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11. 已知$y= -(x+6)^{2}+2025$,当$x= $______时,$y$有最大值,为______.
答案
-6；2025
12. 《庄子》中记载：“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”这句话的意思是一尺长的木棍,每天截取它的一半,永远也截不完.第1天截取它的一半,以后每天截取剩下部分的一半.若按此方式截一根长为1的木棍,第5天截取后木棍剩余的长度是______.
答案
$\frac {1}{32}$ 【点拨】由题意可知，第一天截取后木棍剩余长度为$1×(1 - \frac {1}{2}) = \frac {1}{2}$，第二天截取后木棍剩余长度为$\frac {1}{2}×(1 - \frac {1}{2}) = \frac {1}{4} = \frac {1}{2^{2}}$，第三天截取后木棍剩余长度为$\frac {1}{2^{2}}×(1 - \frac {1}{2}) = \frac {1}{2^{3}}$，…，第n天截取后木棍剩余长度为$\frac {1}{2^{n}}$，故第5天截取后木棍剩余的长度是$\frac {1}{2^{5}} = \frac {1}{32}$.
解析
第1天剩余：$1×(1-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{1}}$
第2天剩余：$\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^{2}}$
第3天剩余：$\frac{1}{4}×(1-\frac{1}{2})=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^{3}}$
……
第n天剩余：$\frac{1}{2^{n}}$
第5天剩余：$\frac{1}{2^{5}}=\frac{1}{32}$
$\frac{1}{32}$
第2天剩余：$\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^{2}}$
第3天剩余：$\frac{1}{4}×(1-\frac{1}{2})=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^{3}}$
……
第n天剩余：$\frac{1}{2^{n}}$
第5天剩余：$\frac{1}{2^{5}}=\frac{1}{32}$
$\frac{1}{32}$
13. 当你把纸对折1次时,就得到2层纸；对折2次时,就得到4层纸……照这样对折下去(最多对折7次).
(1)你能发现层数和对折的次数有什么关系吗？
(2)对折6次时,层数是多少？
(3)如果纸的厚度是0.1mm,求对折7次时,总厚度是多少？
(1)你能发现层数和对折的次数有什么关系吗？
(2)对折6次时,层数是多少？
(3)如果纸的厚度是0.1mm,求对折7次时,总厚度是多少？
答案
【解】
(1)设对折的次数是n，则折得的层数是$2^{n}$（$1≤n≤7$且n为整数）.
(2)对折6次，即$n = 6$，所以层数为$2^{6} = 64$.
(3)对折7次时，总厚度为$0.1×2^{7} = 0.1×128 = 12.8(mm)$.
(1)设对折的次数是n，则折得的层数是$2^{n}$（$1≤n≤7$且n为整数）.
(2)对折6次，即$n = 6$，所以层数为$2^{6} = 64$.
(3)对折7次时，总厚度为$0.1×2^{7} = 0.1×128 = 12.8(mm)$.
14. (1)计算下面两组算式：
①$(3×5)^{2}与3^{2}×5^{2}$；
②$[(-2)×3]^{2}与(-2)^{2}×3^{2}$.
(2)根据以上计算结果猜想：$(ab)^{3}= $______.
(3)猜想与验证：当$n$为正整数时,$(ab)^{n}$等于什么？请利用乘方的意义说明理由.
(4)利用上述结论,求$(-4)^{2024}×0.25^{2025}$的值.
①$(3×5)^{2}与3^{2}×5^{2}$；
②$[(-2)×3]^{2}与(-2)^{2}×3^{2}$.
(2)根据以上计算结果猜想：$(ab)^{3}= $______.
(3)猜想与验证：当$n$为正整数时,$(ab)^{n}$等于什么？请利用乘方的意义说明理由.
(4)利用上述结论,求$(-4)^{2024}×0.25^{2025}$的值.
答案
【解】
(1)①$(3×5)^{2}=15^{2}=225$，$3^{2}×5^{2}=9×25=225$.
②$[(-2)×3]^{2}=(-6)^{2}=36$，$(-2)^{2}×3^{2}=4×9=36$.
(2)$a^{n}b^{n}$
(3)$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$.理由如下:
$(ab)^{n}=\underbrace{ab\cdot ab\cdot ... \cdot ab}_{n个ab相乘}=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{n个a相乘}\cdot \underbrace{b\cdot b\cdot ... \cdot b}_{n个b相乘}=a^{n}b^{n}$.
(4)$(-4)^{2024}×0.25^{2025}$
$=(-4)^{2024}×0.25^{2024}×0.25$
$=(-4×0.25)^{2024}×0.25$
$=(-1)^{2024}×0.25$
$=0.25$.
(5)
15. 阅读以下解题过程：
求$1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+…+2^{63}$的值.
解：令$S= 1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+…+2^{63}$,
则$2S= 2×(1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+…+2^{63})= 2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{63}+2^{64}$,
所以$2S-S= (2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{63}+2^{64})-(1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+…+2^{63})$,
即$S= 2^{64}-1$,
所以$1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+…+2^{63}= 2^{64}-1$.
请根据上述材料中的方法计算下面的式子：
$1+3+3^{2}+3^{3}+…+3^{30}$.
求$1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+…+2^{63}$的值.
解：令$S= 1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+…+2^{63}$,
则$2S= 2×(1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+…+2^{63})= 2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{63}+2^{64}$,
所以$2S-S= (2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{63}+2^{64})-(1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+…+2^{63})$,
即$S= 2^{64}-1$,
所以$1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+…+2^{63}= 2^{64}-1$.
请根据上述材料中的方法计算下面的式子：
$1+3+3^{2}+3^{3}+…+3^{30}$.
答案
【解】令$T = 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} +... + 3^{30}$，
则$3T = 3×(1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} +... + 3^{30}) = 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} +... + 3^{30} + 3^{31}$，
所以$3T - T = (3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} +... + 3^{30} + 3^{31}) - (1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} +... + 3^{30})$，
即$2T = 3^{31} - 1$，所以$T = \frac {3^{31} - 1}{2}$，
即$1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} +... + 3^{30} = \frac {3^{31} - 1}{2}$.
点方法：将第1个式子乘一个数后得到第2个式子，用第2个式子的倒数第二项与第1个式子的最后一项相减，用第2个式子的倒数第三项与第1个式子的倒数第二项相减……这种方法称为错位相减法.
则$3T = 3×(1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} +... + 3^{30}) = 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} +... + 3^{30} + 3^{31}$，
所以$3T - T = (3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} +... + 3^{30} + 3^{31}) - (1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} +... + 3^{30})$，
即$2T = 3^{31} - 1$，所以$T = \frac {3^{31} - 1}{2}$，
即$1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} +... + 3^{30} = \frac {3^{31} - 1}{2}$.
点方法：将第1个式子乘一个数后得到第2个式子，用第2个式子的倒数第二项与第1个式子的最后一项相减，用第2个式子的倒数第三项与第1个式子的倒数第二项相减……这种方法称为错位相减法.
