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9. 已知$a = \sqrt{2},b = \sqrt{5}$，用含$a、b$的代数式表示$\sqrt{0.2}$，这个代数式是 （ ）
A. $0.2a$
B. $0.1ab^{2}$
C. $0.1ab$
D. $0.1a^{2}b$
A. $0.2a$
B. $0.1ab^{2}$
C. $0.1ab$
D. $0.1a^{2}b$
答案
D 解析：$\sqrt{0.2} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} = 0.2\times\sqrt{5} = 0.1\times2\times\sqrt{5} = 0.1a^{2}b$. 故选 D.
10. 方程$\sqrt{\frac{1}{3}}x=\frac{\sqrt{5}\times\sqrt{6}}{\sqrt{12}}$的解为_______.
答案
$x = \frac{\sqrt{30}}{2}$ 解析：由 $\sqrt{\frac{1}{3}}x = \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{6}}{\sqrt{12}}$, 得 $\sqrt{\frac{1}{3}}x = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$, 解得 $x = \frac{\sqrt{30}}{2}$.
11. 原创题 已知$a、b$均为正整数，且$\sqrt{3a + 5}$和$\sqrt{10 - b}$都是最简二次根式，则$a + b$的最小值为_______.
答案
5 解析：当 $a = 1$ 时, $\sqrt{3a + 5} = \sqrt{8}$ 不是最简二次根式; 当 $a = 2$ 时, $\sqrt{3a + 5} = \sqrt{11}$ 是最简二次根式, 故 $a$ 的最小值为 2. 当 $b = 1$ 时, $\sqrt{10 - b} = \sqrt{9}$ 不是最简二次根式; 当 $b = 2$ 时, $\sqrt{10 - b} = \sqrt{8}$ 不是最简二次根式; 当 $b = 3$ 时, $\sqrt{10 - b} = \sqrt{7}$ 是最简二次根式, 故 $b$ 的最小值为 3. $\therefore a + b$ 的最小值为 $2 + 3 = 5$.
12. 阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如$\frac{5}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：$\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2\times(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2\times(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^{2}-1}=\sqrt{3}-1$.
以上这种化简过程叫做分母有理化.
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$还可以用以下方法化简：$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{3 - 1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3})^{2}-1^{2}}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$.
(1)请用两种不同的方法化简：$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$；
(2)比较大小：$\frac{3}{\sqrt{11}-2\sqrt{2}}$与$\frac{4}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$.
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如$\frac{5}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：$\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2\times(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2\times(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^{2}-1}=\sqrt{3}-1$.
以上这种化简过程叫做分母有理化.
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$还可以用以下方法化简：$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{3 - 1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3})^{2}-1^{2}}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$.
(1)请用两种不同的方法化简：$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$；
(2)比较大小：$\frac{3}{\sqrt{11}-2\sqrt{2}}$与$\frac{4}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$.
答案
(1)方法一：$\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{2\times(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{2\times(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{5 - 3} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$.
方法二：$\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{5 - 3}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{3})^{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$.
(2)$\frac{3}{\sqrt{11} - 2\sqrt{2}} = \frac{3\times(\sqrt{11} + 2\sqrt{2})}{(\sqrt{11} - 2\sqrt{2})(\sqrt{11} + 2\sqrt{2})} = \sqrt{11} + 2\sqrt{2}$,
$\frac{4}{\sqrt{15} - \sqrt{11}} = \frac{4\times(\sqrt{15} + \sqrt{11})}{(\sqrt{15} - \sqrt{11})(\sqrt{15} + \sqrt{11})} = \sqrt{15} + \sqrt{11}$,
$\because 2\sqrt{2} ＜ \sqrt{15}$, $\therefore \sqrt{11} + 2\sqrt{2} ＜ \sqrt{15} + \sqrt{11}$,
$\therefore \frac{3}{\sqrt{11} - 2\sqrt{2}} ＜ \frac{4}{\sqrt{15} - \sqrt{11}}$.
方法二：$\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{5 - 3}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{3})^{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$.
(2)$\frac{3}{\sqrt{11} - 2\sqrt{2}} = \frac{3\times(\sqrt{11} + 2\sqrt{2})}{(\sqrt{11} - 2\sqrt{2})(\sqrt{11} + 2\sqrt{2})} = \sqrt{11} + 2\sqrt{2}$,
$\frac{4}{\sqrt{15} - \sqrt{11}} = \frac{4\times(\sqrt{15} + \sqrt{11})}{(\sqrt{15} - \sqrt{11})(\sqrt{15} + \sqrt{11})} = \sqrt{15} + \sqrt{11}$,
$\because 2\sqrt{2} ＜ \sqrt{15}$, $\therefore \sqrt{11} + 2\sqrt{2} ＜ \sqrt{15} + \sqrt{11}$,
$\therefore \frac{3}{\sqrt{11} - 2\sqrt{2}} ＜ \frac{4}{\sqrt{15} - \sqrt{11}}$.
13. 原创题 若在二次根式$\sqrt{a + 9}$与 
$\sqrt{3a - 6}$中只有一个最简二次根式且两者化为最简二次根式后被开方数相同，则整数$a$的值为_______.
$\sqrt{3a - 6}$中只有一个最简二次根式且两者化为最简二次根式后被开方数相同，则整数$a$的值为_______.答案
3 解析：①当 $\sqrt{a + 9}$ 为最简二次根式时, 则有 $\sqrt{3a - 6} = n\sqrt{a + 9}$ ($n$ 为整数, 且 $n \geq 2$), 则 $3a - 6 = n^{2}(a + 9)$, 得 $a = \frac{9n^{2} + 6}{3 - n^{2}} ＜ 0$, 由二次根式有意义的条件可得 $3a - 6 \geq 0$, 即 $a \geq 2$, 故该情况不符合题意;
②当 $\sqrt{3a - 6}$ 为最简二次根式时, 则有 $\sqrt{a + 9} = n\sqrt{3a - 6}$ ($n$ 为整数, 且 $n \geq 2$), 则 $a + 9 = n^{2}(3a - 6)$, 得 $a = \frac{6n^{2} + 9}{3n^{2} - 1} = \frac{6n^{2} - 2 + 11}{3n^{2} - 1} = 2 + \frac{11}{3n^{2} - 1}$.
要使得 $a$ 为整数, 则 $\frac{11}{3n^{2} - 1}$ 为整数, $\therefore 3n^{2} - 1 = 1$ 或 $3n^{2} - 1 = 11$,
$\because n \geq 2$, $\therefore n = 2$, $\therefore$ 当 $n = 2$ 时, $3n^{2} - 1 = 11$, 此时 $a = 3$.
综上所述, $a$ 的值为 3.
②当 $\sqrt{3a - 6}$ 为最简二次根式时, 则有 $\sqrt{a + 9} = n\sqrt{3a - 6}$ ($n$ 为整数, 且 $n \geq 2$), 则 $a + 9 = n^{2}(3a - 6)$, 得 $a = \frac{6n^{2} + 9}{3n^{2} - 1} = \frac{6n^{2} - 2 + 11}{3n^{2} - 1} = 2 + \frac{11}{3n^{2} - 1}$.
要使得 $a$ 为整数, 则 $\frac{11}{3n^{2} - 1}$ 为整数, $\therefore 3n^{2} - 1 = 1$ 或 $3n^{2} - 1 = 11$,
$\because n \geq 2$, $\therefore n = 2$, $\therefore$ 当 $n = 2$ 时, $3n^{2} - 1 = 11$, 此时 $a = 3$.
综上所述, $a$ 的值为 3.
14. 我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用.其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”.
比如：$\sqrt{7}-\sqrt{6}=\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$.
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题.
例如：比较$\sqrt{7}-\sqrt{6}$和$\sqrt{6}-\sqrt{5}$的大小.
解：$\sqrt{7}-\sqrt{6}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}},\sqrt{6}-\sqrt{5}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$.
因为$\sqrt{7}+\sqrt{6}＞\sqrt{6}+\sqrt{5}$，所以$\sqrt{7}-\sqrt{6}＜\sqrt{6}-\sqrt{5}$.
利用上面的方法，完成下面两题：
(1)比较$\sqrt{15}-\sqrt{14}$和$\sqrt{14}-\sqrt{13}$的大小；
(2)求$y = \sqrt{x + 1}-\sqrt{x - 1}+3$的最大值.
比如：$\sqrt{7}-\sqrt{6}=\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$.
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题.
例如：比较$\sqrt{7}-\sqrt{6}$和$\sqrt{6}-\sqrt{5}$的大小.
解：$\sqrt{7}-\sqrt{6}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}},\sqrt{6}-\sqrt{5}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$.
因为$\sqrt{7}+\sqrt{6}＞\sqrt{6}+\sqrt{5}$，所以$\sqrt{7}-\sqrt{6}＜\sqrt{6}-\sqrt{5}$.
利用上面的方法，完成下面两题：
(1)比较$\sqrt{15}-\sqrt{14}$和$\sqrt{14}-\sqrt{13}$的大小；
(2)求$y = \sqrt{x + 1}-\sqrt{x - 1}+3$的最大值.
答案
(1)$\sqrt{15} - \sqrt{14} = \frac{1}{\sqrt{15} + \sqrt{14}}$, $\sqrt{14} - \sqrt{13} = \frac{1}{\sqrt{14} + \sqrt{13}}$. $\because \sqrt{15} ＞ \sqrt{13}$, $\therefore \sqrt{15} + \sqrt{14} ＞ \sqrt{14} + \sqrt{13}$, $\therefore \sqrt{15} - \sqrt{14} ＜ \sqrt{14} - \sqrt{13}$.
(2)$\because x + 1 \geq 0$, $x - 1 \geq 0$, $\therefore x \geq 1$. $\because y = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} + 3 = \frac{2}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}} + 3$, 当 $x = 1$ 时, 分母 $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}$ 有最小值 $\sqrt{2}$, $\therefore y = \frac{2}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}} + 3$ 的最大值是 $\sqrt{2} + 3$.
(2)$\because x + 1 \geq 0$, $x - 1 \geq 0$, $\therefore x \geq 1$. $\because y = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} + 3 = \frac{2}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}} + 3$, 当 $x = 1$ 时, 分母 $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}$ 有最小值 $\sqrt{2}$, $\therefore y = \frac{2}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}} + 3$ 的最大值是 $\sqrt{2} + 3$.
