案
4 C 对于方案Ⅰ,因为AB⊥BF,所以∠ABC=90°。因为DE⊥BF,所以∠EDC=90°,所以∠ABC=∠EDC。在△ABC和△EDC中,$\{\begin{array}{l} ∠ABC=∠EDC,\\ BC=DC,\\ ∠ACB=∠ECD,\end{array} $所以△ABC≌△EDC(ASA),所以AB=ED,故方案Ⅰ可行。对于方案Ⅱ,因为BD⊥AB,所以∠ABD=∠CBD。在△ABD和△CBD中,$\{\begin{array}{l} ∠ABD=∠CBD,\\ BD=BD,\\ ∠BDA=∠BDC,\end{array} $所以△ABD≌△CBD(ASA),所以AB=BC,故方案Ⅱ可行。综上可知,方案Ⅰ和Ⅱ都可行。
5[2025 威海中考]我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”。在四边形$ABCD$中,对角线$AC,BD$交于点$O$。下列条件中,不能判断四边形$ABCD$是筝形的是(
A.$BO = DO,AC⊥ BD$
B.$∠ DAC = ∠ BAC,AD = AB$
C.$∠ DAC = ∠ BAC,∠ DCA = ∠ BCA$
D.$∠ ADC = ∠ ABC,BO = DO$
D
)A.$BO = DO,AC⊥ BD$
B.$∠ DAC = ∠ BAC,AD = AB$
C.$∠ DAC = ∠ BAC,∠ DCA = ∠ BCA$
D.$∠ ADC = ∠ ABC,BO = DO$
答案
5 D 因为BO=DO,AC⊥BD,所以AC是BD的垂直平分线,所以AB=AD,CB=CD,所以四边形ABCD是筝形,A项不符合题意;在△ACD和△ACB中,$\{\begin{array}{l} AD=AB,\\ ∠DAC=∠BAC,\\ AC=AC,\end{array} $所以△ACD≌△ACB(SAS),所以CD=CB,所以四边形ABCD是筝形,B项不符合题意;在△ACD和△ACB中,$\{\begin{array}{l} ∠DAC=∠BAC,\\ AC=AC,\\ ∠DCA=∠BCA,\end{array} $所以△ACD≌△ACB(ASA),所以AD=AB,CD=CB,所以四边形ABCD是筝形,C项不符合题意;由∠ADC=∠ABC,BO=DO,不能证明四边形ABCD是筝形,D项符合题意。
6如图,$△ ABC≌△ DEF,FE⊥ BC$,垂足为$E,FE$交$AC$于点$H$。若$∠ A = α,∠ CHE = β$,则$∠ BED$的大小为(
A.$α-β$
B.$90^{\circ}+α-β$
C.$β-α$
D.$90^{\circ}-α+β$
A
)A.$α-β$
B.$90^{\circ}+α-β$
C.$β-α$
D.$90^{\circ}-α+β$
答案
6 A 因为FE⊥BC,所以∠CEH=∠BEF=90°,所以∠C=90° - ∠CHE=90° - β,所以∠B=180° - ∠A - ∠C=180° - α - (90° - β)=90° - α+β。因为△ABC≌△DEF,所以∠DEF=∠B=90° - α+β,所以∠BED=∠BEF - ∠DEF=90° - (90° - α+β)=α - β。
7[一题多解][2025 无锡月考]已知$△ ABC$的三边长分别为$5,7,8,△ DEF$的三边长分别为$5,2x,3x - 5$,若这两个三角形全等,则$x =$
4
。答案
7 4 通解 因为△ABC与△DEF全等,所以2x=7,3x - 5=8或2x=8,3x - 5=7,解得x=4。
另解 因为△ABC与△DEF全等,所以△ABC与△DEF的周长相等,所以5+7+8=5+2x+3x - 5,解得x=4。
另解 因为△ABC与△DEF全等,所以△ABC与△DEF的周长相等,所以5+7+8=5+2x+3x - 5,解得x=4。
8[2024 宿迁中考]如图,在$△ ABC$中,$∠ B = 50^{\circ},∠ C = 30^{\circ},AD$是高,以点$A$为圆心,$AB$长为半径画弧,交$AC$于点$E$,再分别以$B,E$为圆心,大于$\frac{1}{2}BE$的长为半径画弧,两弧在$∠ BAC$的内部交于点$F$,作射线$AF$,则$∠ DAF =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$。
答案
8 10 在△ABC中,∠B=50°,∠C=30°,所以∠BAC=180° - 50° - 30°=100°。由题中作图知,AF平分∠BAC,所以∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAC=50°。因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°。因为∠B=50°,所以∠BAD=40°,所以∠DAF=∠BAF - ∠BAD=10°。
9[2025 上海浦东新区期末]如图,在四边形$ABCD$中,$AB = AD,AB⊥ AD,AC⊥ DC$。过点$B$作$BE⊥ CA$,垂足为点$E$。若$CD = 2,CE = 4$,则四边形$ABCD$的面积是
24
。答案
9 24 因为AB⊥AD,AC⊥DC,BE⊥CA,所以∠ACD=∠BEA=∠DAB=90°,所以∠D+∠DAC=90°,∠DAC+∠EAB=90°,所以∠D=∠EAB,又因为AD=AB,所以△ADC≌△BAE(AAS),所以AC=BE,DC=AE=2。因为CE=4,所以BE=AC=AE+CE=2+4=6,所以$S_{四边形ABCD}=S_{△ADC}+S_{△ABC}=\frac{1}{2}DC· AC+\frac{1}{2}AC· BE=\frac{1}{2}×2×6+\frac{1}{2}×6×6=24$。
