(4)如右图,小江和小北的彩带都被遮住了一部分,根据露出部分的信息,小江和小北的彩带长度相比,()。

A.小江的彩带长
B.小北的彩带长
C.一样长
D.无法比较

A

设露出部分长度为$ x $。
小江彩带总长度：$ x÷\frac{3}{7}=\frac{7}{3}x $
小北彩带总长度：$ x÷\frac{5}{11}=\frac{11}{5}x $
通分比较$ \frac{7}{3} $和$ \frac{11}{5} $：$ \frac{7}{3}=\frac{35}{15} $，$ \frac{11}{5}=\frac{33}{15} $，因为$ \frac{35}{15}＞\frac{33}{15} $，所以$ \frac{7}{3}x＞\frac{11}{5}x $，即小江的彩带长。

3 小江和小北都会去图书馆看书。小江每4天去一次,小北每6天去一次,有一次他们两人在图书馆相遇,至少再过多少天,他们又可以在图书馆相遇?

2 | 4 6
-------
2 3
2×2×3=12（天）
答：至少再过12天，他们又可以在图书馆相遇。

【分析】
要解决这个问题，关键是理解“至少再过多少天又相遇”的含义：小江每4天去一次图书馆，小北每6天去一次，两人再次相遇的天数必须同时是4和6的倍数，而“至少”意味着要找这两个数的最小公倍数。我们可以用短除法来求最小公倍数，先找出4和6的公因数2，用2分别除4和6得到2和3，此时2和3互质，再将除数和最后的商相乘，就能得到最小公倍数。
【解析】
用短除法求4和6的最小公倍数：
```
2 | 4 6
-------
2 3
```
由于2和3互质，因此最小公倍数为：$2×2×3=12$（天）
答：至少再过12天，他们又可以在图书馆相遇。
【答案】
12天
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，核心是将相遇问题转化为求两个数的最小公倍数问题，掌握短除法求最小公倍数的方法是解题关键，题目贴近生活，有助于理解公倍数的实际意义。
【难度系数】
0.8

4 学科融合《水浒传》是我国古典四大名著之一,书里描写了梁山泊的一百零八将,其中有三位女将,分别是“一丈青”扈三娘、“母大虫”顾大嫂和“母夜叉”孙二娘。
(1)女将人数占总人数的几分之几? (2)女将人数是男将人数的几分之几?

(1)
$3÷108=\frac{1}{36}$
答：女将人数占总人数的$\frac{1}{36}$。
(2)
$108-3=105$（人）
$3÷105=\frac{1}{35}$
答：女将人数是男将人数的$\frac{1}{35}$。

【分析】
对于问题（1），要计算女将人数占总人数的几分之几，根据分数的意义，求一个数是另一个数的几分之几用除法计算，即用女将人数除以总人数即可。对于问题（2），要计算女将人数是男将人数的几分之几，首先需要先求出男将的人数，用总人数减去女将人数得到男将人数，再用女将人数除以男将人数就能得到结果。
【解析】
(1) 求女将人数占总人数的几分之几，用女将人数除以总人数：
$3÷108=\frac{1}{36}$
答：女将人数占总人数的$\frac{1}{36}$。
(2) 先计算男将人数：
$108-3=105$（人）
再求女将人数是男将人数的几分之几：
$3÷105=\frac{1}{35}$
答：女将人数是男将人数的$\frac{1}{35}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{36}$；(2) $\frac{1}{35}$
【知识点】
分数的意义、分数与除法的关系、约分
【点评】
本题结合古典名著《水浒传》的内容，考查分数的实际应用，解题关键是明确“求一个数是另一个数的几分之几”用除法计算，找准对应的数量关系，第二问需先求出男将人数再进行计算，既巩固了数学知识，又增加了文化趣味性。
【难度系数】
0.9

5 一个最简分数的分子与分母的和是25,如果分子与分母都加上10后,所得到的新分数可化简为$\frac{2}{3}$,那么原来的最简分数是多少?

解：设原来的最简分数的分子为$x$，则分母为$25-x$。
$\frac{x+10}{(25-x)+10}=\frac{2}{3}$
$3(x+10)=2(35-x)$
$3x+30=70-2x$
$3x+2x=70-30$
$5x=40$
$x=8$
$25-8=17$
答：原来的最简分数是$\frac{8}{17}$。

【分析】
首先，题目给出原来最简分数的分子与分母之和为25，我们可以通过设未知数来简化未知量，设分子为$x$，则分母可表示为$25-x$。接着，根据“分子与分母都加上10后，新分数可化简为$\frac{2}{3}$”这一核心条件，列出关于$x$的比例方程，再利用比例的基本性质（交叉相乘相等）解方程求出分子，进而求出分母，最后验证所得分数是否为最简分数即可。
【解析】
设原来的最简分数的分子为$x$，则分母为$25-x$。
根据题意列方程：
$\frac{x+10}{(25-x)+10}=\frac{2}{3}$
根据比例的基本性质交叉相乘：
$3(x+10)=2(35-x)$
展开括号：
$3x+30=70-2x$
移项合并同类项：
$3x+2x=70-30$
$5x=40$
解得：
$x=8$
则分母为$25-8=17$，$\frac{8}{17}$是最简分数，符合题意。
答：原来的最简分数是$\frac{8}{17}$。
【答案】
$\frac{8}{17}$
【知识点】
列方程解应用题、最简分数的定义、比例的基本性质
【点评】
本题重点考查利用方程解决分数相关问题，解题关键是准确抓取等量关系，通过设未知数将两个未知量转化为单一未知量，再结合比例性质解方程。最后需验证结果是否满足“最简分数”的条件，保证答案符合题目要求。
【难度系数】
0.6

6 阅读下面的材料,并回答后面的问题。
我们学习了求两个数的最大公因数与最小公倍数。比如:3和7的最大公因数是1,最小公倍数是21;再比如:6和8的最大公因数是2,最小公倍数是24……那么这两个数和它们的最大公因数与最小公倍数之间有什么关系?
小鄞进行了探究:3×7=1×21,6×8=2×24。发现:两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积正好等于这两个数的乘积。是否任意两个自然数都具有这一规律呢?
(1)请你任意举一个例子,验证上面的猜想。
(2)15与一个数的最大公因数是5,最小公倍数是75,这个数是多少?

（1）
例：8和12
$8×12=96$
8和12的最大公因数是4，最小公倍数是24
$4×24=96$
$96=96$
（2）
解：设这个数为$x$。
$15x = 5×75$
$15x = 375$
$x = 375÷15$
$x = 25$
答：这个数是25。

【分析】
（1）解题思路：根据题目给出的猜想，任意选取两个自然数，先计算这两个数的乘积，再求出它们的最大公因数和最小公倍数，计算最大公因数与最小公倍数的乘积，对比两个乘积是否相等，即可完成猜想验证。
（2）解题思路：利用题目中发现的“两个数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积”这一核心规律，设所求数为未知数，列出方程后通过解方程求出这个数。
【解析】
（1）示例：选取8和12
计算两个数的乘积：$8×12=96$
求8和12的最大公因数：8的因数有1、2、4、8，12的因数有1、2、3、4、6、12，二者的最大公因数是4；
求8和12的最小公倍数：分解质因数得$8=2×2×2$，$12=2×2×3$，则最小公倍数为$2×2×2×3=24$；
计算最大公因数与最小公倍数的乘积：$4×24=96$
因为$96=96$，所以验证了猜想的正确性。
（2）解：设这个数为$x$。
根据“两个数的乘积=最大公因数×最小公倍数”，列方程：
$15x = 5×75$
计算等式右边：$5×75=375$，得$15x=375$
两边同时除以15：$x=375÷15$
解得：$x=25$
答：这个数是25。
【答案】
（1）示例：8和12，$8×12=96$，8和12的最大公因数是4，最小公倍数是24，$4×24=96$，$96=96$（答案不唯一）；
（2）25
【知识点】
1. 最大公因数与最小公倍数的关系
2. 列方程解应用题
【点评】
本题先通过验证规律培养学生的探究能力，再通过应用规律考查知识的灵活运用，有助于学生加深对最大公因数和最小公倍数核心关系的理解，提升解决相关问题的能力。
【难度系数】
0.8