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1. 2024·陕西 母题·教材P47习题T3 -3的倒数是( )
A.3
B.$\frac{1}{3}$
C.$-\frac{1}{3}$
D.-3
A.3
B.$\frac{1}{3}$
C.$-\frac{1}{3}$
D.-3
答案
C
解析
根据倒数的定义，若两个数的乘积是$1$，我们就称这两个数互为倒数。设$-3$的倒数为$x$，则$-3x = 1$，解得$x=-\frac{1}{3}$，所以$-3$的倒数是$-\frac{1}{3}$。
2. 下列各式中计算正确的有( )
①$(-24)÷(-6)= -4$；②$(-8)×(-2.5)= -20$；
③$\left(-\frac{4}{5}\right)÷\left(-\frac{4}{5}\right)= 1$；④$\left(-3\frac{3}{4}\right)÷(-1.25)= -3$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$(-24)÷(-6)= -4$；②$(-8)×(-2.5)= -20$；
③$\left(-\frac{4}{5}\right)÷\left(-\frac{4}{5}\right)= 1$；④$\left(-3\frac{3}{4}\right)÷(-1.25)= -3$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
① $(-24)÷ (-6)=4$，原式计算错误；
②$(-8)× (-2.5)=20$，原式计算错误；
③$\left(-\frac{4}{5}\right)÷\left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{4}{5}} = 1$，原式计算正确；
④$\left(-3\frac{3}{4}\right)÷ (-1.25)=\frac{-3.75}{-1.25}=3$，原式计算错误。
所以只有③计算正确，正确的有$1$个。
②$(-8)× (-2.5)=20$，原式计算错误；
③$\left(-\frac{4}{5}\right)÷\left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{4}{5}} = 1$，原式计算正确；
④$\left(-3\frac{3}{4}\right)÷ (-1.25)=\frac{-3.75}{-1.25}=3$，原式计算错误。
所以只有③计算正确，正确的有$1$个。
3. 若$□×\left(-\frac{3}{2}\right)= 1$,则$□$内应填的数是( )
A.$-\frac{3}{2}$
B.$-\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$-\frac{3}{2}$
B.$-\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
B
解析
设$□$内的数为$x$，根据题意有$x × \left(-\frac{3}{2}\right) = 1$。
为求$x$，将方程两边同时除以$-\frac{3}{2}$（或乘以$-\frac{2}{3}$），得到：
$x = 1 ÷ \left(-\frac{3}{2}\right) = 1 × \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{2}{3}$。
因此，$□$内应填的数是$-\frac{2}{3}$。
为求$x$，将方程两边同时除以$-\frac{3}{2}$（或乘以$-\frac{2}{3}$），得到：
$x = 1 ÷ \left(-\frac{3}{2}\right) = 1 × \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{2}{3}$。
因此，$□$内应填的数是$-\frac{2}{3}$。
4. 有理数a,b在数轴上的位置如图所示,且$|a|\lt|b|$,则下列各式正确的个数是( )
①$a+b\lt0$,②$ab\gt0$,③$-a-b\gt0$；
④$\frac{1}{b}\gt-\frac{1}{a}$；⑤$(a-b)(b-a)\gt0$.
A.2
B.3
C.4
D.5
①$a+b\lt0$,②$ab\gt0$,③$-a-b\gt0$；
④$\frac{1}{b}\gt-\frac{1}{a}$；⑤$(a-b)(b-a)\gt0$.
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
B
解析
由数轴知：$a＞0$，$b＜0$，且$|a|＜|b|$，即$a＜-b$。
① $a+b$：正数加负数，$|a|＜|b|$，结果为负，$a+b＜0$，正确；
② $ab$：正数乘负数，结果为负，$ab＜0$，错误；
③ $-a-b=-(a+b)$：由①知$a+b＜0$，则$-(a+b)＞0$，正确；
④ $\frac{1}{b}＞-\frac{1}{a}$：$\frac{1}{b}＜0$，$-\frac{1}{a}＜0$，$| \frac{1}{b}|=\frac{1}{|b|}$，$| -\frac{1}{a}|=\frac{1}{a}$，$|a|＜|b|$得$\frac{1}{|b|}＜\frac{1}{a}$，即$| \frac{1}{b}|＜| -\frac{1}{a}|$，负数绝对值小的反而大，正确；
⑤ $(a-b)(b-a)=-(a-b)^2$：$a-b＞0$，则$(a-b)^2＞0$，$-(a-b)^2＜0$，错误。
正确的有①③④，共3个。
① $a+b$：正数加负数，$|a|＜|b|$，结果为负，$a+b＜0$，正确；
② $ab$：正数乘负数，结果为负，$ab＜0$，错误；
③ $-a-b=-(a+b)$：由①知$a+b＜0$，则$-(a+b)＞0$，正确；
④ $\frac{1}{b}＞-\frac{1}{a}$：$\frac{1}{b}＜0$，$-\frac{1}{a}＜0$，$| \frac{1}{b}|=\frac{1}{|b|}$，$| -\frac{1}{a}|=\frac{1}{a}$，$|a|＜|b|$得$\frac{1}{|b|}＜\frac{1}{a}$，即$| \frac{1}{b}|＜| -\frac{1}{a}|$，负数绝对值小的反而大，正确；
⑤ $(a-b)(b-a)=-(a-b)^2$：$a-b＞0$，则$(a-b)^2＞0$，$-(a-b)^2＜0$，错误。
正确的有①③④，共3个。
5. 小康在计算$\left(\frac{3}{5}+\frac{1}{2}-\frac{7}{10}\right)×*$时,由于粗心将墨水滴在了算式上,*是被墨水污染的地方,小康查了一下答案是12,那么*代表的数是( )
A.-30
B.-10
C.10
D.30
A.-30
B.-10
C.10
D.30
答案
D
解析
设*代表的数为x，先计算括号内的值：$\frac{3}{5}+\frac{1}{2}-\frac{7}{10}=\frac{6}{10}+\frac{5}{10}-\frac{7}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。由题意得$\frac{2}{5}x = 12$，解得$x = 12÷\frac{2}{5}=12×\frac{5}{2}=30$。
6. 现定义一种新运算“ * ”,规定$m*n= -\frac{mn}{m-n}$,则$3*(-3)$的值是( )
A.-9
B.$\frac{3}{2}$
C.$-\frac{2}{3}$
D.$-\frac{3}{2}$
A.-9
B.$\frac{3}{2}$
C.$-\frac{2}{3}$
D.$-\frac{3}{2}$
答案
B
解析
根据题意，定义新运算“*”为 $m*n = -\frac{mn}{m - n}$。
将 $m = 3$，$n = -3$ 代入公式得：
$3*(-3) = -\frac{3 × (-3)}{3 - (-3)} = -\frac{-9}{3 + 3} = -\frac{-9}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$。
将 $m = 3$，$n = -3$ 代入公式得：
$3*(-3) = -\frac{3 × (-3)}{3 - (-3)} = -\frac{-9}{3 + 3} = -\frac{-9}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$。
7. 新考向 数学文化 生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数,满十进一,例：$12= 1×10+2$,$212= 2×10×10+1×10+2$. 计算机也常用十六进制来表示字符代码,它是用0~F来表示0~15,满十六进一,它与十进制对应的数如下表：
|十进制|0|1|2|…|8|9|10|11|12|13|14|15|16|17|…|
|十六进制|0|1|2|…|8|9|A|B|C|D|E|F|10|11|…|
例：十六进制2B对应十进制的数为$2×16+11= 43$,十六进制10C对应十进制的数为$1×16×16+0×16+12= 268$,那么十六进制14E对应十进制的数为( )
A.28
B.62
C.238
D.334
|十进制|0|1|2|…|8|9|10|11|12|13|14|15|16|17|…|
|十六进制|0|1|2|…|8|9|A|B|C|D|E|F|10|11|…|
例：十六进制2B对应十进制的数为$2×16+11= 43$,十六进制10C对应十进制的数为$1×16×16+0×16+12= 268$,那么十六进制14E对应十进制的数为( )
A.28
B.62
C.238
D.334
答案
D
解析
根据十六进制转十进制的方法，将十六进制数$14E$按位转换：
$1 × 16^2 + 4 × 16^1 + 14 × 16^0$
$= 1 × 256 + 4 × 16 + 14 × 1$
$= 256 + 64 + 14$
$= 334$
$1 × 16^2 + 4 × 16^1 + 14 × 16^0$
$= 1 × 256 + 4 × 16 + 14 × 1$
$= 256 + 64 + 14$
$= 334$
8. 定义一种正整数的“H运算”：①当它是奇数时,则该数乘3加13为一次“H运算”；②当它是偶数时,则取该数的一半,一直取到结果为奇数时停止,为一次“H运算”. 如：数3经过1次“H运算”的结果是22,经过2次“H运算”的结果为11,经过3次“H运算”的结果为46. 那么数28经过2025次“H运算”得到的结果是( )
A.1
B.16
C.34
D.17
A.1
B.16
C.34
D.17
答案
A
解析
28的H运算过程如下：
第1次：28是偶数，28→14→7（结果7）；
第2次：7是奇数，7×3+13=34（结果34）；
第3次：34是偶数，34→17（结果17）；
第4次：17是奇数，17×3+13=64（结果64）；
第5次：64是偶数，64→32→16→8→4→2→1（结果1）；
第6次：1是奇数，1×3+13=16（结果16）；
第7次：16是偶数，16→8→4→2→1（结果1）；
第8次：1→16（结果16）；
从第5次开始，结果以“1，16”循环，周期为2。
2025次中，前4次不循环，剩余2025-4=2021次，2021为奇数，对应循环节第1项1。
第1次：28是偶数，28→14→7（结果7）；
第2次：7是奇数，7×3+13=34（结果34）；
第3次：34是偶数，34→17（结果17）；
第4次：17是奇数，17×3+13=64（结果64）；
第5次：64是偶数，64→32→16→8→4→2→1（结果1）；
第6次：1是奇数，1×3+13=16（结果16）；
第7次：16是偶数，16→8→4→2→1（结果1）；
第8次：1→16（结果16）；
从第5次开始，结果以“1，16”循环，周期为2。
2025次中，前4次不循环，剩余2025-4=2021次，2021为奇数，对应循环节第1项1。
9. 绝对值小于10的所有整数的积为______.
答案
$0$
解析
绝对值小于$10$的所有整数包括$0$，$\pm 1$，$\pm 2$，$\pm 3$，$\pm 4$，$\pm 5$，$\pm 6$，$\pm 7$，$\pm 8$，$\pm 9$，因为因数中有$0$，根据任何数与$0$相乘都得$0$，所以这些整数的积为$0$。
10. 母题·教材P40例2 某品牌冰箱启动后开始降温,若冰箱启动时的温度是10℃,每小时冰箱内部的温度降低3℃(降至设定温度后即停止降温),则5h后冰箱内部的温度是______℃.
答案
$-5$
解析
根据题意，冰箱启动时温度为$10° C$，每小时降温$3° C$，所以$5$小时后的温度变化可以用以下算式计算：
$10 - 3 × 5 = 10 - 15 = -5（° C）$。
所以，$5$小时后冰箱内部的温度是$-5° C$。
$10 - 3 × 5 = 10 - 15 = -5（° C）$。
所以，$5$小时后冰箱内部的温度是$-5° C$。
11. 若x,y互为相反数,a,b互为倒数,且m的绝对值是1,则$x+y+3ab-m$的值是______.
答案
2或4
解析
因为x,y互为相反数，所以x+y=0；a,b互为倒数，所以ab=1；m的绝对值是1，所以m=±1。当m=1时，原式=0+3×1-1=2；当m=-1时，原式=0+3×1-(-1)=4。
12. 情境题·游戏活动型 小明和同学们玩扑克牌游戏,游戏规则是：从一副扑克牌(去掉“大王”“小王”)中任意抽取四张,根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌上的数字只能用一次),使得运算结果等于24,小明抽到的牌如图所示,请帮小明列出一个结果等于24的算式：______.
答案
(5-3+2)×6
解析
观察四张牌数字为2、3、5、6，考虑通过加减乘除组合得到24。尝试可得：(5-3+2)×6=(4)×6=24
