10. [2025 淮北期末] 如图,已知直线 AB 与 CD 相交于点 O,OE,OF 分别是 $\angle BOD$,$\angle AOD$ 的平分线.
(1)$\angle DOE$ 的补角是____;
(2)若 $\angle BOD = 64°$,求 $\angle AOE$ 和 $\angle DOF$ 的度数.

【解】
(1)∠AOE 或∠COE 【点拨】因为 OE 是∠BOD 的平分线，所以∠DOE=∠BOE.又因为∠BOE + ∠AOE=180°,所以∠DOE + ∠AOE=180°.又因为∠DOE + ∠COE=180°,所以∠DOE 的补角是∠AOE 或∠COE.
(2)因为 OE 是∠BOD 的平分线，∠BOD=64°,所以∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=32°,∠AOD=180° - 64°=116°.所以∠AOE=180° - 32°=148°.因为 OF 是∠AOD 的平分线，所以∠DOF=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$×116°=58°.

11. 如图,点 C,D,E 将线段 AB 分成 $2:3:4:5$ 的四部分,M,P,Q,N 分别是线段 AC,CD,DE,EB 的中点,且 $MN = 21$,求线段 PQ 的长度.

【解】由题意设 AC=2x,则 CD=3x,DE=4x,EB=5x.因为 M,N 分别是 AC,EB 的中点，所以 MC=x,EN=2.5x.所以 MN=MC + CD + DE + EN=x + 3x + 4x + 2.5x=21,整理得 10.5x=21,解得 x=2.又因为 P,Q 分别是 CD,DE 的中点，所以 PQ=$\frac{1}{2}$CD + $\frac{1}{2}$DE=3.5x=7.

【解】设 $ AC = 2x $，则 $ CD = 3x $，$ DE = 4x $，$ EB = 5x $。
因为 $ M $ 是 $ AC $ 的中点，所以 $ MC = \frac{1}{2}AC = x $。
因为 $ N $ 是 $ EB $ 的中点，所以 $ EN = \frac{1}{2}EB = \frac{5}{2}x $。
$ MN = MC + CD + DE + EN = x + 3x + 4x + \frac{5}{2}x = 10.5x $。
已知 $ MN = 21 $，则 $ 10.5x = 21 $，解得 $ x = 2 $。
因为 $ P $ 是 $ CD $ 的中点，$ Q $ 是 $ DE $ 的中点，所以 $ PQ = \frac{1}{2}CD + \frac{1}{2}DE = \frac{1}{2}(3x + 4x) = \frac{7}{2}x $。
将 $ x = 2 $ 代入，得 $ PQ = \frac{7}{2} × 2 = 7 $。
答：线段 $ PQ $ 的长度为 $ 7 $。

12. 如图,这是一个无盖长方体盒子的表面展开图(重叠部分不计),求这个盒子的容积.

【解】由题图易知，长方体盒子的长、宽、高分别是 3,2,1,所以这个盒子的容积为 3×2×1=6.

由题图可知，长方体盒子的长、宽、高分别是3、2、1，容积为$3×2×1=6$。

13. [新视角 变式训练题] 已知 $\angle AOB = \alpha(30° ＜ \alpha ＜ 45°)$,$\angle AOB$ 的余角为 $\angle AOC$,$\angle AOB$ 的补角为 $\angle BOD$,OM 平分 $\angle AOC$,ON 平分 $\angle BOD$.
(1)如图,当 $\alpha = 40°$,且射线 OM 在 $\angle AOB$ 的外部时,用直尺、量角器画出射线 OD,ON 的准确位置;
(2)求(1)中 $\angle MON$ 的度数,要求写出计算过程;
(3)当射线 OM 在 $\angle AOB$ 的内部时,用含 $\alpha$ 的式子表示 $\angle MON$ 的度数(直接写出结果).

【解】
(1)射线 OD,ON 如图①②所示.

(2)因为∠AOB=40°,∠AOB 的余角为∠AOC,∠AOB 的补角为∠BOD，所以∠AOC=90° - ∠AOB=50°,∠BOD=180° - ∠AOB=140°.因为 OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOD,所以∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=25°,∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD=70°.分两种情况：①当 OD 位于 OB 下方时，如图①，∠MON=∠AOM + ∠AOB + ∠BON=135°；②当 OD 位于 OB 上方时，如图②，∠MON=∠BON - ∠AOB - ∠AOM=5°.综上，∠MON 的度数为 135°或 5°.
(3)∠MON=45° + α 或 135° - 2α.